Arytmetyka komputera

Wyjaśnienie zagadnienia z

przykładami

Podstawowe pojęcia

Bit – (ang. binary digit) najmniejsza ilość informacji potrzebna

do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych

stanów przyjął układ. Jest to ednostka logiczna. Bit

przyjmuje jedną z dwóch wartości, które zwykle określa się

jako 0 (zero) i 1 (jeden), choć można przyjąć dowolną inną

parę wartości, np. prawda i fałsz czy -1 i +1. W pierwszym

przypadku bit jest tożsamy z cyfrą w systemie dwójkowym.

• Binarny sposób zapisu informacji związany jest z tym, że

komputer jako urządzenie elektroniczne rozpoznać może

dwa stany prądowe:

• 0 – brak napięcia lub bardzo niskie (mniej niż 10% wartości

wysokiego)

• 1 – wysokie napięcie.
Z tego względu, obliczenia wykonywane przez procesor

opierają się na binarnym (dwójkowym) systemie liczbowym.

Bajt - (ang. byte) najmniejsza adresowalna jednostka pamięci

komputerowej, składająca się z bitów. W praktyce przyjmuje

się, że jeden bajt to 8 bitów, choć to nie wynika z powyższej

definicji. Aby uniknąć niejednoznaczności, jednostka

składająca się z ośmiu bitów zwana jest również oktetem.

Bywa też że "bajt" definiuje się jako 8 bitów, najmniejszą

adresowalną jednostkę pamięci nazywając znakiem.

System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego

zapisywania i nazywania liczb. Do zapisywania liczb zawsze

używa się pewnego skończonego zbioru znaków - zwanych

cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi), które jednak można

zestawiać ze sobą na różne sposoby otrzymując nieskończoną

liczbę kombinacji. Najbardziej prymitywnym systemem

liczbowym, jaki sobie można wyobrazić, to jedynkowy system

liczbowy, w którym występuje tylko jeden znak (np. 1, albo

słowo "hau"). W systemie tym kolejne liczby są tworzone przez

proste powtarzanie tego znaku. Np. 3 w tym systemie jest

równe 111, a pięć 11111. Systemem takim posługują się np.

Pigmeje.

„Najpopularniejsze” systemy

liczbowych w Informatyce

Dwójkowy system liczbowy - (inaczej binarny) to pozycyjny

system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi

liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwa znaki: 0 i

1. Powszechnie używany w informatyce. Jak w każdym

pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako

ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi

liczby stanowiącej podstawę systemu. Np. liczba zapisana w

dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie

dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:

1x2^3 + 0x2^2 + 1x2^1 + 0x2^0 = 8+2 = 10.

Objaśnienie: zapis 2^3 oznacza 2 do potęgi 3.
Jest to od dawna stosowana forma zapisu potęg przez

programistów i informatyków – spróbuj zapisać (bez daszka)

potęge 2 do 5 na IRC`u albo w zwykłym mailu ;)

Szesnastkowy system liczbowy to pozycyjny system

liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi

liczby 16. Często system szesnastkowy jest określany

nazwą Hex od słowa stworzonego przez firmę IBM

hexadecimal. Początkowo chciano używać łacińskiego sexa

zamiast hexa, ale niejednoznacznie się to kojarzyło. Do

zapisu liczb potrzebne jest szesnaście cyfr. Poza cyframi

dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych sześciu liter

alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, E, F. Jak w każdym

pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako

ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi

liczby stanowiącej podstawę systemu, np. liczba zapisana w

dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w hex

przybiera postać 3E8, gdyż:
3x16^2 + 14x16^1 + 8x16^0 = 768 + 224 + 8 = 1000.
Hex jest powszechnie używany w informatyce, ponieważ

wartość pojedynczego bajtu można opisać używając tylko

dwóch cyfr szesnastkowych. W ten sposób można kolejne

bajty łatwo przedstawić w postaci ciągu liczb hex.

Jednocześnie zapis 4 bitów można łatwo przełożyć na jedną

cyfrę hex.

- Arytmetyka komputera -

operacje na bitach

Dzisiejsze komputery korzystają oczywiście z systemu
binarnego, po to właśnie był rozdział o systemach
liczbowych. Wszystko jest zapisane w postaci zer i jedynek,
aby zachować bezawaryjność (łatwiej zapanować nad
dwoma stanami niż dziesięcioma, szczególnie w
elektronice) i „prostotę” budowy podzespołów. Liczby
dziesiętne konwertowane są na dwójkowe. Nawet litery
zapisane są w postaci zer i jedynek (w jaki sposób? Wpisz w
google ASCII ;)). Skoro jesteśmy przy systemie binarnym
nieodzownym staje się poznanie kilku podstawowych pojęć
z zakresu logiki.

- Operacje na bitach -

AND – iloczyn logiczny

Koniunkcja to zdanie złożone mające postać p i q , gdzie p, q są zdaniami.

W rachunku zadań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: .
Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać p(1) i ... i p(n).

Ciekawostka: w językach programowania C/C++ operatorem bitowym

iloczynu logicznego jest pojedynczy znak & (operatorem logicznym jest
&&)

 

  

   

   

 

   

 

       

       

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Tabela prawdy AND

Przykłady:

1111 & 0000 = 0000

1010 & 1101 = 1000

1111 & 1001 = 1001

- Operacje na bitach –

OR – suma logiczna

Alternatywa - jedna z możliwości wyboru. Po podjęciu decyzji tylko

jedna z alternatyw staje się decyzją. Działanie to pozostaje w ścisłym

związku z dodawaniem zbiorów. Dlatego zdanie utworzone z innych

zdań przy użyciu alternatywy jest też nazywane sumą logiczną.

Alternatywa jest prawdziwa, jeżeli którekolwiek z jej zdań składowych

jest prawdziwe. W przeciwnym razie alternatywa zdań jest fałszywa.

Ciekawostka: w językach programowania C/C++ operatorem bitowym

sumy logicznej jest pojedynczy znak | (operatorem logicznym jest ||)

p

q

p v q

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Tabela prawdy OR

Przykłady:

1111 | 0000 = 1111

1010 | 1101 = 1111

1111 | 1001 = 1111

- Operacje na bitach –

NOT – negacja

Negacja - jednoargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które

każdemu zdaniu p przyporządkowuje zdanie nieprawda, że p.
Negację zdania p uważa się za prawdziwą, gdy zdanie p jest
fałszywe, zaś za fałszywą, gdy zdanie p jest prawdziwe.

Ciekawostka: w językach programowania C/C++ operatorem negacji

jest znak !

p

!p

0

1

1

0

Tabela prawdy NOT

Przykłady:

!1111 = 0000

!1010 = 0101

!0000 = 1111

- Operacje na bitach –

XOR – alternatywa

wykluczająca

Alternatywa wykluczająca – (alternatywa rozłączna), jeden ze spójników

zdaniowych w logice. Alternatywa wykluczająca zdań p i q jest
prawdziwa tylko wtedy, gdy dokładnie jedno ze zdań p bądź q jest
prawdziwe.

Ciekawostka: w językach programowania C/C++ operatorem bitowym XOR

jest znak ^

p

q

p ^ q

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Tabela prawdy XOR

Przykłady:

1111 ^ 0000 = 1111

1010 ^ 1101 = 0111

1111 ^ 1001 = 0110

1111 ^ 1111 = 0000

- Operacje na bitach –

SHL, SHR – przesunięcie bitowe

w lewo, w prawo

Są poleceniami procesora (dostępnymi z poziomu każdego

szanującego się języka programowania) nakazującymy

przesunięcie wszystkich bitów w lewo lub w prawo o zadaną

ilość miejsc. Przesunięcie o 1 bit w lewo oznacza pomnożenie

liczby razy 2, o 2 bity – razy 4 itd., przesunięcie w prawo

oznacza dzielenie (zgodnie z kolejnymi potęgami dwójki).

Operacja przesunięcia bitowego trwa bardzo krótko, procesor

dużo szybciej przesuwa o jeden bit w lewo niż mnoży razy dwa

(asm: mul). Przesunięcie o dowolną ilość bitów (nie tak

dowolną w 32bitowych maszynach maksymalne przesunięcie

to własnie 32 bity, związane to jest z rozmiarami

podstawowych rejestrów procesora) trwa z reguły jeden cykl

zegara, mnożenie trwa kilka- kilkanaście, zaś dzielenie aż

kilkadziesiąt!

Ciekawostka: w językach programowania C/C++ operatorem

przesunięcia bitowego w lewo jest << zaś w prawo >>

System zapisu U2,

czyli jak zapisać liczby ujemne

za pomocą samych zer i

jedynek

Kod uzupełnień do dwóch (w skrócie U2 lub ZU2) jest obecnie

najpopularniejszym sposobem zapisu liczb (najczęściej całkowitych)

na bitach. Jego popularność wynika z faktu, że operacje dodawania i

odejmowania są w nim wykonywane tak samo jak dla liczb

binarnych bez znaku. Z tego też powodu oszczędza się na kodach

rozkazów procesora. Nazwa kodu wzięła się ze sposobu obliczania

liczb przeciwnych. Dla jednobitowej liczby wartość przeciwną

obliczamy odejmując daną liczbę od 2 (uzupełniamy jej wartość do

dwóch). Analogicznie, dla liczb n-bitowych wartości przeciwne

uzyskujemy odejmując liczbę od dwukrotnej wagi najstarszego bitu:

2·2^(n–1) = 2n

W analogiczny sposób można stworzyć np. kod uzupełnień do

jedności. Zaletą tego kodu jest również istnienie tylko jednego zera.

Przedział kodowanych liczb nie będzie zatem symetryczny. W U2 na

n bitach da się zapisać liczby z zakresu:

Dla 8 bitów (bajtu) są to liczby od –128 do 127. Liczba –2n–1 nie

posiada swojego przeciwieństwa w n-bitowej reprezentacji kodu U2.