Arytmetyka komputerów

wer. 1.2

Wojciech Myszka

23 pazdziernika 2008

Cz¦±¢ I

Liczby binarne i arytmetyka komputerów

Arytmetyka komputerów

I

Zapis liczb

dwójkowy.

I

Ka»da z liczb zapisywana jest za pomoc¡ cyfr 0 i 1.

I

Ukªad jest pozycyjny

waga cyfry zale»y od miejsca,

w którym zostaªa ustawiona.

I

Najmniej znacz¡ce miejsca s¡ po stronie prawej. . .

I

1010 to 1 × 2

3

+

0 × 2

2

+

1 × 2

1

+

0 × 2

0

czyli 8 + 0 + 2 + 0 = 10

I

NB liczby parzyste maj¡ zero na ko«cu, nieparzyste

1.

I

Arytmetyka dwójkowa

bardzo prosta.

I

0 + 0 = 0

I

1 + 0 = 0 + 1 = 1

I

1 + 1 = 10

I

1 × 1 = 1

I

1 × 0 = 0 × 1 = 0

I

0 × 0 = 0

Operacje logiczne

(Podstawowe) operacje logiczne to suma logiczna (OR), iloczyn
logiczny (AND), negacja (NOT), ró»nica symetryczna (XOR)

OR 0 1

0 0 1
1 1 1

AND 0 1

0 0 0
1 0 1

XOR 0 1

0 0 1
1 1 0

Arytmetyka komputera

Arytmetyka klasyczna

Jeste±my przyzwyczajeni do nast¦puj¡cych rzeczy :

1.

Je»eli x 6= 0 to ∀a a + x 6= a

2.

a + b + · · · + z = z + y + · · · + b + a

3.

∀

a, b ∈ < a < b ∃c : a < c < b

W arytmetyce komputerowej powy»sze zasady nie obowi¡zuj¡!

Arytmetyka komputera

Arytmetyka klasyczna

Jeste±my przyzwyczajeni do nast¦puj¡cych rzeczy :

1.

Je»eli x 6= 0 to ∀a a + x 6= a

2.

a + b + · · · + z = z + y + · · · + b + a

3.

∀

a, b ∈ < a < b ∃c : a < c < b

W arytmetyce komputerowej powy»sze zasady nie obowi¡zuj¡!

Arytmetyka komputera

Arytmetyka klasyczna

Jeste±my przyzwyczajeni do nast¦puj¡cych rzeczy :

1.

Je»eli x 6= 0 to ∀a a + x 6= a

2.

a + b + · · · + z = z + y + · · · + b + a

3.

∀

a, b ∈ < a < b ∃c : a < c < b

W arytmetyce komputerowej powy»sze zasady nie obowi¡zuj¡!

Arytmetyka komputera

Arytmetyka klasyczna

Jeste±my przyzwyczajeni do nast¦puj¡cych rzeczy :

1.

Je»eli x 6= 0 to ∀a a + x 6= a

2.

a + b + · · · + z = z + y + · · · + b + a

3.

∀

a, b ∈ < a < b ∃c : a < c < b

W arytmetyce komputerowej powy»sze zasady nie obowi¡zuj¡!

Liczby zmiennoprzecinkowe

1.

Arytmetyka

1.1

Liczby naturalne

1.2

Liczby caªkowite

1.3

Liczby wymierne

1.4

Liczby rzeczywiste

2.

Komptery

2.1

Liczby caªkowite ( integer )

2.2

Liczby staªoprzecinkowe

2.3

Liczby zmiennoprzecinkowe

Liczby caªkowite I

I

Sytuacja dosy¢ klarowna.

I

Na n bitach mo»emy zapisa¢ liczby caªkowite dodatnie z
zakresu od zera do 2

n

−

1

I

Jest pewien problem z liczbami ujemnymi: trzeba
zarezerwowa¢ miejsce na znak

I

Trzeba to tak zrobi¢, »eby podstawowe operacje
(dodawanie, odejmowanie i mno»enie,. . . ) byªy
wykonywane tak samo gdy argumenty s¡ dodatnie jak i
wtedy gdy s¡ ujemne.

I

Ukªad uzupeªnieniowy to zaªatwiª.

Liczby caªkowite II

I

Czasami korzysta si¦ z kodu BCD (Binary Coded Decimal
(cyfry) dziesi¦tne kodowane binarnie: liczba zapisywana
jest w ukªadzie dziesi¦tnym (za pomoc¡ cyfr dziesi¦tnych),
ale poszczególne cyfry kodowane s¡ binarnie
321

(

10)

zapisywane jest jako 0011 0010 0001

2

Liczby ujemne

1.

Trzeba zarezerwowa¢ jeden bit na zapami¦tanie znaku!

2.

Wariant najprostszy 3

0

000011

3.

Wariant najprostszy −3

1

000011

Jest to zapis znak moduª

4.

Ale jak dodawa¢ takie liczby?

Liczby ujemne

Tablica odejmowania:

−

0 1

0

0 1

1

1

0

(Zakªadamy, »e operujemy na liczbach czterobitowych!)

0011 − 1 = 0010

0010 − 1 = 0001

0001 − 1 = 0000

0000 − 1 = 1111

Zatem −1 to 1111 (czterobitowo!)

Liczby ujemne

Dokonajmy prostego sprawdzenia:

5 + (−1)

0 1 0 1
1 1 1 1

1

0 1 0 0

Liczby ujemne

Dokonajmy prostego sprawdzenia:

5 + (−1)

0 1 0 1
1 1 1 1

1

0 1 0 0

Dygresja

Liczby dziesi¦tne, dwucyfrowe:

3 3
9 9

1

3 2

Dygresja

Liczby dziesi¦tne, dwucyfrowe:

3 3
9 9

1

3 2

Negacja liczby

Mnemotechniczny algorytm negacji jest bardzo prosty:

negujemy wszytskie bity i powstaª¡ liczb¦ zwi¦kszamy o 1:

1 to 0001
negacje: 1110
zwi¦kszenie o 1: 1111
2 to 0010
negacja: 1101
zwi¦kszenie o 1: 1110
sprawdzenie 5 + (−2)

0 1 0 1
1 1 1 0

1

0 0 1 1

Liczby staªoprzecinkowe

1.

Liczby w których na zapami¦tanie cz¦±ci caªkowitej
przeznacza si¦ kilka(na±cie/dziesi¡t) bitów

2.

Na zapami¦tanie cz¦±ci uªamkowej równie» u»ywa si¦
kilku(nastu?) bitów:

1 0 1 0 , 1 0 1 0

co odczytujemy jako:
1∗2

3

+

0∗2

2

+

1∗2

1

+

0∗2

0

+

1∗2

−

1

+

0∗2

−

2

+

1∗2

−

3

+

0∗2

−

4

lub 8 + 2 +

1

2

+

1

8

czyli 10,625

3.

U»ywany bardzo rzadko ( nanse??)

4.

Z matematycznego punktu widzenia s¡ to liczby wymierne

5.

Jak w tej postaci zapisa¢ liczb¦ 1,1

Liczby zmiennoprzecinkowe I

1.

S¡ to liczby zapisywane (kodowane) w sposób podobny do
zananego nam: c = 299792458 ∼ 3 ∗ 10

8

m/s

2.

Czyli w postaci mantysa (2,99792458) plus wykªadnik 8,
zatem 2,99792458*10

8

albo inaczej 2,99792458 e8

3.

W przypadku komputerów podstawa kodowania (tak
mantysy jak i wykªadnika) to 2!

4.

Dodatkowo liczby zapisywane s¡ zawsze w postaci

znormalizowanej czyli takiej, »e cyfra przed przecinkiem

(kropk¡) dziesi¦tnym jest zawsze z zakresu mi¦dzy 1 a 9. (

a

w ukªadzie dwójkowym zawsze jest równa 1!

)

5.

Na zapami¦tanie mantysy i wykªadnika przeznaczana jest
zawsze sko«czona liczba bitów.

Liczby zmiennoprzecinkowe II

6.

Z matematycznego punktu widzenia s¡ to liczby wymierne.

7.

Sposób zapisu liczb zmiennoprzecinkowych reguluje
standard IEE-754.

Par¦ problemów

1.

Zawsze(?) ograniczona liczba bitów przeznaczona na
zapami¦tanie liczby (ale znane s¡ specjalne programy,
które staraj¡ si¦ te ograniczenie przezwyci¦»a¢).

2.

Wynik dziaªa« arytmetycznych cz¦sto prowadzi do
powstania nadmiaru (czyli przekroczenia maksymalnej
dopuszczalnej warto±ci liczb).

3.

Wi¦kszo±¢ liczb które (z przyzwyczajenia) traktujemy jako
dokªadne, nie ma dokªadnej reprezentacji dwójkowej (0,5
jest OK ale 0,1 ju» nie).

Operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych I

1.

Mno»enie.
Jest proste: mno»ymy mantysy i dodajemy wykªadniki.
1, 33 e+3 ∗ 1, 55 e+7 = 2, 0615 e+10
Nast¦pnie trzeba wynik obci¡¢ do odpowiedniej liczby
miejsc znacz¡cych (w naszym przypadku niech to b¦d¡ trzy
cyfry)

2, 06 e+10

W przyku liczb binarnych b¦dzie podobnie.
Uwaga: czasami mo»e zdarzy¢ si¦ problem: w wyniku
mno»enia liczba mo»e ulec denormalizacji

wówczas

trzeba j¡ znormalizowa¢, zaokr¡gli¢ i skorygowa¢
wykªadnik: 5, 55 e+0 ∗ 6, 33e+0 = 35, 13 e+0 = 3, 51 e+1

Operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych II

2.

Dzielenie.
Post¦pujemy analogicznie jak w przypadku mno»enie
(dzielimy mantysy, odejmujemy wykªadniki). W przypadku

denormalizacji post¦pujem jak wy»ej

1, 33 e+0/9, 88 e+0 = 0, 134615385 e+0 = 1, 35 e−1

3.

Dodawanie.
Sprawa nieco bardziej skomplikowana. Aby dodawa¢ liczby
zmiennoprzecinkowe trzeba je najpierw

zdenormalizowa¢ i doprowadzi¢ do równo±ci

wykªadników:
1, 22 e+0 + 3, 35 e − 4 = 1, 22 e+0 + 0, 000335 e+0 =
1, 220335 e+0 = 1, 22 e+0
a nast¦pnie zaokr¡gli¢ i znormalizowa¢. . .

Operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych III

4.

Odejmowanie.
Identycznie jak dodawanie.

Przykªady oblicze«

Na stronie [

1

] znale¹¢ mo»na przykªadowe programy i wyniki ich

oblicze«.

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Liczby caªkowite:
Liczb¦ dzielimy przez dwa zapisuj¡c reszty z dzielenia:

10

5 0
2 1
1 0
0 1

Reszty z dzielenia zapisujemy od ko«ca otrzymuj¡c 1010

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Liczby caªkowite:
Liczb¦ dzielimy przez dwa zapisuj¡c reszty z dzielenia:

10

5 0

2 1
1 0
0 1

Reszty z dzielenia zapisujemy od ko«ca otrzymuj¡c 1010

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Liczby caªkowite:
Liczb¦ dzielimy przez dwa zapisuj¡c reszty z dzielenia:

10

5 0
2 1

1 0
0 1

Reszty z dzielenia zapisujemy od ko«ca otrzymuj¡c 1010

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Liczby caªkowite:
Liczb¦ dzielimy przez dwa zapisuj¡c reszty z dzielenia:

10

5 0
2 1
1 0

0 1

Reszty z dzielenia zapisujemy od ko«ca otrzymuj¡c 1010

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Liczby caªkowite:
Liczb¦ dzielimy przez dwa zapisuj¡c reszty z dzielenia:

10

5 0
2 1
1 0
0 1

Reszty z dzielenia zapisujemy od ko«ca otrzymuj¡c 1010

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Liczby caªkowite:
Liczb¦ dzielimy przez dwa zapisuj¡c reszty z dzielenia:

10

5 0
2 1
1 0
0 1

Reszty z dzielenia zapisujemy od ko«ca otrzymuj¡c 1010

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Cz¦±¢ uªamkowa:
Liczb¦ mno»ymy przez dwa i zapisujemy cz¦±¢ caªkowit¡:

,33

0

,66

1

,32

0

,64

1

,28

0

,56

1

,12

0

,24

0

,48

0

,96

1

,92

1

,84

1

,68

0,010101000111

2

=0,329833984375

10

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Cz¦±¢ uªamkowa:
Liczb¦ mno»ymy przez dwa i zapisujemy cz¦±¢ caªkowit¡:

,33

0

,66

1

,32

0

,64

1

,28

0

,56

1

,12

0

,24

0

,48

0

,96

1

,92

1

,84

1

,68

0,010101000111

2

=0,329833984375

10

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Cz¦±¢ uªamkowa:
Liczb¦ mno»ymy przez dwa i zapisujemy cz¦±¢ caªkowit¡:

,33

0

,66

1

,32

0

,64

1

,28

0

,56

1

,12

0

,24

0

,48

0

,96

1

,92

1

,84

1

,68

0,010101000111

2

=0,329833984375

10

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Cz¦±¢ uªamkowa:
Liczb¦ mno»ymy przez dwa i zapisujemy cz¦±¢ caªkowit¡:

,33

0

,66

1

,32

0

,64

1

,28

0

,56

1

,12

0

,24

0

,48

0

,96

1

,92

1

,84

1

,68

0,010101000111

2

=0,329833984375

10

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Cz¦±¢ uªamkowa:
Liczb¦ mno»ymy przez dwa i zapisujemy cz¦±¢ caªkowit¡:

,33

0

,66

1

,32

0

,64

1

,28

0

,56

1

,12

0

,24

0

,48

0

,96

1

,92

1

,84

1

,68

0,010101000111

2

=0,329833984375

10

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Cz¦±¢ uªamkowa:
Liczb¦ mno»ymy przez dwa i zapisujemy cz¦±¢ caªkowit¡:

,33

0

,66

1

,32

0

,64

1

,28

0

,56

1

,12

0

,24

0

,48

0

,96

1

,92

1

,84

1

,68

0,010101000111

2

=0,329833984375

10

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Cz¦±¢ uªamkowa:
Liczb¦ mno»ymy przez dwa i zapisujemy cz¦±¢ caªkowit¡:

,33

0

,66

1

,32

0

,64

1

,28

0

,56

1

,12

0

,24

0

,48

0

,96

1

,92

1

,84

1

,68

0,010101000111

2

=0,329833984375

10

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Cz¦±¢ uªamkowa:
Liczb¦ mno»ymy przez dwa i zapisujemy cz¦±¢ caªkowit¡:

,33

0

,66

1

,32

0

,64

1

,28

0

,56

1

,12

0

,24

0

,48

0

,96

1

,92

1

,84

1

,68

0,010101000111

2

=0,329833984375

10

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Cz¦±¢ uªamkowa:
Liczb¦ mno»ymy przez dwa i zapisujemy cz¦±¢ caªkowit¡:

,33

0

,66

1

,32

0

,64

1

,28

0

,56

1

,12

0

,24

0

,48

0

,96

1

,92

1

,84

1

,68

0,010101000111

2

=0,329833984375

10

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Cz¦±¢ uªamkowa:
Liczb¦ mno»ymy przez dwa i zapisujemy cz¦±¢ caªkowit¡:

,33

0

,66

1

,32

0

,64

1

,28

0

,56

1

,12

0

,24

0

,48

0

,96

1

,92

1

,84

1

,68

0,010101000111

2

=0,329833984375

10

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Cz¦±¢ uªamkowa:
Liczb¦ mno»ymy przez dwa i zapisujemy cz¦±¢ caªkowit¡:

,33

0

,66

1

,32

0

,64

1

,28

0

,56

1

,12

0

,24

0

,48

0

,96

1

,92

1

,84

1

,68

0,010101000111

2

=0,329833984375

10

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Cz¦±¢ uªamkowa:
Liczb¦ mno»ymy przez dwa i zapisujemy cz¦±¢ caªkowit¡:

,33

0

,66

1

,32

0

,64

1

,28

0

,56

1

,12

0

,24

0

,48

0

,96

1

,92

1

,84

1

,68

0,010101000111

2

=0,329833984375

10

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Cz¦±¢ uªamkowa:
Liczb¦ mno»ymy przez dwa i zapisujemy cz¦±¢ caªkowit¡:

,33

0

,66

1

,32

0

,64

1

,28

0

,56

1

,12

0

,24

0

,48

0

,96

1

,92

1

,84

1

,68

0,010101000111

2

=0,329833984375

10

Konwersje

Dziesi¦tny do dwójkowego

Cz¦±¢ uªamkowa:
Liczb¦ mno»ymy przez dwa i zapisujemy cz¦±¢ caªkowit¡:

,33

0

,66

1

,32

0

,64

1

,28

0

,56

1

,12

0

,24

0

,48

0

,96

1

,92

1

,84

1

,68

0,010101000111

2

=0,329833984375

10

Konwersje

Dwójkowy do dziesi¦tnego

Do zrobienia w domu!

Wnioski

1.

Konwersja liczb dziesi¦tnych do dwójkowych cz¦sto
wprowadza bª¦dy.

2.

Ograniczona liczba bitów powoduje, »e ka»de dziaªanie
wykonywane jest z bª¦dem.

3.

W przypadku wielokrotnego powtarzania jakiego±
obliczenia sprawa zaczyna mie¢ znaczenie. . .

Cz¦±¢ II

Bª¦dy numeryczne

Podstawowe de nicje

Wielko±¢

dowolna staªa matematyczna, wynik jakiej±

operacji matematycznej (dziaªania), pierwiastek
rozwi¡zywanego równania. π jest okre±lony jako stosunek
obwodu okr¦giu do jego ±rednicy;

√

2 jest pierwiastkiem

równania kwadratowego X

2

−

2 = 0.

Warto±¢ dokªadna wielko±ci

warto±¢ wynikaj¡ca wprost z

de nicji wielko±ci, nie obarczona »adnymi bª¦dami.
Warto±¢ przybli»ona wielko±ci

warto±¢ liczbowa uzyskana w

wyniku oblicze«. Zazwyczaj w wyniku oblicze« nie uzyskujemy
dokªadnej warto±ci.

Wielko±ci zyczne

Ci±nienie, temperatura, dªugo±¢, st¦»enie

to przykªady

wielko±ci zycznych, które bardzo cz¦sto mierzymy .
Ka»dy pomiar obarczony jest bª¦dem wynikaj¡cym
z dokªadno±ci u»ytego narz¦dzia pomiarowego.
Warto±¢ dokªadna to temperatura w jakim± miejscu sali; warto±¢
przybli»ona

to warto±¢ zmierzona jakim± termometrem.

Obliczenia

I

U»ywamy komputera do dokonania jakich± oblicze«.

I

Komputer podaje wynik (a = 5,34273343) maj¡cy 8 cyfr po
przecinku.

I

Czy mo»emy powiedzie¢, »e wyznaczona liczba ma
wszystkie cyfry poprawne?, Czy ró»ni si¦ od warto±ci
dokªadnej o mniej ni» 0,5 · 10

−

8

?

I

A co z sytuacj¡, »e zastosowana metoda oblicze« jest maªo
dokªadna?

Obliczenia

I

U»ywamy komputera do dokonania jakich± oblicze«.

I

Komputer podaje wynik (a = 5,34273343) maj¡cy 8 cyfr po
przecinku.

I

Czy mo»emy powiedzie¢, »e wyznaczona liczba ma
wszystkie cyfry poprawne?, Czy ró»ni si¦ od warto±ci
dokªadnej o mniej ni» 0,5 · 10

−

8

?

I

A co z sytuacj¡, »e zastosowana metoda oblicze« jest maªo
dokªadna?

Obliczenia

I

U»ywamy komputera do dokonania jakich± oblicze«.

I

Komputer podaje wynik (a = 5,34273343) maj¡cy 8 cyfr po
przecinku.

I

Czy mo»emy powiedzie¢, »e wyznaczona liczba ma
wszystkie cyfry poprawne?, Czy ró»ni si¦ od warto±ci
dokªadnej o mniej ni» 0,5 · 10

−

8

?

I

A co z sytuacj¡, »e zastosowana metoda oblicze« jest maªo
dokªadna?

Obliczenia

I

U»ywamy komputera do dokonania jakich± oblicze«.

I

Komputer podaje wynik (a = 5,34273343) maj¡cy 8 cyfr po
przecinku.

I

Czy mo»emy powiedzie¢, »e wyznaczona liczba ma
wszystkie cyfry poprawne?, Czy ró»ni si¦ od warto±ci
dokªadnej o mniej ni» 0,5 · 10

−

8

?

I

A co z sytuacj¡, »e zastosowana metoda oblicze« jest maªo
dokªadna?

Bª¡d bezwzgl¦dny warto±ci przybli»onej I

Niech A b¦dzie warto±ci¡ dokªadn¡, a a warto±ci¡ przybli»on¡
pewnej wielko±ci. Bª¦dem bezwzgl¦dnym warto±ci
przybli»onej nazywamy ka»d¡ liczb¦ ∆a speªniaj¡c¡ warunek:

|

A − a| ≤ ∆a,

to znaczy tak¡ liczb¦, »e

a − ∆a ≤ A ≤ a + ∆a.

Warto±¢ przybli»ona a i jej bª¡d bezwzgl¦dny ∆a wyznaczaj¡
przedziaª:

<

a − ∆a; a + ∆a >,

do którego nale»y dokªadna warto±¢ A
Bª¡d bezwzgl¦dny nie jest okre±lony jednoznacznie!

Liczba przybli»ona

Je»eli a jest warto±ci¡ przybli»on¡ dla warto±ci dokªadnej A,
obci¡»on¡ bª¦dem ∆a, to par¦ liczb ∆a, a zapisan¡ w postaci

∆

a

a

b¦dziemy nazywali liczb¡ przybli»on¡ dla A.

π

Wiemy, »e π = 3,14159265 . . .. Warto±ci¡ przybli»on¡ π cz¦sto
u»ywan¡ w rachunkach, jest liczba 3,14.
Jej bª¦dem bezwzgl¦dnym jest na przykªad liczba ∆a = 0,0016.
Dokªadna warto±¢ π jest zawarta mi¦dzy liczbami:

3,14 − 0,0016 ≤ π ≤ 3, 14 + 0,0016

to znaczy π znajduje si¦ w przedziale

<

3,1384; 3,1416 >

Zatem mo»emy zapisa¢ π =

0,0016

3,14

Równo±¢ w przybli»eniu

Je»eli liczby przybli»one

α

a i

β

b s¡ takie, »e przedziaª

<

a − α; a + α > jest zawarty w przedziale < b − β; b + β > to

mówimy, »e liczba

α

a jest w przybli»eniu równa liczbie

β

b.

Zapisujemy to

α

a⇒

β

b.

Z tego »e

α

a jest w przybli»eniu równe

β

b NIE WYNIKA, »e

β

b jest

w przybli»eniu równe

α

a!

Zaokr¡glanie liczb przybli»onych

Dla dowolnej liczby przybli»onej

α

a i dowolnej liczby

rzeczywistej b zachodzi zwi¡zek:

α

a⇒

α+|

a−b|

b

czyli

α

a jest w przybli»eniu równe

α+|

a−b|

b

Zaokr¡glanie stosujemy wtedy, gdy wynik jakich± dziaªa« ma

zbyt wiele cyfr. Zast¦puj¡c liczb¦

α

a=

0,0000027

3,14159 liczb¡ 3,14

mo»emy oszacowa¢ bª¡d. Wynosi on
0,0000027 + |3,14159 − 3,14. Czyli: 0,0015927. Zatem:

0,0000027

3,14159⇒

0,0015927

3,14

Zaokr¡glanie liczb przybli»onych

Je»eli β ≥ α, to:

α

a⇒

β

b

Zatem

0,0015927

3,14 ⇒

0,0016

3,14

Reguªy zaokr¡glania

I

Gdy wynik dziaªania arytmetycznego ma (za) du»o cyfr
mo»emy odrzuci¢ ostatnie, zb¦dne cyfry (pami¦taj¡c o
zwi¦kszeniu bª¦du zaokr¡glenia).

I

Gdy pierwsz¡ odrzucon¡ cyfr¡ jest 0, 1, 2, 3, 4 cyfr
pozostawionych w warto±ci przybli»onej nie zmieniamy.

I

Je»eli pierwsz¡ odrzucon¡ cyfr¡ jest 5, 6, 7, 8, 9 do
pozostawionej cz¦±ci warto±ci przybli»onej dodajemy 1 na
ostatnim zostawianym miejscu dziesi¦tnym.

Taka zmiana liczby przybli»onej nazywa si¦ poprawnym
zaokr¡gleniem.

Dziaªania na liczbach przybli»onych

suma

α

a +

β

b=

α+β

a + b

ró»nica

α

a −

β

b=

α+β

a − b

Dziaªania na liczbach przybli»onych

suma

α

a +

β

b=

α+β

a + b

ró»nica

α

a −

β

b=

α+β

a − b

Dziaªania na liczbach przybli»onych

iloczyn

α

a ·

β

b⇒

|

a|β+|b|α+αβ

ab

dzielenie

α

a:

β

b⇒

γ

a
b

gdzie

γ =

α + |

a

b

|β

|

b| − β

.

Dziaªania na liczbach przybli»onych

iloczyn

α

a ·

β

b⇒

|

a|β+|b|α+αβ

ab

dzielenie

α

a:

β

b⇒

γ

a
b

gdzie

γ =

α + |

a

b

|β

|

b| − β

.

Dziaªania na liczbach przybli»onych

suma

1.

Pierwszy najmniej korzystny przypadek:

a − α + b − β = (a + b) − (α + β)

2.

Drugi najmniej korzystny przypadek:

a + α + b + β = (a + b) + (α + β)

Dziaªania na liczbach przybli»onych

suma

1.

Pierwszy najmniej korzystny przypadek:

a − α + b − β = (a + b) − (α + β)

2.

Drugi najmniej korzystny przypadek:

a + α + b + β = (a + b) + (α + β)

(Zadanie domowe: jak b¦dzie w przypadku ró»nicy? A w
przypadku iloczynu?)

Przykªad

Obliczy¢ warto±¢ wielomianu

w(x) = a

0

x

4

+

a

1

x

3

+

a

2

x

2

+

a

3

x + a

4

dla x = 2,1.
Przyjmijmy, »e wspóªczynniki wielomianu s¡ liczbami
dokªadnymi i równaj¡ si¦:

a

0

=

2,3, a

1

=

3, a

2

= −

4,5, a

3

=

7,2, a

4

= −

0, 1

Najpierw obliczenia wykonamy z dokªadno±ci¡ do dwóch miejsc
po przecinku, a pó¹niej z dokªadno±ci¡ do czterech.

Przykªad cd

dwie cyfry

x

2

=

0,0

2,1 ×

0,0

2,1=

0,00

4,41

x

3

=

0,00

4, 41 ×

0,0

2, 1=

0,000

9,261⇒

0,001

9,26

x

4

=

0,001

9,26 ×

0,0

2,1⇒

0,0021

19,446 ⇒

0,0061

19,45

2,3 × x

4

=

0,0

2,3 ×

0,0061

19,45 ⇒

0,01403

44,735 ⇒

0,01903

44,74 ⇒

0,02

44,74

3x

3

=

0

3 ×

0,001

9,26 ⇒

0,003

27,78

−

4,5x

2

=

0,0

−

4,5 ×

0,00

4,41⇒

0,000

−

19,845⇒

0,005

−

19,85

7,2x =

0,0

7,2 ×

0,0

2,1⇒

0,00

15,12

suma:

w(2,1) =

0,02

44,74 +

0,003

27,78

0,005

−

19,85 +

0,00

15,12

0,0

−

0,1=

0,028

67,69

Przykªad cd

cztery cyfry

x

2

=

0,0

2,1 ×

0,0

2,1=

0,00

4,41

x

3

=

0,00

4, 41 ×

0,0

2, 1=

0,000

9,261

x

4

=

0,000

9,261 ×

0,0

2,1=

0,0000

19,4481

2,3 × x

4

=

0,0

2,3 ×

0,0000

19,4481=

0,0000

44,73063⇒

0,00003

44,7306

3x

3

=

0

3 ×

0,000

9,261=

0,000

27,783

−

4,5x

2

=

0,0

−

4,5 ×

0,00

4,41=

0,000

−

19,845

7,2x =

0,0

7,2 ×

0,0

2,1=

0,00

15,12

suma

w(2,1) =

0,00003

44,7306 +

0,000

27,783 −

0,000

19,845 +

0,00

15,12 −

0,0

0,1=

0,00003

67,6886

Przykªad cd

Zaªó»my teraz, »e wspóªczynniki obarczone s¡ bª¦dami i równaj¡ si¦:

a

0

=

0,01

2,3, a

1

=

0

3, a

2

=

0,02

−

4,5, a

3

=

0,02

7,2, a

4

=

0,01

−

0, 1

dwie cyfry

w(2,1) ⇒

0,42

67,69

cztery cyfry

w(2,1) ⇒

0,3678

67,6886⇒

0,3692

67,69⇒

0,37

67,69

Prowadzenie oblicze« z dokªadno±ci¡ do czterech cyfr po przecinku praktycznie nie
zwi¦kszyªo dokªadno±ci!
Wynika to st¡d, »e dane obarczone s¡ du»ym bª¦dem (ju» druga
cyfra po przecinku nie jest dokªadna).

Literatura dodatkowa

Wojciech Myszka.

Przykªadowe programiki pokazuj¡ce problemy numeryczne.

Dost¦pne pod adresem

http://www.immt.pwr.wroc.pl/~myszka/TI/kod.html

,

pa¹dziernik 2008.

Roman Zuber.

Metody numeryczne i programowanie.

WSziP, 1975.
fragmenty:

http://www.immt.pwr.wroc.pl/~myszka/TI/zuber.pdf

oraz

http://www.immt.pwr.wroc.pl/~myszka/TI/zuber1.pdf

.