Sygnały zdeterminowane – funkcja korelacji

Funkcja korelacji sygnałów (dla sygnałów o ograniczonej energii)

 

  



















dt

t

y

t

x

K

xy

Funkcja autokorelacji sygnału (dla sygnału o ograniczonej energii)

 

  



















dt

t

x

t

x

K

xx

Funkcja autokorelacji sygnału (dla sygnału o ograniczonej mocy)

 

  



















T

.

T

.

T

xx

dt

t

x

t

x

T

lim

K

5

0

5

0

1

 

 









yx

xy

K

K

Sygnały zdeterminowane – własności funkcji

korelacji

 

 

 

0

0

2

yy

xx

xy

K

K

K







Związek między korelacją R

xy

(τ) oraz

R

yx

(τ)

Funkcja autokorelacji jest
parzysta

 

 









xx

xx

K

K

Energia sygnału (moc sygnału)
jest równa wartości funkcji
autokorelacji dla τ=0

 

 

0

0

xx

x

xx

x

K

P

K

E





Funkcja autokorelacji jest nie
większa od swej wartości dla
τ=0

 

 

0

xx

xx

K

K





Ograniczenie funkcji korelacji
wzajemnej

Korelacja sygnału i tego
samego sygnału
przesuniętego o t

0

 





 





0

0

0

0

t

K

K

t

K

K

xx

x

x

xx

xx

t

t

















Pole ograniczone wykresem funkcji korelacji jest równe
kwadratowi pola ograniczonego wykresem sygnału

Sygnały zdeterminowane – przykłady funkcji

korelacji

Sygnały o nieograniczonym czasie trwania i ograniczonej energii

Sygnał wykładniczy
malejący

 

 



































e

A

K

t

dla

t

dla

Ae

t

x

xx

t

2

0

0

0

0

2

Sygnały okresowe o ograniczonej mocy

Sygnał sinusoidalny

 

 

 

 











cos

A

K

t

sin

A

t

x

xx

2

2

Sygnały o ograniczonym czasie trwania i ograniczonej energii

Impuls prostokątny

 

 











































5

0

1

1

0

5

0

1

5

0

5

0

5

0

0

.

dla

dla

K

.

t

dla

.

t

dla

.

.

t

dla

t

x

xx

Sygnały okresowe – trygonometryczny szereg

Fouriera

Ciąg sygnałów ortogonalnych

Trygonometryczny szereg
Fouriera



 























T

k

n

T

k

n

dt

t

k

sin

t

n

sin

0

0

0

2

0

 

























1

0

0

0

n

n

n

t

n

sin

b

t

n

cos

a

a

t

x

 

  



  





















T

n

T

n

T

dt

t

n

sin

t

x

T

b

dt

t

n

cos

t

x

T

a

x

dt

t

x

T

a

0

0

0

0

0

0

2

2

1

wartość średnia sygnału

Przykład warunku ortogonalności
(dla elementów ciągu z sin)

 

 













..........

t

sin

t

cos

t

sin

t

cos

0

0

0

0

2

2

1









Sygnały okresowe – trygonometryczny szereg

Fouriera

Warunki zbieżności szeregu (warunki Dirichleta):

- sygnał jest okresowy

- w przedziale okresowości istnieje przeliczalna ilość punktów
nieciągłości

- w punktach nieciągłości spełniony jest warunek

   

 

 



























t

x

lim

t

x

lim

T

x

x

t

T

t

0

2

1

0

 

 

 

























t

x

lim

t

x

lim

t

x

nc

nc

t

t

t

t

nc

2

1

- na końcach przedziału okresowości wartości sygnału są równe

Sygnały okresowe – moc sygnału

Moc sygnału okresowego jest sumą mocy składowej stałej
i mocy poszczególnych harmonicznych sygnału

 













2

2

2

0

1

2

1

0

0

0

2

2

1

n

n

n

x

n

n

x

x

n

n

n

b

a

P

a

P

P

P

P

t

n

sin

b

t

n

cos

a

a

t

x















































Sygnały okresowe – zespolony szereg Fouriera

Szereg Fouriera

 

























1

0

0

0

n

n

n

t

n

sin

b

t

n

cos

a

a

t

x

podstawienia

















t

in

t

in

t

in

t

in

e

e

i

t

n

sin

;

e

e

t

n

cos

0

0

0

0

2

1

2

1

0

0

























 













n

t

in

n

e

X

t

x

0

Zespolony szereg Fouriera









 

































T

t

in

n

n

n

n

n

n

dt

e

t

x

T

X

;

n

ib

a

n

a

n

ib

a

X

0

0

0

1

0

2

1

0

0

2

1

zespolone
współczynniki
szeregu

Sygnały okresowe – dyskretne widmo sygnału

okresowego

Dyskretne widmo sygnału okresowego

 





,....

X

,...,

X

,

X

,

X

...,

,

X

....

t

x

n

n

1

0

1







widmo amplitudowe jest symetryczne względem osi pionowej

Dyskretne widmo amplitudowe sygnału okresowego

 





,....

X

,...,

X

,

X

,

X

...,

,

X

....

t

x

n

n

1

0

1







Dyskretne widmo fazowe sygnału okresowego

 





 

 

 

 





,...

X

arg

,..,

X

arg

,

X

arg

,

X

arg

..,

,

X

arg

...

t

x

n

n

1

0

1







Widmo mocy sygnału okresowego

 





,...

X

,..,

X

,

X

,

X

..,

,

X

...

t

x

n

n

2

2

1

2

0

2

1

2







Interpretacja - moc n-tej
harmonicznej

2

2

n

n

x

X

X

P

n







Sygnały prawie-okresowe

Sygnały okresowe

 













t

sin

t

sin

t

sin

t

x













60

40

30

istnieją takie liczby całkowite n

1

n

2

n

3

, które przemnożone przez

okresy T

1

T

2

T

3

wyznaczają okres T sygnału x(t)

30

1

20

1

15

1

3

2

1

n

n

n

T







Sygnały prawie okresowe

 

 

   

t

sin

t

sin

t

sin

t

x













3

2

2

nie istnieją takie liczby
całkowite n

1

n

2

n

3

2

3

2

2

3

2

1

n

n

n

T







 

3

1

3

1

2

15

30

3

4

15

20

1

1

1

3

1

1

2

























,

NWW

n

n

n

n

n

n

n

Rozwiązanie:

















1

3

1

2

3

2

2

2

n

n

n

n

Wrunek okresowości sygnału x(t)

Przekształcenie Fouriera - widmo sygnału

Współczynnik zespolonego szeregu Fouriera (zespolona amplituda)

Proste przekształcenie Fouriera

przejścia graniczne















0

0

0

n

;

;

T

 











2

2

0

1

T

T

t

in

n

dt

e

t

x

T

X

 

 

















dt

e

t

x

X

t

in

0

 













Hz

sygna

ły

fizyczny

wymiar

f

X

T

X

X

n

n



X(

) jest widmem

(widmem zespolonym)
sygnału x(t)

Warunkiem wystarczającym istnienia transformaty
jest istnienie
całki z modułu sygnału (bezwzględna całkowalność)

 













dt

t

x

wówczas

 

0











X

lim

Przekształcenie Fouriera - widmo sygnału

Zespolony szereg Fouriera

Odwrotne przekształcenie Fouriera

przejścia graniczne



















0

0

0

n

;

d

;

T

 













n

t

in

n

e

X

t

x

0

 

 



















d

e

X

t

x

t

i

2

1

Odwrotne przekształcenie Fouriera pozwala odtworzyć sygnał na podstawie
jego widma zespolonego