Arytmetyka komputera

Arytmetyka komputerowa to sposób reprezentacji liczb w pamięci komputera i wykonywanie działań na tych liczbach. Dla dowolnego systemu liczenia istnieje zbiór znaków, za pomocą, których tworzy się liczby. Rozróżnia się systemy liczbowe: pozycyjne i nie pozycyjne (zwane addytywne).W systemach liczbowych pozycyjnych liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr. Wartość jej jest zależna od położenia (pozycji) cyfry w liczbie. Do systemów pozycyjnych zaliczamy m.in.: dziesiątkowy, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. W praktyce stosuje się głównie dziesiętny (decymalny) system liczbowy. W technice komputerowej wykorzystuje się ponadto system liczbowy: dwójkowy (binarny), ósemkowy i szesnastkowy (hexadecymalny).

System dziesiętny

Dla nas, ludzi naturalnym sposobem prezentacji liczb jest system dziesiętny. Oznacza to, że wyróżniamy dziesięć cytr. Są nimi: zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem, osiem oraz dziewięć. Oznacza się je odpowiednio: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oraz 9. Jak widać, wliczając zero, jest ich dziesięć. Zapis dziesiętny powstał wieki temu, prawdopodobnie, dlatego, że mamy dziesięć palców. System ten pozwala nie tylko w prosty i racjonalny sposób przedstawić dowolną liczbę niezależnie od jej wielkości, ale także łatwo wykonywać wszystkie działania arytmetyczne. W życiu codziennym posługujemy się systemem dziesiątkowym (dziesiętnym), który jest najbardziej rozpowszechniony ze wszystkich, jakie były w dziejach używane. Ten system zapisu wartości liczbowych jest używany w komunikacji człowieka z komputerem, ale jest on zbyt skomplikowany dla urządzeń technicznych. Elektroniczne urządzenia liczące spowodowały szerokie zastosowanie praktyczne innych układów liczenia niż układ dziesiętny, przede wszystkim w informatyce układ dwójkowy odgrywa ważną rolę.

System dwójkowy (binarny)

System binarny, inaczej zwany dwójkowym (niekiedy zero jedynkowym) jest nieco inny od dziesiętnego. Występują tu tylko dwie wartości 0 oraz 1. Jest to minimalny zestaw znaków, jaki jest potrzebny do zapisu dowolnej liczby. Działa on analogicznie tak samo jak inne systemy. Pierwsza liczba w naszym systemie to 0 (zero). W systemie dwójkowym, liczba ta również jest równa 0, gdyż istnieje tam taka cyfra. Kolejna liczba to 1 (jeden). W systemie dwójkowym, również taka cyfra istnieje, więc zapisujemy 1. Kolejna liczba to 2 (dwa). Wiemy, że nie istnieje tam taka cyfra, więc dodajemy kolejną pozycję, a pozycję wysuniętą na prawo, zerujemy. Zatem liczba 2 w systemie dziesiętnym ma postać „10” w systemie dwójkowym. Kolejne liczby w systemie dziesiętnym to: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 itd. W systemie dwójkowym wyglądają one odpowiednio: 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001. Zasada jest cały czas taka sama. Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Nazwa bit pochodzi od angielskiego określenia Binary Digit (dwójkowa cyfra). Ponieważ występują dwie wartości system wziął od tego swoją nazwę - dwójkowy. Mimo, iż występują tylko 0 i 1, za pomocą systemu binarnego można zapisać każdą liczbę.

System ósemkowy

Skoro powstał system dziesiętny, można wymyślać dowolne systemy liczenia (na przykład czwórkowy itd.). Właśnie jednym z takich systemów jest system ósemkowy. Początkowo był on trochę stosowany, obecnie jednak jego zastosowanie jest znikome. W systemie tym jest osiem cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 oraz 7. Jest ich, więc 8, stąd nazwa. Działa on na tej samej zasadzie, co system dziesiętny. To znaczy, że gdy już jakaś cyfra jest na maksymalnej wartości, zwiększamy cyfrę na następnej pozycji. Wyjaśni to się na przykładzie. Przekształcajmy kolejne liczby i zobaczmy, jakie są różnice. Liczba zero (0) tak samo wygląda w obu systemach. Tak samo ma się sytuacja z jedynką (1), dwójką (2), trójką (3) itd. Sytuacja staje się skomplikowana, gdy dojedziemy do siódemki (7). Liczba 7 wygląda tak samo w obu systemach. Jednak nadchodzi następna liczba, zwana przez nas jako osiem. System ósemkowy nie zna takiej cyfry, więc powstaje następna pozycja. Zatem liczba osiem (8) w systemie dziesiętnym to liczba dziesięć (10) w systemie ósemkowym. Była to bardzo ważna konwersja. Liczby takie jak: 6, 7, 8, 9, 10, w systemie ósemkowym będą wyglądać odpowiednio: 6, 7, 10, 11, 12. Gdybyśmy chcieli sprawdzić, czy rzeczywiście liczba na przykład 14 w systemie ósemkowym to 12 w dziesiętnym, musimy przeprowadzić konwersję. Dokonuje tego tak, jak robiliśmy to w akapicie o systemie dziesiętnym, z tym, że podstawą mnożenia będzie liczba 8. Zatem, rozpisujemy liczbę 14 (s. ósemkowy) w następujący sposób. Jest to 4*1 + 1*8, czyli 4+8 czyli 12. Innymi słowy, jest to 4*80 + 1*81. Po policzeniu wyniku muszą się zgadzać. W systemie dziesiętnym kolejne pozycje miały wartości: 1, 10, 100, 1000, 100000, 1000000 itd., ponieważ podstawą była liczba 10. W systemie ósemkowym podstawą jest liczba 8, a kolejne pozycje wyglądają następująco: 1, 8, 64, 512, 4096, 32768 itd. System ósemkowy spełnia on pomocniczą rolę w informatyce skracając długość zapisu dwójkowego.

System szesnastkowy (heksadecymalny)

System szesnastkowy jest systemem pozycyjnym wykorzystującym do zapisu liczb cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). Charakteryzuje się on najkrótszym zapisem liczb spośród wszystkich systemów. Przykładowo każdą ośmiobitową wartość można zapisać na dwóch pozycjach (np. wartość 11111111 w systemie binarnym odpowiada FF w systemie szesnastkowym). Ponadto wartością szesnastkową łatwiej jest operować i pochłania mniej pamięci. W informatyce system szesnastkowy wykorzystywany jest na przykład do adresowania komórek pamięci przez urządzenia lub do kodowania kolorów użytych na stronach internetowych. Dlatego właśnie jest on tak przydatny. Jak sama nazwa wskazuje, podstawą tego systemu jest liczba 16. Jako że jest to system pozycyjny, to w zapisie liczby każda pozycja ma wartość szesnaście razy większą niż pozycja poprzednia (z prawej strony). Kolejne pozycje od 0 mają, więc wartości: 1, 16, 256, 4096, 65536, 1048576, 16777216, itd. Pozostaje tylko sprawa cyfr. Musi ich być szesnaście. Pierwsze dziesięć to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Potrzebne są jeszcze jednoznakowe oznaczenia dla następnych wartości tj.: 10, 11, 12, 13, 14, 15. Stosuje się tu litery alfabetu, odpowiednio: A, B, C, D, E, F. Przyjęło się także, że jeżeli na początku zapisu liczby znajduje się litera, to przed nią należy postawić zero, które nie oznacza tu żadnej wartości, a ma charakter czysto formalny. Należy pamiętać, aby po każdej liczbie szesnastkowej napisać oznaczenie systemu liczbowego, czyli "h". Tak, więc kolejne liczby w systemie szesnastkowym to: 0h, 1h, 2h, 3h, 4h, 5h, 6h, 7h, 8h, 9h, 0Ah, 0Bh, 0Ch, 0Dh, 0Eh, 0Fh, 10h, 11h, 12h, 13h, 14h, 15h, 16h, 17h, 18h, 19h, 1Ah, 1Bh, 1Ch, 1Dh, 1Eh, 1Fh, 20h, 21h, 22h, itd., czyli jest prawie tak jak w systemie dziesiętnym z tą różnicą, że jest sześć cyfr więcej. Ważny jest jeszcze sposób wymawiania liczb heksadecymalnych. Na przykład liczby 212h nie nazywamy "dwieście dwanaście", tylko "dwa-jeden-dwa", a jest ona równa 530.