Kinematyka

Kinematyka

jest działem mechaniki

zajmujący się opisywaniem ruchu bez
uwzględnienia przyczyn i warunków
w jakim powstaje.

Podstawowe pojęcia kinematyki to:

przestrzeń, czas, współrzędne, tor

ruchu,

prędkość i przyspieszenie.

Prędkość

Prędkość średnia:

jeśli w przedziale czasowym t = t

2

– t

1

badane ciało przemieściło się o r = r

2

–

r

1

to jego prędkość średnia wyniosła:

Δt

r

Δ

v

śr







Prędkość średnia można również
przedstawić w postaci wartości
bezwzględnej, nie uwzględnia wtedy
kierunki ruchu:

Δt

droga

calkowita

v

śr



Prędkość chwilowa:

jest prędkością graniczną prędkości średniej
gdy

t

zmierza do 0:

dt

r

d

Δt

r

Δ

lim

v

0

Δt













v

jest pochodna

r

względem

t

Przyspieszenie

Zmianę prędkości ciała w określonym

czasie nazywamy przyspieszeniem.

Δt

v

Δ

t

t

v

v

a

1

2

1

2

śr













Przyspieszenie średnie:

określamy wzorem:

Przyspieszenie chwilowe:

określamy wzorem:

2

2

0

Δt

dt

r

d

dt

r

d

dt

d

dt

v

d

Δt

v

Δ

lim

a

































Przyspieszenie chwilowe jest granica
przyspieszenia średniego przy

t

dążącym do 0,

czyli jest pochodną v względem

t ,

jest

również

druga pochodna

r

względem

t .

Jednostką SI przyspieszenia jest metr na sekundę kwadrat.

[a] = m/s

2

Klasyfikacja ruchów:

Ruch jednostajny:

jest to taki ruch w którym prędkość jest stała

v = const

Ruch jednostajnie zmienny:

jest to ruch o stałym przyspieszeniu

a = const

, gdy

a>0

jest to ruch przyspieszony, a

gdy

a<0

ruch opóźniony.

Rzut ukośny

Charakterystyczne cechy:

Prędkość początkowa

V

0

=V

0x

i+V

0y

j

Przyspieszenie ziemskie

g = 9,8 m/s

2

Kąt Ø utworzony przez V

0

z dodatnim

kierunkiem osi x
Wektor przyspieszenia a stały i
skierowany zawsze w dół
Cząstka nie doznaje przyspieszenia w
ruchu poziomym
Zakładamy, że pomijamy opór powietrza

Rozpatrujemy dla uproszczenia
oddzielnie ruch cząstki w poziomie i w
pionie

Ruch w poziomie

– bez przyspieszenia,

składowa prędkości V

0x

nie zmienia się

x-x

0

= (

v

0

cos Ø

0

)t

Ruch w pionie

– taki sam jak w rzucie

pionowym, przyspieszenie stałe,
zamieniamy a na – g i x na y

y-y

0

= v

0y

t – ½

gt

2

= (v

0

sin

Ø

0

)t – ½ gt

2

Równanie toru wyznaczamy eliminując t
z równań

y = (tg Ø

0

)x – gx

2

/2(v

0

cos Ø

0

)

2

g, α

0

, v

0

= constans

Tor ruchu jest paraboliczny, równanie
przyjmuje postać

y = ax + bx

2

Zasięg rzutu

– odległość w poziomie

jaką przebywa cząstka jeśli położenie
końcowe ciała znajduje się na tej samej
wysokości, największy gdy kąt jest
równy 45 stopni

R = (v

0

cos Ø

0

)t

0 = y = (v

0

sin Ø

0

)t – ½ gt

2

R = 2v

0

2

sin 2 Ø

0

/g

DYNAMIKA

…czyli nauka

o siłach

Kinematyka zajmuje się opisem ruchu, natomiast

dynamika bada warunki i przede wszystkim przyczyny

powstawania danego ruchu !!!

ODDZIAŁYWANIA

MECHANICZNE

(w których niezbędny jest bezpośredni
kontakt oddziałujących ciał)

O istnieniu oddziaływań między ciałami
świadczą ich skutki !

NA ODLEGŁOŚĆ

(nie wymagają

bezpośredniego kontaktu ciał)

• oddziaływanie grawitacyjne

• oddziaływania
elektrostatyczne

• oddziaływania magnetyczne

WSZYSTKIE ODDZIAŁYWANIA SĄ WZAJEMNE !!!

Skutki oddziaływań między ciałami :



statyczne

(odkształcenia, rozciągnięcia, ugięcia)



dynamiczne

(polegają na zmianach prędkości,

czyli zmianach wartości kierunku lub zwrotu prędkości ciał)

- wprawianie ciał w ruch

- zatrzymanie

- zmiany kierunku ruchu

SIŁA –

miara

oddziaływań między
ciałami. Jest to wielkość
wektorowa.
Oddziaływanie które
może nadać ciału
przyspieszenie !

Ma kierunek i zwrot

I ZASADA DYNAMIKI NEWTONA

Jeżeli siły działające na ciało równoważą się (czyli siła wypadkowa
ma wartość zero) ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się
ruchem jednostajnym prostoliniowym.

II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA

Jeżeli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siłą wypadkowa Fw jest różna od zera), to
ciało porusza się ruchem jednostajnie zmiennym z przyspieszeniem, którego wartość jest wprost
proporcjonalna do wartości siły wypadkowej. Współczynnik proporcjonalności jest równy
odwrotności masy ciała. Kierunek i zwrot przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem siły
wypadkowej.

III ZASADA DYNAMIKI

Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają
takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda
działa na inne ciało).

Zasady dynamiki Newtona

układy inercjalne

Dla znacznej liczby

zjawisk, które

obserwujemy i

opisujemy na Ziemi,

układ związany z

Ziemią można

uważać za

inercjalny!!!

Siła wypadkowa = łączne działanie sił składowych

Tylko przybliżony

układ Inercjalny !

Siły występujące w III zasadzie
dynamiki nie równoważą się !!!

I Zasada dynamiki wynika i jest ściśle powiązana z :

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

Jeżeli na jakiś układ ciał nie działają siły (oddziaływania)
zewnętrzne, wtedy układ ten ma stały pęd.

Czyli, zapisując to wzorami: jeżeli F = 0, to p = const
Lub jeszcze inaczej:

Zmienić pęd układu może tylko siła działająca z
zewnątrz układu.

Pęd jest

wielkością wektorową

Kierunek i zwrot wektora pędu jest taki sam jak kierunek i

zwrot wektora prędkości.

  

Całkowity pęd układu

dwóch ciał pozostaje

stały

p = p

1

+ p

2

= const

Tarcie

SIŁA

TARCIA

• Tarcie jest powodowane przez oddziaływanie

elektrostatyczne między cząstkami stykających się ciał.

• Siła tarcia nie zależy od wielkości powierzchni styku ciała z

podłożem.

• Siła tarcia zależy od rodzaju powierzchni stykających się

ciał.

• Z chwilą wprowadzenia ciała w ruch siła tarcia nie zależy od

prędkości.

• Siła tarcia, która przeciwdziała przesuwaniu stykających się

ze sobą powierzchni, jest proporcjonalna do siły dociskającej
powierzchnię.

• Siła tarcia przeciwstawia się ruchowi (może wystąpić nawet

w nieobecności ruchu), działa zawsze w kierunku
przeciwnym do kierunku ruchu

Tarcie statyczne :

f





s

N

,



s



współczynnik tarcia

statycznego

Jak wyznaczyć



s

?

W momencie kiedy ciało właśnie zaczyna ruszać z miejsca pod wpływem
zewnętrznej siły (nie ma jeszcze przyspieszenia, więc siły się równoważą),

wtedy

f =



s

N

Tarcie kinetyczne :

f =



k

N



k



współczynnik

tarcia

kinetycznego

Jak wyznaczyć



k

?

To równanie jest spełnione kiedy ciało przyspiesza – siła wypadkowa jest

różna od zera, lub porusza się ze stałą prędkością ( siły się równoważą).

Współczynnik tarcia statycznego jest zwykle większy od współczynnika tarcia

kinetycznego (dynamicznego)

WŁAŚCIWOŚCI

1.

Jeśli ciało się nie porusza, to siła tarcia statycznego
równoważy składową siły równoległą do powierzchni. Siła
tarcia statycznego dopasowuje się do siły usiłującej
wprawić ciało w ruch.

2.

Maksymalna wartość siły tarcia statycznego dana jest
wzorem

f

smax

= μ

s

N

,

gdzie

μ

s

jest współczynnikiem

tarcia statycznego,

N

jest wartością siły prostopadłej do

powierzchni będącej reakcją na nacisk.

3.

Jeśli ciało zaczyna się ślizgać po powierzchni, to wartość
tarcia gwałtownie maleje do

f

k

= μ

k

N

,

gdzie

μ

k

jest

współczynnikiem tarcia kinetycznego,

N

to wartość siły

prostopadłej do powierzchni będącej reakcją na nacisk.

Przykład

Jak szybko można jechać, ale jednak nie wpaść w

poślizg na zakręcie?

Zakładając



s

= 0.8 jako średnią dla opon na szosie

f

s

= 0.8mg

Siła dośrodkowa F = mv

2

/r, gdzie r jest promieniem

zakrętu, r = 50m

Tarcie jest wystarczające żeby utrzymać nas na zakręcie ,

jeżeli

F

<

f

s,

co ma miejsce, gdy v

2

<

0.8 gr

v

< 20 [ m/s]

v < 72 [km/h]

Transformacja Galileusza

• zgodna z klasycznymi

wyobrażeniami o czasie i

przestrzeni.

• zakłada, że prędkość oraz

położenie są względne.

• Wartości te widoczne dla

dowolnego obserwatora w

każdym inercjalnym układzie

odniesienia mogą być różne, ale

każda z nich jest prawdziwa.

• prawda jest zależna od “punktu

siedzenia” – względność

• We wszystkich układach zegary

obserwatorów mierzą czas

absolutny, a więc on nie jest

względny.

• wymiary liniowe obiektów też są

identyczne w każdym układzie

nieinercjalnym.

• Od strony matematycznej:

Transformacja Współrzędnych:
X(t)= x` + Ut ,gdzie U to prędkość

układu, t - czas

Transformacja Prędkości:
V= (+/-)V` + U ,gdzie U to

prędkość układu, V` prędkość

obiektu poruszającego się w tym

układzie, (+/-) to kierunek obiektu

w układzie względem kierunku

ruchu tego układu

My (nasz układ) jesteśmy

układem nieporuszającym się, a

nasz układ obserwowany jest w

ruchu.

Transformacja Galileusza

•

Od strony matematycznej:

Transformacja Współrzędnych:
X(t)= x` + Ut ,gdzie U to prędkość

układu, t - czas

Transformacja Prędkości:
V= (+/-)V` + U ,gdzie U to

prędkość układu, V` prędkość
obiektu poruszającego się w tym
układzie, (+/-) to kierunek obiektu
w układzie względem kierunku
ruchu tego układu

My (nasz układ) jesteśmy układem

nieporuszającym się, a nasz układ
obserwowany jest w ruchu.

Transformacja Lorentza

• opisuje zależności między

współrzędnymi i czasem tego samego
zdarzenia w dwóch inercjalnych
układach odniesienia

• Zgodna z szczególną teorią względności

Od strony matematycznej:
• Transformacja współrzędnych:

Gdzie V to prędkość układu, c to prędkość

światła, a X` to współrzędna
początkowa na osi x (pozostałe cztery
współrzędne się nie zmieniają)

• Transformacja prędkości:

V` to prędkość ciała w układzie

poruszającym się, U to prędkość
układu, a c to prędkość światła

Dla
V` << c
U << c
Transformacja przyjmuje wzór

transformacji Galileusza

Ruch harmoniczny

Pojęcia opisujące ruch
harmoniczny:

• położenie równowagi
• wychylenie
• amplituda
• okres drgań
• częstotliwość drgań

Cechy ruchu
harmonicznego:

• ruch okresowy
• prędkość ciała ulega zmianie

(wartość i zwrot)

• ruch niejednostajnie zmienny
• podczas maksymalnego wychylenia

szybkość ciała drgającego jest równa
zeru

Cechy ruchu harmonicznego:

• podczas przechodzenia przez

położenie równowagi ciało ma
maksymalną szybkość

• ciało zbliża się do położenia

równowagi ruchem przyspieszonym a
oddala się od niego ruchem
opóźnionym

Przykłady ruchu
harmonicznego:

• wahadło matematyczne
• drgania atomów sieci krystalicznej

Ruch harmoniczny prosty:

Energia w ruchu

harmonicznym:

Ruch harmoniczny tłumiony:

Słabe tłumienie:

to