Analiza wymiarowa
Przykład wyznaczania
współczynników wnikania
masy
Przygotowali:
Patrycja Winiarczyk
Dawid Sacha
Analiza wymiarowa
Przykład wyznaczania
współczynników wnikania
masy
Przygotowali:
Patrycja Winiarczyk
Dawid Sacha
Rozważamy przypadek wnikania składnika A z
mieszaniny gazowej płynącej strumieniem w górę
pionową rurą w przeciwprądzie do cieczy spływającej
cienką warstwą po obwodzie wewnętrznym ścianki tej
rury. Wyznaczenie współczynnika wnikania masy
k
G
oparlismy na metodzie analizy wymiarowej.
Na podstawie obserwacji można stwierdzić, że
wartość współczynnika
k
G
jest funkcją:
• średnicy rury
d [m]
• gęstości
ρ [kg/m
3
]
• dynamicznego współczynnika lepkości gazu
η
[kg/(m*s)]
• wartości siły napędowej występującej w granicznej
błonce gazowej
Δc
A
[kg/m
3
]
• liniowej prędkości przepływu gazu
u [m/s]
• kinematycznego współczynnika dyfuzji
D
AB
[m
2
/s]
• długości rury
L [m]
• przyspieszenia ziemskiego
g [m/s
2
]
Wszystkie wymienione wielkości mają wymiar fizyczny, który
można wyrazić przy pomocy trzech wymiarów podstawowych:
m, kg, s.
Problem rozwiążemy wykorzystując metodą Buckinghama
analizy wymiarowej, przez co otrzymamy o związek wiążący
sześć liczb bezwymiarowych (kryteriów).
Ponieważ funkcja:
zawiera 9 parametrów
n
i 3 wymiary podstawowe
m
stąd:
Końcowa postać zależności uzyskanej na podstawie analizy
jest funkcja 6 liczb bezwymiarowych:
6
m
n
0
)
,
,
,
,
,
(
6
5
4
3
2
1
1
K
K
K
K
K
K
f
0
)
,
,
,
,
,
,
,
,
(
L
D
u
g
c
k
d
f
AB
A
G
Trzy parametry d, ρ, η zawierają 3 podstawowe wymiary
fizyczne
(m, kg, s)
uznajemy je jako główne i uwzględniamy w każdej grupie funkcji
K
1
, K
2
, K
3
, K
4
, K
5
, K
6
.
Stąd otrzymamy wyrażenie dla pierwszej liczby
bezwymiarowej
Bezwymiarowość wymaga spełnienia warunku:
Aby warunek ten mógł być spełniony dla poszczególnych
wymiarów podstawowych napiszemy następujące równania:
t
G
s
r
p
k
d
K
1
t
s
r
p
s
m
s
m
kg
m
kg
m
3
1
t
s
s
s
r
kg
t
s
r
p
m
0
:
0
:
3
0
:
Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymujemy
odpowiedź, że:
Stąd zaś wynika, że
t
r
p
s
G
k
d
K
1
Utwórzmy drugą grupę parametrów
Po podstawieniu wymiarów fizycznych poszczególnych wielkości
otrzymamy związek
A stąd układ następujących trzech równań:
t
A
s
r
p
c
d
K
2
t
s
r
p
m
kg
s
m
kg
m
kg
m
3
3
1
s
s
t
s
r
kg
t
s
r
p
m
0
:
0
:
3
3
0
:
Skąd
a liczba bezwymiarowa K
2
przyjmie postać
0
s
t
r
0
p
A
c
K
2
Podobnie postępując z następującymi grupami
parametrów, otrzymamy dalsze liczby bezwymiarowe
(kryteria):
2
2
3
3
g
d
K
AB
D
K
5
d
L
K
6
u
d
K
4
W dyfuzyjnym ruchu masy szczególnie ważną rolę
odgrywają dwie spośród sześciu wyprowadzonych liczb
bezwymiarowych, a mianowicie kryterium Reynoldsa (Re)
i kryterium Schmidta (Sc)
Re
4
ud
K
Sc
D
K
AB
5
Kombinacje otrzymanych liczb bezwymiarowych dają
również związki ważne dla dyfuzyjnego ruchu masy. Na
przykład stosunek
jest ważną liczbą bezwymiarową Sherwooda (Sh)
Iloczyn stanowi liczbę bezwymiarową
zwaną liczbą Grashofa dla ruchu masy (Gr)
1
5
K
K
Sh
D
d
k
k
d
D
K
K
AB
G
G
AB
1
5
6
3
2
K
K
K
Gr
c
gL
d
L
g
d
c
K
K
K
A
A
3
3
3
2
2
3
6
3
2
Kombinacje wyprowadzonych tu liczb bezwymiarowych
mogą opisywać wyniki doświadczeń. Ogólna korelacja liczb
bezwymiarowych może być ujęta w postaci
gdzie A - bezwymiarowa wielkość stała, liczbowy
współczynnik proporcjonalności.
Dla przykładu konwekcji wymuszonej, przepływu
strumienia gazu w rurze pionowej ruchem burzliwym (w
przeciwprądowym kontakcie ze spływającą w dół cieczą)
F
E
D
C
B
K
K
K
K
AK
K
6
5
4
3
2
1
C
B
K
AK
K
K
5
4
1
5
C
B
Sc
A
Sh
Re
Dziękujemy za uwagę…