Ilustracja związku

Ilustracja związku

dystrybuanty

dystrybuanty

teoretycznej z

teoretycznej z

empiryczną

empiryczną

Opis zadania

Opis zadania

Dla dystrybuanty

Dla dystrybuanty

F(x)

F(x)

,

,

która ma dobrze określoną

która ma dobrze określoną

funkcję odwrotną

funkcję odwrotną

:

:



losujemy niezależnie liczby

losujemy niezależnie liczby

u

u

1

1

, u

, u

2

2

, . . . , u

, . . . , u

n

n

z

z

rozkładu jednostajnego

rozkładu jednostajnego

U

U

[0, 1];

[0, 1];



przekształcamy

przekształcamy

x

x

k

k

= F

= F

−1

−1

(u

(u

k

k

)

)

dla

dla

k = 1, 2, . . . , n

k = 1, 2, . . . , n

;

;



przez

przez

S

S

n

n

(x)

(x)

oznaczamy ilość tych elementów ciągu

oznaczamy ilość tych elementów ciągu

x

x

1

1

,

,

x

x

2

2

,

,

...

...

, x

, x

n

n

,

,

których wartość

których wartość

jest mniejsza niż

jest mniejsza niż

x.

x.



nazywamy dystrybuantą empiryczną.

nazywamy dystrybuantą empiryczną.



Dla kilku konkretnych przykładów dystrybuant

Dla kilku konkretnych przykładów dystrybuant

F

F

oraz dla kilku rzędów parametru

oraz dla kilku rzędów parametru

n

n

porównać (m.in.

porównać (m.in.

graficznie) otrzymaną dystrybuantę empiryczną

graficznie) otrzymaną dystrybuantę empiryczną

F

F

n

n

(x)

(x)

z dystrybuantą teoretyczną

z dystrybuantą teoretyczną

F(x)

F(x)

.

.

 

 

n

x

S

x

F

n

n



Dystrybuanta empiryczna

Dystrybuanta empiryczna

a PWL

a PWL

•

Zauważamy, że

Zauważamy, że

S

S

n

n

oznacza ilość sukcesów w

oznacza ilość sukcesów w

n

n

próbach

próbach

Bernoulliego, gdzie sukces w

Bernoulliego, gdzie sukces w

i

i

-tej próbie to zdarzenie

-tej próbie to zdarzenie

{X

{X

i

i

< x}

< x}

, a

, a

p=F(x)

p=F(x)

•

Zatem

Zatem

S

S

n

n

ma rozkład Bernoulliego z parametrami

ma rozkład Bernoulliego z parametrami

n

n

i

i

p=F(x)

p=F(x)

•

Możemy zastosować tw. Borela, z którego wynika:

Możemy zastosować tw. Borela, z którego wynika:

•

Co oznacza, że dla odpowiednio dużego

Co oznacza, że dla odpowiednio dużego

n

n

F

F

n

n

(x)≈F(x),

(x)≈F(x),

czyli dystrybuanta empiryczna jest przybliżeniem

czyli dystrybuanta empiryczna jest przybliżeniem

dystrybuanty teoretycznej

dystrybuanty teoretycznej

)

(

)

,...

,

;

(

)

,...

,

;

(

.

,

x

F

p

n

X

X

X

x

S

X

X

X

x

F

pr

z

n

n

n

n

n





















1

2

1

2

1

Rozkład wykładniczy

Rozkład wykładniczy

x

e

x

F

2

3

1

)

(







n=5

Błąd średniokwadratowy: 0,0210044
Największe odchylenie: 0,324

Rozkład wykładniczy

Rozkład wykładniczy

x

e

x

F

2

3

1

)

(







n=20

Błąd średniokwadratowy: 0,00193983
Największe odchylenie: 0,1799

Rozkład wykładniczy

Rozkład wykładniczy

x

e

x

F

2

3

1

)

(







n=100

Błąd średniokwadratowy: 0,000781755
Największe odchylenie: 0,0281

Rozkład wykładniczy

Rozkład wykładniczy

x

e

x

F

2

3

1

)

(







n=1000

Błąd średniokwadratowy: 1,6035 · 10

-7

Największe odchylenie: 0,0006999997

Rozkład Cauchy’ego

Rozkład Cauchy’ego

n=5

Błąd średniokwadratowy: 0,00684262
Największe odchylenie: 0,0965

x

x

F

arctg

1

2

1

)

(







Rozkład Cauchy’ego

Rozkład Cauchy’ego

x

x

F

arctg

1

2

1

)

(







n=20

Błąd średniokwadratowy: 7,5326 · 10

-5

Największe odchylenie: 0,0381

Rozkład Cauchy’ego

Rozkład Cauchy’ego

n=50

Błąd średniokwadratowy: 0,000646874
Największe odchylenie: 0,0256

x

x

F

arctg

1

2

1

)

(







Rozkład Cauchy’ego

Rozkład Cauchy’ego

n=100

Błąd średniokwadratowy: 1,43857 · 10

-5

Największe odchylenie: 0,0038

x

x

F

arctg

1

2

1

)

(







Rozkład Cauchy’ego

Rozkład Cauchy’ego

n=1000

Błąd średniokwadratowy: 1,59877 · 10

-7

Największe odchylenie: 0,0003999

x

x

F

arctg

1

2

1

)

(







Rozkład arcsin

Rozkład arcsin

x

x

F

arcsin

1

2

1

)

(







n=5

Błąd średniokwadratowy: 0,00706723
Największe odchylenie: 0,1878





1

;

1





x

Rozkład arcsin

Rozkład arcsin

x

x

F

arcsin

1

2

1

)

(







n=20

Błąd średniokwadratowy: 0,000405924
Największe odchylenie: 0,0442997





1

;

1





x

Rozkład arcsin

Rozkład arcsin

x

x

F

arcsin

1

2

1

)

(







n=100

Błąd średniokwadratowy: 0,000122224
Największe odchylenie: 0,0110998





1

;

1





x

Rozkład arcsin

Rozkład arcsin

x

x

F

arcsin

1

2

1

)

(







n=500

Błąd średniokwadratowy: 2,54179 · 10

-7

Największe odchylenie: 0,0014028





1

;

1





x

Rozkład arcsin

Rozkład arcsin

x

x

F

arcsin

1

2

1

)

(







n=2000

Błąd średniokwadratowy: 8,76349 · 10

-8

Największe odchylenie: 0,000296098





1

;

1





x

Rozkład Pareto z param. 2

Rozkład Pareto z param. 2

2

1

1

1

)

(

x

x

F







n=5

Błąd średniokwadratowy: 0,0285624
Największe odchylenie: 0,1733







 ;

0

x

Rozkład Pareto z param. 2

Rozkład Pareto z param. 2

2

1

1

1

)

(

x

x

F







n=20

Błąd średniokwadratowy: 0,00223757
Największe odchylenie: 0,0477







 ;

0

x

Rozkład Pareto z param. 2

Rozkład Pareto z param. 2

2

1

1

1

)

(

x

x

F







n=100

Błąd średniokwadratowy: 0,000619006
Największe odchylenie: 0,0249999







 ;

0

x

Rozkład Pareto z param. 2

Rozkład Pareto z param. 2

2

1

1

1

)

(

x

x

F







n=500

Błąd średniokwadratowy: 4,75187 · 10

-5

Największe odchylenie: 0,00690007







 ;

0

x

Rozkład Pareto z param. 2

Rozkład Pareto z param. 2

2

1

1

1

)

(

x

x

F







n=2000

Błąd średniokwadratowy: 4,00494 · 10

-8

Największe odchylenie: 0,000400007







 ;

0

x

Rozkład kwadratowy

Rozkład kwadratowy

2

)

(

x

x

F



n=5

Błąd średniokwadratowy: 0,0262666
Największe odchylenie: 0,183

 

1

;

0



x

Rozkład kwadratowy

Rozkład kwadratowy

2

)

(

x

x

F



n=20

Błąd średniokwadratowy: 0,00031811
Największe odchylenie: 0,0185

 

1

;

0



x

Rozkład kwadratowy

Rozkład kwadratowy

2

)

(

x

x

F



n=100

Błąd średniokwadratowy: 2,99292 · 10

-6

Największe odchylenie: 0,0173001

 

1

;

0



x

Rozkład kwadratowy

Rozkład kwadratowy

2

)

(

x

x

F



n=1000

Błąd średniokwadratowy: 4,57001 · 10

-9

Największe odchylenie: 0,0021

 

1

;

0



x

Wnioski:

Wnioski:



Gdy liczba prób o rozkładzie,
którego dystrybuanta wynosi F(x),
dąży do nieskończoności to
dystrybuanta empiryczna tych prób
dąży do dystrybuanty teoretycznej



Niektóre dystrybuanty empiryczne
dążą szybciej do odpowiadającym
im dystrybuant teoretycznych.



Przy odpowiedniej liczbie prób
możemy rozpoznać jakiego typu jest
przybliżana dystrybuanta

Dziękujemy za

Dziękujemy za

uwagę!

uwagę!