Model trendu liniowego

Model trendu liniowego

Zagadnienia wstępne

Zagadnienia wstępne

W

klasycznym

podejściu,

historycznie

W

klasycznym

podejściu,

historycznie

najstarszym, zakłada się, że powiązania

najstarszym, zakłada się, że powiązania

między zmienną objaśnianą a zmiennymi ją

między zmienną objaśnianą a zmiennymi ją

objaśniającymi są niezmiennicze („gładkie”)

objaśniającymi są niezmiennicze („gładkie”)

na całym zbiorze możliwych wartości

na całym zbiorze możliwych wartości

zmiennych i można je wyrazić jednym

zmiennych i można je wyrazić jednym

wzorem analitycznym.

wzorem analitycznym.

Funkcja tendencji rozwojowej (trendu)

Funkcja tendencji rozwojowej (trendu)

należy

należy

do szczególnej klasy modeli, w których w roli

do szczególnej klasy modeli, w których w roli

zmiennej

objaśniającej

występuje

czas.

zmiennej

objaśniającej

występuje

czas.

Zastosowanie

tych

modeli

do

analizy

Zastosowanie

tych

modeli

do

analizy

szeregów czasowych pozwala często wykryć

szeregów czasowych pozwala często wykryć

pewne

prawidłowości,

które

mogą

pewne

prawidłowości,

które

mogą

determinować rozwój badanego zjawiska.

determinować rozwój badanego zjawiska.

Zagadnienia wstępne

Zagadnienia wstępne

Wyróżnia się cztery składowe mające wpływ

Wyróżnia się cztery składowe mające wpływ

na

zmienność

zjawiska

w

ujęciu

na

zmienność

zjawiska

w

ujęciu

dynamicznym:

dynamicznym:



trend

trend

(tendencja rozwojowa)

(tendencja rozwojowa)

– ciągłe i

– ciągłe i

regularne zmiany jakim podlega dane zjawisko

regularne zmiany jakim podlega dane zjawisko

w długim okresie,

w długim okresie,



wahania okresowe

wahania okresowe

(często sezonowe) –

(często sezonowe) –

odchylenia od wartości trendu powtarzające się

odchylenia od wartości trendu powtarzające się

regularnie co pewien okres, w przybliżeniu stały,

regularnie co pewien okres, w przybliżeniu stały,



wahania koniunkturalne

wahania koniunkturalne

– zmiany rozwoju

– zmiany rozwoju

gospodarki obserwowane w okresach kilku lub

gospodarki obserwowane w okresach kilku lub

kilkunastoletnich,

kilkunastoletnich,



wahania przypadkowe

wahania przypadkowe

– inne uboczne zmiany

– inne uboczne zmiany

mające charakter całkowicie nieregularny.

mające charakter całkowicie nieregularny.

Zagadnienia wstępne

Zagadnienia wstępne

Metody

statystyczne

mające

na

celu

Metody

statystyczne

mające

na

celu

wyodrębnienie trendu oraz eliminację wahań

wyodrębnienie trendu oraz eliminację wahań

w

czasie

określane

są

jako

metody

w

czasie

określane

są

jako

metody

dekompozycji

szeregów

czasowych

lub

dekompozycji

szeregów

czasowych

lub

metody

wyrównywania

szeregów

metody

wyrównywania

szeregów

dynamicznych.

dynamicznych.

Badając szeregi czasowe bez okresowości

Badając szeregi czasowe bez okresowości

zakładamy, że zmiany w nich zachodzące

zakładamy, że zmiany w nich zachodzące

podlegają

wpływom

jedynie

przyczyn

podlegają

wpływom

jedynie

przyczyn

głównych (determinujących w zasadniczym

głównych (determinujących w zasadniczym

stopniu tendencję rozwojową analizowanego

stopniu tendencję rozwojową analizowanego

zjawiska) i ubocznych (mających charakter

zjawiska) i ubocznych (mających charakter

zupełnie przypadkowy).

zupełnie przypadkowy).

Metoda analityczna

Metoda analityczna

Najczęściej stosowaną metodą wyodrębniania

Najczęściej stosowaną metodą wyodrębniania

trendów jest metoda analityczna. Polega ona na

trendów jest metoda analityczna. Polega ona na

tym, że tendencję rozwojową wyraża się za

tym, że tendencję rozwojową wyraża się za

pomocą

pewnej

określonej

funkcji

pomocą

pewnej

określonej

funkcji

matematycznej, w której zmienną zależną jest

matematycznej, w której zmienną zależną jest

poziom obserwowanego w czasie zjawiska a

poziom obserwowanego w czasie zjawiska a

zmienną niezależną – zmienna czasowa.

zmienną niezależną – zmienna czasowa.

Model szeregu czasowego ma wówczas postać:

Model szeregu czasowego ma wówczas postać:

n

t

u

t

f

Y

t

t

,...,

3

,

2

,

1

)

(







gdzie:

gdzie:

Metoda analityczna

Metoda analityczna

- zmienna obrazująca poziom badanego zjawiska

- zmienna obrazująca poziom badanego zjawiska

w czasie,

w czasie,

- określona postać matematyczna funkcji (np.

- określona postać matematyczna funkcji (np.

liniowa),

liniowa),

- składnik losowy.

- składnik losowy.

Po oszacowaniu przyjętą metodą estymacji model

Po oszacowaniu przyjętą metodą estymacji model

przyjmie postać:

przyjmie postać:

t

Y

)

(t

f

t

u

)

(

^

t

f

Y

t



Model trendu liniowego

Model trendu liniowego

Najczęściej

spotykaną

w

Najczęściej

spotykaną

w

praktyce funkcją tendencji rozwojowej

praktyce funkcją tendencji rozwojowej

jest funkcja liniowa. Model szeregu

jest funkcja liniowa. Model szeregu

czasowego ma wówczas postać:

czasowego ma wówczas postać:

t

t

u

t

Y









1

0





a po oszacowaniu przyjętą metodą estymacji:

a po oszacowaniu przyjętą metodą estymacji:

t

a

a

Y

t







1

0

^

Metoda estymacji

Metoda estymacji

Wyznaczanie trendu sprowadza się zwykle do

Wyznaczanie trendu sprowadza się zwykle do

takiego

dopasowania

funkcji

tendencji

takiego

dopasowania

funkcji

tendencji

rozwojowej

rozwojowej

do danego szeregu empirycznego, ażeby suma

do danego szeregu empirycznego, ażeby suma

kwadratów różnic pomiędzy poszczególnymi

kwadratów różnic pomiędzy poszczególnymi

wartościami rzeczywistymi a wartościami

wartościami rzeczywistymi a wartościami

teoretycznymi otrzymanymi z równania

teoretycznymi otrzymanymi z równania

była minimalna. Kryterium to matematycznie

była minimalna. Kryterium to matematycznie

można zapisać w postaci:

można zapisać w postaci:

t

y

)

(t

f

^

t

y

)

(

^

t

f

Y

t



min

)

(

1

2

^









n

t

t

t

y

y

Metoda oparta na podanym wyżej kryterium, nosi

Metoda oparta na podanym wyżej kryterium, nosi

nazwę

nazwę

metody najmniejszych kwadratów

metody najmniejszych kwadratów

(MNK)

(MNK)

.

.

Podejście macierzowe

Podejście macierzowe

Zapis macierzowy modelu trendu liniowego:

Zapis macierzowy modelu trendu liniowego:

gdzie:

gdzie:

jest następujący:

jest następujący:





























































































n

n

u

u

u

U

n

T

y

y

y

Y









2

1

1

0

2

1

1

2

1

1

1







n

t

u

t

Y

t

t

,...,

3

,

2

,

1

1

0















U

T

Y







Podejście macierzowe

Podejście macierzowe

Nieznane parametry strukturalne omawianego

Nieznane parametry strukturalne omawianego

modelu można zwykle oszacować za pomocą

modelu można zwykle oszacować za pomocą

klasycznej metody najmniejszych kwadratów.

klasycznej metody najmniejszych kwadratów.

W ujęciu macierzowym przytoczone wyżej

W ujęciu macierzowym przytoczone wyżej

kryterium

najmniejszych

kwadratów

po

kryterium

najmniejszych

kwadratów

po

odpowiednich

operacjach

matematycznych

odpowiednich

operacjach

matematycznych

prowadzi

do

uzyskania

wektora

ocen

prowadzi

do

uzyskania

wektora

ocen

parametrów strukturalnych, który dany jest

parametrów strukturalnych, który dany jest

wzorem:

wzorem:

Y

T

T

T

a

'

)

'

(

1

^









Podejście analityczne

Podejście analityczne

Alternatywnie dla modelu trendu liniowego:

Alternatywnie dla modelu trendu liniowego:

gdzie:

gdzie:

stosować można wzory:

stosować można wzory:

t

a

y

a

t

t

t

y

t

y

a

















1

0

2

2

1

)

(

n

t

u

t

Y

t

t

,...,

3

,

2

,

1

1

0















Nazwy i oznaczenia

Nazwy i oznaczenia

- to parametry strukturalne,

- to parametry strukturalne,

przy czym:

przy czym:

- wyraz wolny (parametr wolny)

- wyraz wolny (parametr wolny)

- współczynnik trendu (parametr

- współczynnik trendu (parametr

główny)

główny)

-

to

oceny

(szacunki)

-

to

oceny

(szacunki)

parametrów

parametrów

0



^

0

0

^

1

1









a

a

1



1

0

,





Weryfikacja modelu

Weryfikacja modelu

Chcąc

sprawdzić,

czy

wartości

Chcąc

sprawdzić,

czy

wartości

empiryczne badanej zmiennej i wartości

empiryczne badanej zmiennej i wartości

teoretyczne otrzymane z oszacowanego

teoretyczne otrzymane z oszacowanego

modelu są do siebie podobne (tzn. czy

modelu są do siebie podobne (tzn. czy

zbudowany model dobrze przybliża

zbudowany model dobrze przybliża

rzeczywiste zmiany analizowanego w

rzeczywiste zmiany analizowanego w

czasie zjawiska) należy przeprowadzić

czasie zjawiska) należy przeprowadzić

weryfikację modelu. Dokonując oceny

weryfikację modelu. Dokonując oceny

jakości oszacowanego modelu trendu

jakości oszacowanego modelu trendu

liniowego

stosować

będziemy

liniowego

stosować

będziemy

odpowiednie miary i testy statystyczne.

odpowiednie miary i testy statystyczne.

Weryfikacja modelu

Weryfikacja modelu

1.

1.

Współczynnik zgodności (zbieżności,

Współczynnik zgodności (zbieżności,

niedopasowania,

indeterminacji)

niedopasowania,

indeterminacji)

-

-

określa w jakim stopniu zmiany badanego

określa w jakim stopniu zmiany badanego

zjawiska nie są wyjaśniane przez zbudowany

zjawiska nie są wyjaśniane przez zbudowany

model trendu liniowego i dany jest wzorem:

model trendu liniowego i dany jest wzorem:



najczęściej jest wyrażany w procentach

najczęściej jest wyrażany w procentach



pożądane

są

niskie

wartości

tego

pożądane

są

niskie

wartości

tego

współczynnika

współczynnika



























n

t

t

n

t

t

n

t

t

n

t

t

t

y

y

e

y

y

y

y

1

2

1

2

1

2

1

2

^

2

)

(

)

(

)

(



Weryfikacja modelu

Weryfikacja modelu

2.

2.

Współczynnik

determinacji

Współczynnik

determinacji

(dopasowania)

(dopasowania)

- określa w jakim stopniu

- określa w jakim stopniu

zmiany badanego zjawiska są wyjaśniane

zmiany badanego zjawiska są wyjaśniane

przez zbudowany model trendu liniowego

przez zbudowany model trendu liniowego

i dany jest wzorem:

i dany jest wzorem:



najczęściej jest wyrażany w procentach

najczęściej jest wyrażany w procentach



pożądane są wysokie wartości tego

pożądane są wysokie wartości tego

współczynnika

współczynnika

2

2

1







R

Weryfikacja modelu

Weryfikacja modelu

3.

3.

Odchylenie standardowe składnika losowego

Odchylenie standardowe składnika losowego

(odchylenie standardowe reszt, średni błąd

(odchylenie standardowe reszt, średni błąd

estymacji)

estymacji)

- określa o ile przeciętnie różnią się

- określa o ile przeciętnie różnią się

między sobą wartości rzeczywiste badanej

między sobą wartości rzeczywiste badanej

zmiennej objaśnianej i odpowiadające im

zmiennej objaśnianej i odpowiadające im

wartości teoretyczne uzyskane na podstawie

wartości teoretyczne uzyskane na podstawie

trendu liniowego i dane jest wzorem:

trendu liniowego i dane jest wzorem:



jest wyrażone w nominalnych jednostkach

jest wyrażone w nominalnych jednostkach

zmiennej y

zmiennej y

t

t



pożądane są niskie wartości tej miary

pożądane są niskie wartości tej miary

2

1

2

2











n

e

Se

Se

n

t

t

Weryfikacja modelu

Weryfikacja modelu

4.

4.

Współczynnik

zmienności

losowej

Współczynnik

zmienności

losowej

(współczynnik wyrazistości)

(współczynnik wyrazistości)

- określa

- określa

udział

odchylenia

standardowego

udział

odchylenia

standardowego

składnika losowego w średniej wartości

składnika losowego w średniej wartości

zmiennej objaśnianej i dany jest wzorem:

zmiennej objaśnianej i dany jest wzorem:



najczęściej jest wyrażany w procentach

najczęściej jest wyrażany w procentach



pożądane

są

niskie

wartości

tego

pożądane

są

niskie

wartości

tego

współczynnika

współczynnika

y

Se

V

Se



Weryfikacja modelu

Weryfikacja modelu

5.

5.

Ocena

istotności

parametrów

Ocena

istotności

parametrów

strukturalnych

strukturalnych

Wykorzystując test

Wykorzystując test

t-Studenta

t-Studenta

wartość

wartość

testową oblicza się według wzoru:

testową oblicza się według wzoru:

gdzie:

gdzie:

- ocena i-tego parametru

- ocena i-tego parametru

- średni błąd szacunku i-tego parametru

- średni błąd szacunku i-tego parametru

0

:

0

:

1

0





i

i

H

H





)

(

i

a

D

)

1

,

0

(

)

(





i

a

D

a

t

i

i

i

a

Weryfikacja modelu

Weryfikacja modelu

-

-

średni błąd szacunku i-tego parametru

średni błąd szacunku i-tego parametru

wyznaczyć można w następujący sposób:

wyznaczyć można w następujący sposób:

1.

1.

macierzowo

macierzowo

-

jako

pierwiastek

-

jako

pierwiastek

kwadratowy

kwadratowy

z

odpowiedniego

elementu

głównej

z

odpowiedniego

elementu

głównej

przekątnej macierzy wariancji i kowariancji

przekątnej macierzy wariancji i kowariancji

ocen

parametrów

strukturalnych

ocen

parametrów

strukturalnych

2.

2.

analitycznie

analitycznie

– przy pomocy wzorów:

– przy pomocy wzorów:

1

2

2

)

'

(

)

(





T

T

Se

a

D

)

(

i

a

D

2

1

0

2

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

t

a

D

a

D

n

t

t

Se

a

D











Weryfikacja modelu

Weryfikacja modelu

Omawiana wartość testowa

Omawiana wartość testowa

t

t

w przypadku trendu

w przypadku trendu

liniowego ma rozkład

liniowego ma rozkład

t-Studenta

t-Studenta

z

z

n-2

n-2

stopniami

stopniami

swobody. Obszar krytyczny

swobody. Obszar krytyczny

OK

OK

przy tak

przy tak

określonej

hipotezie

alternatywnej

jest

określonej

hipotezie

alternatywnej

jest

dwustronny, przy czym wartość krytyczną

dwustronny, przy czym wartość krytyczną

odczytuje

się

z

tablic

rozkładu

odczytuje

się

z

tablic

rozkładu

t-Studenta

t-Studenta

dla przyjętego z góry poziomu

dla przyjętego z góry poziomu

istotności i

istotności i

n-2

n-2

stopni swobody.

stopni swobody.

Jeżeli

Jeżeli

to należy odrzucić hipotezę zerową na

to należy odrzucić hipotezę zerową na

korzyść

alternatywnej,

w

myśl

której

korzyść

alternatywnej,

w

myśl

której

i-ty

i-ty

parametr jest statystycznie istotny.

parametr jest statystycznie istotny.

W

W

praktyce

praktyce

o istotności parametru przesądza nierówność

o istotności parametru przesądza nierówność

W przeciwnym przypadku brak jest podstaw do

W przeciwnym przypadku brak jest podstaw do

odrzucenia hipotezy zerowej.

odrzucenia hipotezy zerowej.

OK

t

2



t

Uwaga praktyczna

Uwaga praktyczna

Mimo, że już wielokrotnie przez różnych

Mimo, że już wielokrotnie przez różnych

statystyków podejmowane były próby

statystyków podejmowane były próby

sprecyzowania kryteriów pozwalających

sprecyzowania kryteriów pozwalających

rozróżniać

modele

„dobre”

rozróżniać

modele

„dobre”

i „złe” lub przynajmniej „lepsze” od

i „złe” lub przynajmniej „lepsze” od

„gorszych”, to

„gorszych”, to

brak jednoznacznych

brak jednoznacznych

kryteriów tej oceny powoduje, że

kryteriów tej oceny powoduje, że

weryfikacja modelu pozostaje zawsze

weryfikacja modelu pozostaje zawsze

niejednoznaczna

niejednoznaczna

i

jest

jednym

z

i

jest

jednym

z

najtrudniejszych

etapów

badania

najtrudniejszych

etapów

badania

statystycznego.

statystycznego.

Przykład empiryczny

Przykład empiryczny

Liczba aktywnych kart SIM w Polsce w latach 1998-2005

Liczba aktywnych kart SIM w Polsce w latach 1998-2005

lata

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Yt

1944

3956

6748

9605

1389

8

1740

1

2309

6

2916

7

Dziękuję za uwagę

Dziękuję za uwagę

Zapraszam do współpracy

Zapraszam do współpracy

dr Rafał Klóska

dr Rafał Klóska

Katedra Metod Ilościowych

Katedra Metod Ilościowych

Wydziału Zarządzania i Ekonomiki Usług

Wydziału Zarządzania i Ekonomiki Usług

Uniwersytetu Szczecińskiego

Uniwersytetu Szczecińskiego

ul. Cukrowa 8, pok. 403

ul. Cukrowa 8, pok. 403

[e-mail]

[e-mail]