Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne mają
zastosowanie wszędzie tam, gdzie nie są
spełnione założenia wymagane dla
testów parametrycznych, ale stosujemy
je tylko wówczas, gdy nie możemy
posłużyć się testem parametrycznym
Testy nieparametryczne oparte są na
porównaniu rozkładów cech, a nie
określonych parametrów
charakteryzujących te rozkłady (stąd ich
nazwa – nieparametryczne).

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne w odróżnieniu od

testów parametrycznych:

• można stosować do wszystkich cech, których

wartości można uporządkować, nie tylko do

cech mierzalnych (np. do danych jakościowych)

• nie wymagają żadnych założeń dotyczących

rozkładu cechy

• są proste i łatwe w użyciu

• są słabsze tzn. za pomocą tych testów

znacznie trudniej jest odrzucić hipotezę zerową

(a zatem łatwiej można popełnić błąd II

rodzaju) i dlatego wymagają prób o większej

liczebności

Testy nieparametryczne

W wielu testach nieparametrycznych

punktem wyjścia jest nadanie wynikom w

próbach tzw. rang.
Rangowanie przeprowadzamy następująco:

•

porządkujemy wartości w próbach (rosnąco

lub malejąco)

•

w uporządkowanej próbie

przyporządkowujemy poszczególnym

obserwacjom kolejne liczby naturalne tzw.

rangi

•

w przypadku wystąpienia kilku

jednakowych wartości przyporządkowujemy

im tzw. rangi wiązane (średnia arytmetyczna z

rang, jakie powinno im się przypisać)

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne można
podzielić na następujące kategorie:
• testy różnic między grupami
niezależnymi
• testy różnic między grupami
zależnymi
• testy współzależności między
zmiennymi

Testy różnic między grupami

niezależnymi

Nieparametryczną alternatywą dla testu

t-Studenta dla grup niezależnych jest
• test Wilcoxona-Manna-Whitneya
• test U Manna-Whitneya
• test serii Walda-Wolfowitza
• test Kołmogorowa-Smirnowa
Nieparametrycznym odpowiednikiem

metody analizy wariancji jest
• test rangowy Kruskala-Wallisa
• test mediany

Testy

różnic między grupami

zależnymi

Nieparametrycznym odpowiednikiem
testu t-Studenta dla par skorelowanych
jest

• test znaków

• test Wilcoxona
Jeśli brane pod uwagę zmienne są
zmiennymi skategoryzowanymi (tj.
"zdał" lub "nie zdał") wówczas
stosowany jest test McNemary

Testy

współzależności

między zmiennymi

Aby zbadać współzależność między
dwiema cechami, obliczamy zazwyczaj
współczynnik korelacji Pearsona.
Odpowiednikami nieparametrycznymi
są:

• współczynnik korelacji rangowej
Spearmana

• współczynnik korelacji Kendalla

• współczynnik gamma

Testy

współzależności

między zmiennymi

W przypadku zmiennych
skategoryzowanych (np. "zdał" lub "nie
zdał", "mężczyzna" lub "kobieta"), do
oceny współzależności między
zmiennymi stosowane są:

• test chi-kwadrat

• współczynnik f

2

• dokładny test Fishera

Test Wilcoxona-Manna-

Whitneya

H

0

: μ

A

= μ

B

versus H

A

: μ

A

 μ

B

Kroki postępowania:
1. Uszeregować wszystkie obserwacje rosnąco

(łącznie wyniki w grupie A i w grupie B)

2. Przypisać rangi uporządkowanym obserwacjom
3. Posumować rangi obserwacji dla grupy A (jako

T

A

) i dla grupy B (jako T

B

)

4. Przyjąć wartość testu: T = min(T

A

, T

B

)

5. Zweryfikować H

0

(jeśli wartość obliczona

statystyki testowej (T) znajduje się w obszarze
krytycznym testu (tzn. T<T

α

) to odrzucić H

0

)

Test Wilcoxona-Manna-

Whitneya

przykład

Jedną grupę krów żywiono sianem z łąk
mocno nawożonych (A), a drugą grupę
żywiono sianem z łąk nie nawożonych (B).
U zwierząt zbadano bilans Mg. Otrzymano
następujące wyniki:
Grupa A: 8, 12, 8, 9, 6, 9, 10
Grupa B: 2, 5, 3, 4, 5, 7
Zbadać, czy grupy różniły się bilansem Mg
H

0

: A i B mają taki sam bilans Mg (

μ

A

= μ

B

)

H

A

: A i B mają różny bilans Mg (

μ

A

 μ

B

)

Test Wilcoxona-Manna-
Whitneya
przykład

Grupa A:

6

8 8 9 9 10 12

rangi:

6 8,5 8,5 10,5 10,5 12 13

Grupa B:

2 3 4 5 5 7

rangi:

1 2 3 4,5 4,5 7

Obliczamy sumy rang:

dla grupy A: T

A

=6+8,5+8,5+10,5+10,5+12+13=69

dla grupy B: T

B

=1+2+3+4,5+4,5+7=22

Przyjmujemy wartość testu:

T=min(T

A

, T

B

) =min(69, 22)=22

Wartość krytyczna testu dla T

α

=T

0,05

=27 więc

T< T

α

i odrzucamy H

0

Grupa A: 8, 12, 8, 9, 6, 9, 10
Grupa B: 2, 5, 3, 4, 5, 7

Test U Manna-Whitneya

H

0

: μ

A

= μ

B

versus

H

A

: μ

A

 μ

B

Kroki postępowania:
• Uszeregować wszystkie obserwacje rosnąco

(łącznie wyniki w grupie A i w grupie B)

• Przypisać rangi uporządkowanym obserwacjom
• Podsumować rangi obserwacji dla grupy A (jako S

A

)

• Obliczyć wartość testu:
U=S

A

- n

A

(n

A

+1)/2

gdzie n

A

jest liczbą obserwacji w grupie A

5. Zweryfikować H

0

(jeśli wartość obliczona

statystyki

testowej (U) znajduje się w obszarze krytycznym

testu (tzn. U<U

α

lub U>n

A

n

B

–U

α

) to odrzucić

hipotezę H

0

)

Test U Manna-Whitneya -

przykład

Zebrano dane o czasie życia (w dobach) ryb
kontrolnych (grupa A) oraz ryb traktowanych
pewną substancją chemiczną (grupa B). Czy
między grupami A i B występuje różnica w
przeżywalności ryb?
A: 20 23 28 30 31 32 44 33
B: 20 29 23 48 41 32 36 43 42 46
n

A

= 8, n

B

= 10

H

0

: A i B mają taki sam czas przeżycia

H

A

: A i B różnią się czasem przeżycia

Test U Manna-Whitneya -
przykład

Szeregujemy dane i nadajemy im rangi

:

Grupa A: 20 23

28 30 31 32 33 44

rangi:

1,5 3,5 5 7 8 9,5

11 16

Grupa B:

20 23

29 32 36 41 42 43

46 48

rangi:

1,5 3,5 6 9,5 12 13 14

15 17 18

Sumujemy rangi dla grupy

A

S

A

=1,5+3,5+5+7+8+9,5+11+16=61,5

Obliczamy wartość

: U = S

A

–n

A

(n

A

+1)/2

U= 61,5 – 8(8+1)/2=61,5 – 36 = 25,5

A: 20 23 28 30 31 32 44

33

B: 20 29 23 48 41 32 36 43

42 46

Test U Manna-Whitneya -

przykład

Weryfikujemy H

0

Dla n

A

=8 i n

B

=10 i dla α=0,05: U

0,05

=18

(wartość dolna z tablic) oraz (n

A

n

B

–U

0,05

)=810 –

18= 62

Obliczona wartość U=25,5 jest poza
obszarem krytycznym więc nie ma
podstaw do odrzucenia H

0

tzn. że czas

przeżycia ryb w obu grupach nie różnił
się

Test U Manna-Whitneya

Test U Manna-Whitneya możemy

zastosować do danych spełniających

założenia testu t-Studenta, z tym że jego moc

wynosi około 95% mocy testu t-Studenta
Jeżeli dane są typu porządkowego

(niemierzalne) to hipoteza zerowa zakłada,

że badane grupy pochodzą z tych samych

populacji, tzn. rozkłady danych w

analizowanych grupach nie różnią się istotnie

ponieważ dla danych porządkowych nie

można obliczyć wartości średniej (miarą

położenia jest mediana)

Test Wilcoxona

Test Wilcoxona opiera się na różnicach
w parach i ich rangach (odpowiednik
testu t-Studenta dla par skorelowanych
tzn. grup zależnych)
Test Wilcoxona uwzględnia znak różnic,
ich wielkość, jak również ich kolejność.
Hipoteza zerowa:
H

0

: brak istotnych różnic w parach

Hipoteza alternatywna:
H

A

: różnice w parach są istotne

Test Wilcoxona

Kroki postępowania:

1.Obliczenie różnic wartości w parach
2.Uporządkowanie różnic i przypisanie im

rang (ignorując znak różnicy)

3.Posumowanie rang różnic dodatnich (T

+

)

i ujemnych (T

-

)

4.Wartość testu Wilcoxona: T=min(T

+

,T

-

)

5.Weryfikacja H

0

(porównanie T z

odpowiednią wartością krytyczną (T

α

) ;

jeśli T<T

α

to odrzucamy hipotezę

zerową)

Test znaku i Wilcoxona -

przykład

Badano liczbę przeciwciał przed szczepieniem
i po szczepieniu u 8 pacjentów. Czy
przeprowadzone szczepienie było skuteczne?

przeciwciała przed

szczepieniem (x

1

)

65

45

52

66

49

73

55

77

przeciwciała po

szczepieniu (x

2

)

68

47

59

67

48

77

59

75

Różnica (x

2

-x

1

)

3

2

7

1

-1

4

4

-2

ranga

5

3,5

8

1,5

1,5

6,5

6,5

3,5

liczba znaków „minus”=2, liczba znaków „plus”=6

Test Wilcoxona
przykład

H

0

: liczba przeciwciał przed i po szczepieniu

nie różni się
H

A

: liczba przeciwciał przed i po szczepieniu

różni się
Obliczamy sumy rang:
T

(+)

=5+3,5+8+1,5+6,5+6,5=31

T

(-)

=1,5+3,5=5

T=min(T

(+)

, T

(-)

)=min(31 , 5)=5

T

0,05

=4 (przy 8 parach)

zatem T >T

0,05

więc nie odrzucamy H

0

różni

ca

3

2

7

1

-1

4

4

-2

ranga 5

3,

5

8

1,

5

1,

5

6,

5

6,

5

3,

5