Analiza wymiarowa
Analiza wymiarowa
Analiza wymiarowa
Analiza wymiarowa
1. Analiza wymiarowa
Element przestrzeni wymiarowej
np. (5 kg), (7,8 m/s
2)
, (15 m
3
/s), (100kPa),…..
Elementy przestrzeni wymiarowej są wymiarowo
niezależne wtedy i tylko wtedy gdy:
3
1
2
1
2
3
n
a
a
a
a
n
A A A
A
a
� � � � =
�
K
Przykład1:
( )
1
2
3
5
2
a
a
m
s
s
a
�
�
=
�
�
�
�
( )
2
1
1
2
3
a
a
s
s
a
� � =
�
� �
� �
Przykład2:
Elementy są wymiarowo niezależne.
Elementy są wymiarowo zależne.
Przestrzeń wymiarowa ma n jednostek jeżeli
istnieje w niej
n wymiarowo niezależnych wymiarowo elementów.
Każdy zbiór elementów wymiarowo niezależnych
A
1
, A
2
, A
3
,…., A
n
tworzy bazę.
Każdy element przestrzeni można zapisać jako
kombinację elementów bazy
A=
a
- wielkość
bezwymiarowa
Jak sprawdzić czy elementy tworzą bazę (są
wymiarowo niezależne)?
Jeśli znamy zbiór
który wiemy, że tworzy bazę (jest wymiarowo
niezależny) to
zbiór
generowany jest poprzez bazę X
{
}
1
2
3
,
,
,
,
n
X
X X X
X
=
K
{
}
1
2
3
, , ,
,
m
B
B B B
B
=
K
31
32
33
3
1
2
3
1
2
3
3
1
2
3
1
2
3
n
m
m
m
mn
a
a
a
a
n
a
a
a
a
m
m
n
B
B
B
X
X
X
X
B
X
X
X
X
a
a
=
=
= �
�
�
� �
=
�
�
�
� �
K
M
K
11
12
1
21
22
2
1
2
n
n
m
m
mn
a
a
a
a
a
a
rank
a
a
a
=
K
K
M
M O
M
K
to zbiór B tworzy bazę (jest wymiarowo
niezależny).
Jeśli spełniony jest warunek
Przykład3:
{
}
1 ,1 ,1
X
m kg s
=
2 ,1 , 4
m
B
m Pa
s
�
�
=�
�
�
jest bazą?
Czy
2
1
4
m
s
m
Pa
�
=
�
�
=
�
�
=
�
�
Czyli zbiór B tworzy bazę.
Przykład4:
{
}
1 ,1 ,1
X
m kg s
=
3
1 , 2
, 5
m m
B
s
s
s
�
�
=�
�
�
jest bazą?
Czy
3
1
2
5
m
s
m
s
s
�
=
�
�
�
=
�
�
=
�
�
�
Czyli zbiór B nie tworzy bazy.
Funkcja wymiarowa jest to funkcja określona na
zbiorze elementów wymiarowych.
gdzie Z, Z
1
, Z
2
, …, Z
m
– elementy przestrzeni
wymiarowej
1
2
( , ,
)
m
Z
f Z Z
Z
=
K
Przykład5: Wyznaczyć funkcję wymiarową
określającą spadek ciśnienia przypadający na
jednostkę długości przewodu o średnicy d wskutek
przepływu płynu o gęstości ρ z prędkością v.
( , , )
sl
p
f d
v
l
r
D
=
[ ]
[ ]
[ ]
d
m kg s
mkg s
v
m kg s
r
=
=
=
Sprawdzamy czy argumenty funkcji są wymiarowo
niezależne
Zapisujemy funkcję wymiarową jako kombinację
elementów wymiarowo niezależnych w postaci:
sl
p
l
D
=
3
1
2
(
)
(
) (
) (
)
a
a
a
mkg s
mkg s
mkg s
mkg s
a
= �
Tworzymy układ 3 równań dla m, kg, s
2
1
2
- =
�
� =
�
�- =
�
Rozwiązaniem układu równań jest
a
1
=
a
2
=
a
3
=
Czyli funkcja wymiarowa ma postać
sl
sl
p
l
p
l
D
=
D
=
Twierdzenie Buckinghama (twierdzenie
Twierdzenie Buckinghama (twierdzenie
)
)
1
2
2
3
( , ,
, ,
)
m
r
Z
Y Y
Y A A
A
=F
K
K
Dana jest funkcja wymiarowa
Y
1
,Y
2
, …, Y
m
– elementy wymiarowo niezależne
Z, A
2
, A
3
, …., A
r
– elementy wymiarowo zależne.
Dla funkcji wymiarowo niezmienniczej i
jednorodnej argumenty zależne wyrażają się
wzorem
1
2,3, ,
ji
m
a
j
j
i
i
A
Y
j
r
p
=
=
=
�
K
1
1
1
i
m
a
i
i
Z
Y
p
=
=
�
to funkcja Φ ma postać
1
1,2,3, ,
ji
j
j
m
a
i
i
A
j
r
Y
p
=
=
=
�
K
1
p =
j
p
- bezwymiarowe
1
1
1
i
m
a
i
i
Z
Y
p
=
=
�
Przykład 1:
Kula o średnicy d opływana jest przez płyn o gęstości ρ i
kinematycznym współczynniku lepkości μ z prędkością u. Wyznaczyć
równanie na silę oporu kuli F.
F - siła oporu kuli, N=m kg/s
2
d - średnica kuli, m
u - prędkość przepływu płynu, m/s
ρ – gęstość płynu, kg/m
3
μ – dynamiczny współczynnik lepkości płynu, Pa s=(kg/ms)
Sprawdzamy czy zestaw ρ, u, d tworzy bazę?
m k
g
s
ρ
u
d
u
Zestaw ρ, u, d tworzy bazę.
d
1
F
p =
�
=
(
)
(
) (
) (
)
11
12
13
1
a
a
a
mkg s
mkg s
mkg s
mkg s
p
=
1
1
2
=
�
� =
�
�- =
�
2
p
m
=
�
=
(
)
(
) (
) (
)
21
22
23
2
a
a
a
mkg s
mkg s
mkg s
mkg s
p
=
1
1
1
- =
�
� =
�
�- =
�
( )
1
2
f
p
p
=
2 2
F
f
u d
u d
m
r
r
�
�
= �
�
�
�
F =
ponieważ
Re=
2
2
1
4
4
2
d
A
A
A
d
C
p
p
=
�
=
=
stąd
F =
F =
Przykład 2:
p/l - spadek ciśnienia na jednostkę długości, Pa/m=kg/(m
2
s
2
)
d - średnica przewodu, m
v – średnia prędkość przepływu płynu, m/s
ρ – gęstość płynu, kg/m
3
μ – dynamiczny współczynnik lepkości płynu, Pa s=(kg/ms)
k – chropowatość bezwględna, m
Sprawdzamy czy zestaw ρ, v, d tworzy bazę?
m k
g
s
ρ
u
d
Zestaw ρ, v, d tworzy bazę.
11
12
13
1
1
11
12
13
/
a
a
a
a
a
a
p l
p
v d
v d
l
p
p r
r
=
�
=
V
V
(
)
(
) (
) (
)
11
12
13
2
1
2
3
1 0
1
0
1
1
0 0
1
a
a
a
m kg s
m kg s
mkg s
mkg s
p
-
-
-
-
=
11
12
13
11
12
2
3
1
2
a
a
a
a
a
- =-
+
+
�
� =
�
�- =
-
�
1
p =
21
22
23
2
2
21
22
23
a
a
a
a
a
a
v d
v d
m
p
m p r
r
=
�
=
(
)
(
) (
) (
)
21
22
23
1
1
1
3
1 0
1
0
1
1
0 0
2
a
a
a
m kg s
m kg s
mkg s
mkg s
p
-
-
-
-
=
21
22
23
21
22
1
3
1
1
a
a
a
a
a
- =-
+
+
�
� =
�
�- =
-
�
2
p =
31
32
33
3
3
31
32
33
a
a
a
a
a
a
k
k
v d
v d
p
p r
r
=
�
=
(
)
(
) (
) (
)
31
32
33
1
0 0
3
1 0
1
0
1
1
0 0
3
a
a
a
mkg s
m kg s
mkg s
mkg s
p
-
-
=
31
32
33
31
32
1
3
0
0
a
a
a
a
a
=-
+
+
�
� =
�
� =
-
�
3
p =
1
p =
2
p d
l
u
r
=
V
p=
V
p
h
g
r
=
=
V
V
h=
V
ostatecznie
PODOBIEŃSTWO MODELOWE
PODOBIEŃSTWO MODELOWE
Najczęściej występujące siły oddziaływujące w
przepływie płynu
•siły grawitacji,
•siły ciśnieniowe,
•siły lepkości,
•siły napięcia powierzchniowego,
•siły bezwładności,
•siły sprężystości.
1. Liczba Reynoldsa
Jeśli ściśliwość płynu może zostać pominięta i nie
występuje w przepływie powierzchnia swobodna
(np. przepływ w rurze, samolot w powietrzu,
zanurzona łódź podwodna) to pod uwagę można
brać tylko siły lepkości i bezwładności.
Wybrane liczby podobieństwa dotyczące
Wybrane liczby podobieństwa dotyczące
przepływu płynu
przepływu płynu
Liczba Reynoldsa stosowana jest jako podstawowe
kryterium stateczności ruchu płynów (przepływ
laminarny, turbulentny).
2. Liczba Froude’a
Jeśli o przepływie decyduje siła grawitacji.
3. Liczba Webbera
Liczbę Webera wykorzystuje przy przepływach
wielofazowych (co najmniej dwufazowymi, gdy
jeden płyn graniczy z innym płynem), szczególnie
gdy powierzchnia rozdziału faz jest silnie
zakrzywiona (np. kropla płynu, poruszająca się w
innym płynie).
4. Liczba Macha
Jeśli płyn płynie z dużą prędkością lub ciało stałe
porusza się z dużą prędkością w płynie
pozostającym w spoczynku dominująca jest
ściśliwość płynu.
Liczba Macha przedstawia stosunek prędkości
przepływu płynu w danym miejscu do prędkości
dźwięku w tym płynie w tym samym miejscu
Lub stosunek prędkości obiektu poruszającego się
w płynie do prędkości dźwięku w tym płynie
niezakłóconym ruchem obiektu, czyli formalnie –
w nieskończoności.
Przepływ jest
•nieściśliwy (wpływ ściśliwości można pominąć) :
Ma << 1
•poddźwiękowy: Ma < 1
•dźwiękowy: Ma = 1
•okołodźwiękowy: 0,8 < Ma < 1,2
•naddźwiękowy: Ma > 1
•hiperdźwiękowy: Ma >> 1