Twierdzenie

Pitagorasa

Twierdzenie

Pitagorasa

Opracowanie Jadwiga
Niedziółka

Zapewne pamiętasz, jak nazywają się boki
trójkąta prostokątnego:

przyprostokątna

przyprostokąt
na

przeciwprostokątna

Starożytni
matematycy odkryli
następującą własność
trójkątów
prostokątnych:

c

2

b

2

a

2

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

a

a

2

2

+ b

+ b

2

2

= c

= c

2

2

TWIERDZENIE PITAGORASA:

c

c

2

2

a

a

2

2

b

b

2

2

c

c

2

2

= a

= a

2

2

+ b

+ b

2

2

a

a

a

a

c

c

b

b

b

b

b

b

b

b

a

a

a

a

Dowód:

Twierdzenie Pitagorasa możemy też
sformułować w następujący sposób:

Założenie:

Jeżeli trójkąt jest prostokątny

Teza:

to suma kwadratów długości

przyprostokątnych jest równa kwadratowi
długości przeciwprostokątnej.

2

2

2

c

b

a





a, b – długości

przyprostokątnych

c – długość przeciwprostokątnej

a

b

c

Twierdzenie Pitagorasa
wbrew swojej nazwie było
znane już dawno przed
urodzeniem tego
mędrca.Znali je zarówno
Babilończycy jak i Egipcjanie.

Słów kilka o
Pitagorasie

•żył w latach 572p.n.e. –497 p.n.e.
•pochodził z Samos
•założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno-
polityczne

•uważał wraz ze swoimi uczniami, że świat
można opisać za pomocą liczb

•pitagorejczycy odkryli jakie długości powinny
mieć dwie struny, aby razem pięknie brzmiały

•po udowodnieniu twierdzenia Pitagoras złożył
bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów

•żył w latach 572p.n.e. –497 p.n.e.
•pochodził z Samos
•założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno-
polityczne

•uważał wraz ze swoimi uczniami, że świat
można opisać za pomocą liczb

•pitagorejczycy odkryli jakie długości powinny
mieć dwie struny, aby razem pięknie brzmiały

•po udowodnieniu twierdzenia Pitagoras złożył
bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów

Ciekawostka

Mówimy, że trzy liczby naturalne a, b, c
tworzą trójkę pitagorejską, jeśli
spełniają równość :

Archeolodzy znaleźli listę takich trójek
już tysiąc lat przed Pitagorasem!

A oto przykłady trójek pitagorejskich:

3,4,5 6,8,10
5,12,13

Mówimy, że trzy liczby naturalne a, b, c
tworzą

trójkę pitagorejską

,

jeśli

spełniają

równość :

Archeolodzy znaleźli listę takich trójek
już tysiąc lat przed Pitagorasem!

A oto przykłady trójek pitagorejskich:

3,4,5 6,8,10
5,12,13

2

2

2

c

b

a





Ciekawostka

3

4

5

Trójkąt o bokach 3,4,5nazywa się

trójkątem egipskim

Znając długości dwóch boków
trójkąta możesz obliczyć długość
trzeciego boku

Przykład:

2cm

3cm

x

Oblicz długość
przeciwprostokątnej.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia
Pitagorasa:

Założenie: Jeżeli suma kwadratów
długości dwóch krótszych boków trójkąta
jest równa kwadratowi długości
najdłuższego boku

Teza: to

trójkąt jest prostokątny.

Twierdzenie odwrotne do
twierdzenia Pitagorasa
służy do sprawdzania, czy
trójkąt jest prostokątny.

ZADANIE

Który z trójkątów o podanych
długościach boków jest
prostokątny?

5

,

2

,

3

4

,

3

,

2

5

,

3

,

2

5

2

,

5

,

4

a
)
b
)
c
)
d)

W starożytności Babilończycy
wyznaczali w terenie kąt prosty
używając sznura z zaznaczonymi w
równych odstępach dwunastoma
węzłami. Pomyśl, jak to można
zrobić.