23.06.21

IMSiIS

1.1

Uniwersytet Kazimierza Wielkiego

Arytmetyka komputerowa

23.06.21

IMSiIS

1.2

Systemy dziesiętny



Najpopularniejszym z systemów liczbowych
jest system dziesiętny

234

(10)

= 2 * 10

2

+3 * 10

1

+ 4 *

10

0

Podstawa

systemu

liczbowego

L

(10)

= C

k

* 10

n

+ C

k-1

* 10

k-1

+...+ C

0

*

10

0

przykład



Uwaga !

W systemie dziesiętnym wykorzystuje
się 10 cyfr (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9)

23.06.21

IMSiIS

1.3

System dwójkowy



Dwójkowy

zwany

binarnym

systemem liczbowym jest

pozycyjnym systemem zapisu liczb opartym na
potęgach liczby 2. Wykorzystuje dwie cyfry (

0

,

1

)

1010

(2)

= 1 * 2

3

+0 * 2

2

+ 1 * 2

1

+ 0 * 2

0

=

10

(10)

przykład



Cyframi tego systemu są:

0

i

1

. Symbolizują one dwa

stany tzw. stan niski i stan wysoki. Podstawą systemu jest

2

. Stąd też i nazwa - układ dwójkowy. A ponieważ jest to

również system pozycyjny, to możemy w znany już sposób
dokonywać konwersji liczby z systemu dziesiątkowego na
dwójkowy

23.06.21

IMSiIS

1.4

Zmiana liczb dziesiętnych na binarne

236 = 2 · 10

2

+ 3 · 10

1

+ 6 · 10

0

Cyfra

Waga

236 : 2 =118 reszta

0

118 : 2 =59 reszta

0

59 : 2 = 29 reszta

1

29 : 2 = 14 reszta

1

14 : 2 = 7 reszta

0

7 : 2 = 3 reszta

1

3 : 2 = 1 reszta

1

1 : 2 = 0 reszta

1

1 1 1 0 1 1

0 0

23.06.21

IMSiIS

1.5

Zalety układu binarnego



Mnożenie przez 2 - wystarczy przesunąć wszystkie bity
w liczbie w lewo o jedną pozycję,



Dzielenie całkowite przez 2 - poprzez przesunięcie bitów
w prawo - bit najmniej znaczący (tzw. najmłodszy) jest
tracony,



mnożenie i dzielenie całkowite przez potęgi dwójki -
przesunięcia odbywają się o określoną wykładnikiem
potęgi liczbę miejsc - na przykład mnożenie przez 8
odbywa się przez przesunięcie bitów o 3 pozycje w lewo
(8=2<<3),



inne, złożone z powyższych.

23.06.21

IMSiIS

1.6

Wady



podany powyżej sposób dotyczy tylko zapisu liczb
całkowitych dodatnich, w przypadku liczb rzeczywistych
należy użyć innych metod.



w celu binarnego zapisania dużej liczby potrzebujemy
znacznie dłuższego ciągu znaków 0/1 niż w przypadku
zapisu dziesiętnego.



Zapis liczb ujemnych wymaga stosowania dodatkowego
mechanizmu

23.06.21

IMSiIS

1.7

System szesnastkowy



System szesnastkowy

zwany

heksadecymalnym

wykorzystuje do zapisu liczby 16 cyfr (dziesięć

cyfr podstawowych (

0

–

9

) oraz litery

A

,

B

,

C

,

D

,

E

,

F

odpowiadające kolejno wartości 10, 11, 12,

13, 14, 15



Każdej cyfrze systemu szesnastkowego

odpowiada cztero-pozycyjna liczba systemu

dwójkowego. Zamiana liczby dwójkowej na

szesnastkową polega na przypisaniu każdym

kolejnym czterem pozycjom zerojedynkowym

odpowiedniej cyfry układu szesnastkowego

1011 0011 1010

(2)

=

B3A

(16)

przykład

11

(10

)

3

(10)

10

(10

)

23.06.21

IMSiIS

1.8

Jednostki informacji



Komputer przechowuje dane w postaci

liczb binarnych

(2);



Pojedyncza cyfra systemu dwójkowego mogąca
przechowywać informację o jednym z dwóch możliwych
stanów – może przybierać wartość

0

lub

1

, oznacza

najmniejszą i niepodzielną jednostkę informacji cyfrowej –
zwanej

bit

bit

-em (1

b

b

);



Bity grupuje się w

bajt

bajt

(1

B)

B)

, którego tworzy 8 bitów.



1 kB =2

10

B = 1024 B (

kilobajt

)



1 MB =2

20

B = 1024 kB (

megabajt

)



1 GB =2

30

MB = 1024 MB (

gigabajt

)



1 TB =2

40

B = 1024 GB (tera

bajt

)



1 PB =2

50

B = 1024 TB (

peta bajt

)



1 EB =2

60

B = 1024 PB (

eksabajt

)

23.06.21

IMSiIS

1.9

Reprezentacja liczb naturalnych



Liczby naturalne

przechowywane są dokładnie tak, jak

zapisuje się je w systemie dwójkowym.



Każdy bit stanowi pojedynczą cyfrę w tym systemie;



Liczba zapisana w postaci binarnej jest określona przez
ilość możliwych kombinacji bitów zajmując przy tym
określony obszar pamięci komputera

2

8

= 256

przykład

Dla 1 B (8b) możliwych liczb
będzie:

Przyjmując za pierwszą liczbę 0 otrzymujemy zakres liczb 0 -
255

bit

7

6

5

4

3

2

1

0

waga

128 64

32

16

8

4

2

1

23.06.21

IMSiIS

1.10

Reprezentacja liczb całkowitych



Reprezentację

liczb całkowitych

w komputerze

wymaga zastosowania pewnego mechanizmu do
najpopularniejszych rozwiązań należy:



reprezentacja

znak-moduł

– polega ona na tym, że

informację o tym czy mamy do czynienia z liczbą
dodatnią czy ujemną określamy poprzez wartość
najbardziej znaczącego bitu ( jeśli

0

to

+

, jeśli

1

to

-

)



reprezentacja

uzupełnienia do dwóch

(

U2

),

podobnie jak poprzednia notacja używa najbardziej
znaczącego bitu jako bitu znaku, różni się natomiast
interpretowaniem pozostałych bitów.

23.06.21

IMSiIS

1.11

Reprezentacja znak-moduł



Reprezentacja znak-moduł ma kilka wad:



odejmowanie i dodawanie wymaga rozważania znaków

liczb jaki i ich modułów;



występowanie dwóch reprezentacji liczby 0;

0

0 1 0 0 1 0 0

zna
k

moduł

1
bit

N-1 bitów

Słowo 8 bitowe

Możliwe jest zakodowanie 256 liczb

od –128 (10000000)

(2)

do 127

(01111111)

(2)

Uwaga !

10000000
00000000

23.06.21

IMSiIS

1.12

Arytmetyka liczb całkowitych



Negowanie



Dodawanie



Odejmowanie



Mnożenie



Dzielenie

23.06.21

IMSiIS

1.13

Negowanie



Negowanie realizuje się za pomocą następujących
czynności:



należy zanegować wszystkie bity liczby negowanej
(negacja bitowa:



Do otrzymanego wyniku dodać 1 stosując normalne
dodawanie dla liczb binarnych

1

0

0

1

1

1

0

1

~

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

+

0

0

0

0

0

0

0

1

wynik

0

1

1

0

0

0

1

1

Negacja
bitowa

Liczba
przeciwna

23.06.21

IMSiIS

1.14

Dodawanie



Dodawanie liczb binarnych z uzupełnieniem do dwóch

realizowane jest podobnie do dodawanie w układzie dziesiętnym



Uwaga podobnie, ale nie identyczne

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

3

4

7

przepełnienie

1 +

1
= 0

23.06.21

IMSiIS

1.15

Odejmowanie



W celu odjęcia od jednej liczby (odjemnej) drugiej liczby

(odjemnika) wyznaczamy liczbę przeciwną w uzupełnieniu

do dwóch odjemnika i dodajemy ją do odjemnej

0 1 1

1

0 0 1

0

0 1 1

1

2

7

2-7=2+(-

7)=-5

1 0 0

0

negacja bitowa

0 0 0

1

Dodawana
jedynka

1 0 0

1

+

Wynik jest liczbą

przeciwną

0 0 1

0

1 0 0

1

1 0 1

1

-5

+

W przypadku odejmowania
tez może wystąpić
przepełnienie

23.06.21

IMSiIS

1.16

Reprezentacja liczb rzeczywistych



W postaci kodu stałoprzecinkowego
(stałopozycyjnego)



W postaci kodu zmiennoprzecinkowego
(zmiennopozycyjnego)

Liczby rzeczywiste można przedstawić:

Nie jest możliwe przedstawienie nieskończonych zbiorów za
pomocą skończonej liczby bitów. Do obliczeń w komputerach
stosuje się reprezentację skończonych podzbiorów liczb
rzeczywistych.
Zgodne jest to ze standardem

IEEE – 754

, gdzie określony został

standard zapisu i działań arytmetycznych na liczbach
zmiennoprzecinkowych