FUNKCJE

TRYGONOMETRYCZ

NE

PODSTAWOWYCH

KĄTÓW OSTRYCH

I. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA

α

=45°

a

a

α

Δ ABC – PROSTOKĄTNY

α=45°

Wykorzystując twierdzenie
Pitagorasa obliczymy długość
przekątnej kwadratu.

β

x

α

lub - odpada

lub - odpada

A

B

D

C

α

Stosując odpowiednie definicje i wzory w trójkącie
prostokątnym wyznaczymy wartości funkcji
trygonometrycznych kąta 45°.

II. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA

α

=60°

x

a

α

Δ ADC – PROSTOKĄTNY

α=60°

Trójkąt ABC jest równoboczny,
każdy kąt wewnętrzny w tym
trójkącie ma miarę 60

0

.

Narysowana wysokość podzieliła
trójkąt na dwa trójkąty
prostokątne. Odcinek x jest
wysokością trójkąta:

β

½ a

α

A

B

D

C

α

β

Stosując odpowiednie definicje i wzory w trójkącie
prostokątnym wyznaczymy wartości funkcji
trygonometrycznych kąta 60°.

III. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA

α

=30°

x

a

α

Δ ADC – PROSTOKĄTNY

α=30°

Narysowana wysokość podzieliła
trójkąt na dwa trójkąty
prostokątne.
Kąt α (połowa kąta przy
wierzchołku C) ma miarę 30.

β

½ a

α

A

B

D

C

α

β

Stosując odpowiednie definicje i wzory w trójkącie
prostokątnym wyznaczymy wartości funkcji
trygonometrycznych kąta 30°.

30°

45°

60°

sin

cos

tg

ctg

sin30=cos60

cos30=sin60

tg30=ctg60

ctg30=tg60

tg45=ctg45

Ćw1: Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego

(rysunek),

w którym jedna przyprostokątna ma długość 2cm,

kąt =30. Oblicz pole i obwód trójkąta.

2

y

x

α

Wykorzystując funkcję

tangens

obliczymy długość
przyprostokątnej y, a

następnie

wykorzystując funkcję sinus

–

obliczymy długość
przeciwprostokątnej x.

Odp.: Pole powierzchni trójkąta prostokątnego wynosi

jego obwód równa się .

Ćw2: Oblicz wartość wyrażenia W:

a)

W=4sin30-2tg45+8ctg30

b)

W=cos30·sin60-sin

2

45

c)

W=tg

2

45-sin

3

30+cos60

Ćw3: Oblicz długości nieznanych boków w trójkącie

prostokątnym,

w którym jedna przyprostokątna ma długość 6cm, kąt

do niej przyległy ma miarę 45

c

b

a

α

Dane:
b=6cm
α=45°
Szukane: a,c

Odp.: Trójkąt ma boki długości: 6cm oraz cm.

Ćw4: Dla narysowanych trójkątów prostokątnych oblicz

długości nieznanych boków oraz wyznacz wartości
funkcji sinus oraz tangens kąta α.

a)

x

y

4

45°

α

Wystarczyło w zadaniu zauważyć, że kąt

α

ma miarę 45°

(suma kątów wewnętrznych w każdym trójkącie równa się

180°)

i od razu zapisać:

45°

α

b)

x

y

2

α

30°