Czwarta prezentacja

Funkcje rozkładu prawdopodobieństwa cech nieciągłych

Rozkład zero-jedynkowy - jest rezultatem takiego doświadczenia, w wyniku którego określone zdarzenie A wystąpi lub nie wystąpi:

P(A) = p to P(Ā) = 1-p = q

Dla doświadczeń, gdzie sukces jest tylko jeden:

Średnia (wartość oczekiwana)

Wariancja ၳ2 = pq = p(1-p)

Odchylenie standardowe

Dla doświadczeń, gdzie sukcesów jest więcej niż jeden:

Średnia (wartość oczekiwana)

xi- kolejna wartość zmiennej losowej

Wariancja ၳ2 = ၓ (xi - E(X))2pi

Rozkład Pascala (ujemny rozkład dwumianowy)
Jeśli r-liczba sukcesów, k-liczba porażek, p-prawdopodobieństwo sukcesu w badanych próbach to: opisuje, jakie jest prawdopodobieństwo, że w k + r próbach wystąpi r sukcesów.

Rozkład geometryczny jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w k-tej próbie. k musi być liczbą naturalną dodatnią.

P(X=1)=

Rozkład geometryczny to szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego dla r = 1.

Średnia (wartość oczekiwana)

Wariancja

Rozkład Poissona

x- oczekiwna wartość zmiennej losowej

(średnia liczba zajścia zdarzenia r w populacji)

n-liczba prób

p-prawdopodobieństwo sukcesu

e-podstawa logarytmu naturalnego 2,718

Średnia (wartość oczekiwana)= wariancja X= ၳ2=np

Rozkład hipergeometryczny

Zmienna losowa o tym rozkładzie określa liczbę elementów jednego typu występujących w n-elementowej próbie wylosowanej z urny zawierającej m elementów tego typu wśród N wszystkich elementów.

P(x) =

k - liczba sukcesów

m - liczba elementów danego typu

n - liczba prób

N - liczba wszystkich elementów

Średnia (wartość oczekiwana)

Wariancja

5 Prezentacja

Ogólnie zmienne zaliczamy do jednej z dwóch kategorii:

1.      zmienne zależne mogą być jedynie mierzone lub rejestrowane przez badacza, nie ma on wpływu na to jakie wartości przyjmują.

2.      zmienne niezależne,takie zmienne, których wartości możemy dobierać i zmieniać w doświadczeniu (są to zmienne manipulowane przez badacza).

Rozkład empiryczny a teoretyczny

Rozkład otrzymany na podstawie badania populacji lub jej części nazywamy rozkładem empirycznym.

Oczywiście istnieją też rozkłady teoretyczne - przykłady to rozkłady normalne, dwumianowy czy Poissona.

Rozkłady teoretyczne są dobrze przebadane i w pewnym sensie wiemy o nich wszystko, a w każdym razie wszystko, co nas interesuje.

Zmienna losowa jest to funkcja przyporządkowująca wartości liczbowe wynikom doświadczenia.

- skokowa (dyskretna),

- ciągła.

Zmienna losowa skokowa (dyskretna) - jest to zmienna przyjmująca skończoną lub co najwyżej przeliczalną liczbę wartości. Zmienna taką jest na przykład rzut monetą, rzut kostką.

Zmienna losowa ciągła to zmienna, której zbiór możliwych do realizacji jest nieskończony i nieprzeliczalny. Zmienną taką jest na przykład wzrost, waga, wiek.

Do funkcji opisujących rozkład zmiennej losowej należą:

• funkcja rozkładu prawdopodobieństwa,

• dystrybuanta dla zmiennej losowej,

• funkcja gęstości.

Dystrybuanta zmiennej losowej X nazywamy funkcje F(x)=P(X<x)

Tak zdefiniowana dystrybuanta ma następujące własności:

• 0≤F(x)≤1

• F(x) jest funkcją niemalejącą

• F(x) jest funkcją przynajmniej lewostronnie ciągłą

Rozkład zmiennej losowej można scharakteryzować za pomocą parametrów rozkładu:

• moment zwykły rzędu k zmiennej losowej,

• moment zwykły rzędu pierwszego (wartość oczekiwana),

• moment centralny rzędu k zmiennej losowej,

• moment centralny rzędu pierwszego i drugiego (wariancja),

• współczynnik asymetrii,

• współczynnik skupienia,

• mediana zmiennej losowej X to wartość Me spełniająca nierówność P(X≤Me)≥0,5 i P(X ≥Me) ≥0,5

• kwantyl rzędu p zmiennej losowej X to wartość Kp spełniajaca nierówność P(X≤ Kp)≥p i P(X ≥ Kp) ≥1-p, 0<p<1

Ćwiczenia 6

Reguła trzech sigm (odchyleń standardowych):

Na jej podstawie można stwierdzić, że:

• Około 68,3 % obserwacji mieści się w granicach jednego odchylenia stand (wokół średniej)

• Około 95,5 % obserwacji mieści się w granicach dwóch odchyleń standardowych

• Około 99,7 % obserwacji mieści się w granicach trzech odchyleń standardowych

Przedział ufności

• Pozwalają nam na oszacowanie wartości prawdziwych parametrów, opisujących zbiór, gdy tylko z pomiarów znamy ich wartości dla próbki oraz ich średnie błędy.

• Najczęściej przyjmuje się pewną formę zapisu wartości wyliczonej dla próbki i jej średniego błędu np. = 25 ± 2.

• Obok prawdopodobieństwa, że nie popełniamy błędu, czyli twz. współczynnika ufności.

• Im większy jest błąd stand. Szacowanego parametru tym mniejszy współczynnik ufności.

• Poziom istotności wskazuje, na jaki mały błąd „wyrażamy” zgodę np. poziom 0,01 świadczy, że jesteśmy skłonni popełnić jeden błąd na 100 badań.

• Ma on zastosowanie w tych przypadkach, gdy rozkład zmiennej nie jest normalny (a jest np. prawoskośny), natomiast wartość logarytmu zmiennej losowej ma rozkład normalny.

ĆWICZENIA 7

Ćwiczenia 8 i reszta

Rozkład Gamma - to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, którego gęstość jest uogólnieniem rozkładu Erlanga na dziedzinę dodatnich liczb rzeczywistych. Zdefiniowany jest przez funkcję Gamma.

၇(x+1) = x ၇(x)

Rozkład ၣ2

Jest szczególnym przypadkiem rozkładu Gamma.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

Przebieg rozkładu zależny jest od liczby przypadków n, określanych mianem liczby stopni swobody.

Rozkład Studenta (rozkład t)

Rozkład Studenta jest funkcją zależną od wyników pomiarów Xi, a niezależną od ၳ2.

Rozkład Studenta z n liczbą stopni swobody jest rozkładem zmiennej

losowej t postaci:

Z - zmienna losowa zestandaryzowana, czyli mająca standardowy rozkład normalny ၭ=0, ၳ2=1

U - zmienna losowa o rozkładzie ၣ2 o n stopniach swobody

Zastosowanie rozkładów prawdopodobieństwa Studenta i ၣ2

1. Umożliwiają generalizowanie wielu istniejących w przyrodzie rozkładów cech, wyliczanie prawdopodobieństwa wystąpienia danej cechy oraz odchylenia od oczekiwanego wzorca.

2. Pozwalają na standaryzowanie istniejących realnie w przyrodzie rozkładów.

Hipotez zerowa	Decyzje
		Przyjąć H0	Odrzucić H0
Hipoteza zerowa prawdziwa	decyzja prawidłowa	błąd I rodzaju
Hipoteza zerowa fałszywa	błąd II rodzaju	decyzja prawidłowa

Poziom istotności - to prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju (odrzucenia prawdziwej H0). Oznaczany jest jako ၡ , a najczęściej przyjmowane wartości to 0,05 oraz 0,01 i 0,001

Moc testu - to prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy zerowej, gdy jest ona prawdziwa. Równe jest 1-ၢ. Przy niezmienionym poziomie istotności możemy zwiększyć moc testu odpowiednio zwiększając liczebność próby.

p

=

x

__

SD

=

pq

=

x

__

σ² =

_

X=

σ²=

√χ²/n

Do porównania obserwacji i oczekiwań

Do porównania dwóch rozkładów

ANOVA

Do porównania wielu średnich

Chi²-test

Kolmogorov - Smirnov-test

Chi²-test

F-test

Do porównania

dwóch wariancji

t-test

Do porównania dwóch średnich

Testy nieparametryczne

Testy parametryczne

• rozkład normalny pomiarów

• rozkład normalny różnic m. parami pomiarów

Jaki rodzaj testu zastosować?

4. Odnalezienie przy danym poziomie istotności obszarów krytycznych i w oparciu o nie podjęcie decyzji o odrzuceniu lub nie hipotezy zerowej

3. Przyjęcie odpowiedniego poziomu istotności:

p ≤ 0.05

2. Wybór odpowiedniego do postawionej hipotezy zerowej testu i obliczenie jego wartości w oparciu o dane pochodzące z próby

1. Formułowanie hipotezy zerowej H₀ oraz odpowiadającej jej hipotezy alternatywnej H₁ :

H₀ : nie ma różnicy

H₁ : istnieje różnica

Etapy procesu weryfikacji hipotez statystycznych

σ₁² + σ₂² - wariancje

μ₁, μ₂ - średnie populacji

√σ₁² + σ₂²

μ₁ - μ₂

t = √n

Testy t - Studenta

zmienna ma rozkład t-Studenta o liczbie stopni swobody n-1

s_d - odchylenie standardowe różnic

d - średnia różnica,

t =

1. Dla zmiennych powiązanych:

Porównywanie różnic między średnimi

liczba stopni swobody n₁ + n₂ - 2

σ² - wariancja

Test Fishera - Snedecora

σ₂²

σ₁²

F =

Testowanie hipotezy o braku różnic między wariancjami

k - liczba obserwacji, k-1 liczna stopni swobody, N - wielkość próby

k

1

frekwencja oczekiwana

χ² = N ∑

(frekwencja oczekiwana - frekwencja obserwowana)²

k

1

wartość oczekiwana

χ² = ∑

(wartość oczekiwana - wartość obserwowana)²

Test χ²

Porównywanie rozkładów cech

N - liczba przypadków

SS - suma kwadratów odchyleń od średniej

N - k

SS _{wewnątrz grup}

=

σ² _{wewnątrz grup}

k - liczba grup

σ² - wariancja

k - 1

SS _{między grupami}

=

σ² _{między grupami}

σ² _{wewnątrz grup}

σ² _{między grupami}

F =

1. Klasyfikacja pojedyncza

Analiza wariancji (ANOVA)

Z

=

√n

√U

Z

t =

e^-x/2 x^(n-2)/2

2^n/2 Γ(n/2)

1

f(x) =

Ograniczenia testów nieparametrycznych:

• trudniej jest odrzucić hipotezę zerową, łatwiej popełnić błąd II rodzaju

• do odrzucenia hipotezy zerowej potrzeba jest zwykle próby o większej liczebności

Ograniczenia testów parametrycznych:

• rozkład normalny pomiarów

• rozkład normalny różnic między parami pomiarów

Symulacja Monte Carlo

Do analizy struktury

• Test Wilkoxona dla par wiązanych

• U-test

• test Kruskala- Wallisa

• Test znaków

• Test Monte Carlo

Do porównania obserwacji i oczekiwań

Do porównania dwóch średnich

Testy nieparametryczne

W teście tym różnicom przypisujemy rangi. Osobno sumujemy rangi dodatnie i ujemne. Mniejsza z otrzymanych sum to wartość testu Wilcoxona (T), która porównana z odpowiednią wartością teoretyczną w tablicach decyduje o odrzuceniu hipotezy zerowej.

Test Wilcoxona dla par wiązanych

Do porównań z tablicami bierzemy mniejszą wartość U.

n₁, n₂ - liczebność prób, R₁, R₂ -suma rang prób 1 i 2.

- R₂

2

n₂ (n₂ + 1)

n₁ n₂ +

U₂ =

- R₁

2

n₁ (n₁ + 1)

n₁ n₂ +

U₁ =

U - test

Statystyka ma rozkład χ² o liczbie stopni swobody k-1

k

i = 1

- 3(N+1)

n_i

R_i²

Σ

N (N + 1)

12

KW =

N - liczba obserwacji, R_i - suma rang w każdej grupie, k - liczba grup, n_i - liczba obserwacji w grupie,

Test Kruskala-Wallisa

---