Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Paweł Zimny
Literatura
Przeździecki Franciszek: Elektrotechnika i elektronika.
PWN Warszawa 1974r.
Uporządkowany ruch ładunków elektrycznych
nazywamy prądem elektrycznym
i opisujemy za pomocą natężenia prądu i(t).
Jednostką natężenia prądu jest amper – A
jednostki pochodne: 1mA=10
-3
A
1μA=10
-6
A
1nA=10
-9
A
1kA=10
3
A
R
Rezystor
i(t)
u(t)
Prawo Ohma
u(t)=Ri(t)
Jednostką napięcia jest volt - V
R – rezystancja jednostka ohm -
Źródło napięcia
stałego
zmiennego
E
e(t)
L
i(t)
u(t)
dt
di
L
t
u
L – indukcyjność jednostka henr – H=s
u(t)
C
i(t)
dt
du
C
t
i
C – pojemność jednostka farad – F=s/
Obwód elektryczny
R
1
R
2
R
3
R
4
L
C
e(t)
węzeł
węzeł
gałąź
i
1
(t)
i
2
(t)
i
3
(t)
u
R1
(t)
u
R2
(t)
u
R3
(t)
u
L
(t)
u
C
(t)
u
R4
(t)
Prądowe prawo Kirchhoffa
lub
I prawo Kirchhoffa
0
t
i
N
1
k
k
i
1
(t)
i
2
(t)
i
3
(t)
i
4
(t)
i
5
(t)
0
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
3
4
3
2
1
Napięciowe prawo Kirchhoffa
lub
II prawo Kirchhoffa
0
t
u
P
1
k
k
R
2
R
3
R
4
L
C
e(t)
i
1
(t)
i
2
(t)
i
3
(t)
u
R1
(t)
u
R2
(t)
u
R3
(t)
u
L
(t)
u
C
(t)
u
R4
(t)
oczko I
oczko II
0
t
u
t
u
t
u
t
e
4
R
2
R
1
R
0
t
u
t
u
t
u
t
u
2
R
3
R
L
C
oczko I
oczko II
w - liczba węzłów w obwodzie,
w-1 – liczba węzłów niezależnych w obwodzie,
I prawo Kirchhoffa pozwala zapisać w-1 równań
dla prądów w węzłach.
R
2
R
3
R
4
L
C
e(t)
i
1
(t)
i
2
(t)
i
3
(t)
u
R1
(t)
u
R2
(t)
u
R3
(t)
u
L
(t)
u
C
(t)
u
R4
(t)
oczko I
oczko II
1
2
0
t
i
t
i
t
i
:
2
0
t
i
t
i
t
i
:
1
3
2
1
3
2
1
Jeżeli w obwodzie mamy g – niezależnych gałęzi.
w których płyną nieznane prądy, to dla ich określenia
pozostałe g-(w-1)=g-w+1 – równań musimy zbudować
z drugiego prawa Kirchhoffa.
Oznacza to, że musimy wyznaczyć
g-w+1
oczek niezależnych, dla których piszemy bilans napięć.
R
2
R
3
R
4
L
C
e(t)
i
1
(t)
i
2
(t)
i
3
(t)
u
R1
(t)
u
R2
(t)
u
R3
(t)
u
L
(t)
u
C
(t)
u
R4
(t)
oczko I
oczko II
g=3
w=2 → w-1=1 czyli g-w+1=2
R
1
Szeregowe połączenie rezystancji
R
1
R
2
R
3
i(t)
i(t)
i(t)
i(t)
u
R1
(t)
u
R2
(t)
u
R3
(t)
t
u
t
u
t
u
t
u
3
R
2
R
1
R
3
2
1
3
2
1
3
3
R
2
2
R
1
1
R
R
R
R
R
)
t
(
Ri
t
u
)
t
(
i
R
R
R
t
u
)
t
(
i
R
t
u
)
t
(
i
R
t
u
)
t
(
i
R
t
u
R
i(t)
u(t)
Generalnie
Jeżeli mamy K szeregowo połączonych rezystancji R
i
to możemy je zastąpić rezystancją zastępczą R
zast
o wartości:
K
i
1
i
i
zast
R
R
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
e(t)
e(t)
)
t
(
i
R
zast
zast
R
t
e
t
i
gdzie R
zast
=R
1
+R
2
+R
3
+R
4
+R
5
Połączenie równoległe rezystancji
u(t)
R
1
R
2
R
3
i
1
(t)
i
2
(t) i
3
(t)
u
1
(t) u
2
(t) u
3
(t)
i(t)
t
u
R
1
R
1
R
1
R
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
R
t
u
t
i
R
t
u
t
i
R
t
u
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
3
2
1
zast
3
2
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
2
1
ostatecznie:
i(t)
u(t)
R
zast
3
2
1
zast
R
1
R
1
R
1
R
1
Generalnie
Jeżeli jest K równolegle połączonych rezystorów
o rezystancji R
i
i-go rezystora, to możemy je zastąpić
jednym rezystorem zastępczym o rezystancji R
zast
,
którą wyznaczamy z zależności:
K
i
1
i
i
zast
R
1
R
1
Dla dwóch mamy:
2
1
2
1
zast
R
R
R
R
R
Obwód prądu stałego
12V
0.6
4
6
Metoda zwijania sieci
Rezystory połączone
równolegle
zastępujemy
rezystancją
zastępczą
korzystając
z zależności:
2
1
2
1
zast
R
R
R
R
R
i mamy:
4
.
2
10
24
6
4
6
4
R
zast
i schemat:
12V
0.6
2.4
Rezystory są połączone
szeregowo
i z zależności:
R
0
=R
1
+R
zast
mamy: R
0
=0.6+2.4
czyli R
0
=3
i schemat:
12V
3
I
i prąd I obliczamy
dla prostego obwodu
z zależności:
0
R
E
I
Po dodstawieniu danych
mamy:
A
4
3
12
I
Wykonujemy powrót przez kolejne obwody, a więc:
12V
0.6
2.4
I=4A
U=IR
zast
=4·2.4=9.6V
Następny krok powrotny:
12V
0.6
4
6
9.6V
4A
A
6
.
1
6
6
.
9
I
2
A
4
.
2
4
6
.
9
I
1
Moc tracona w rezystancji:
2
RI
P
i mamy: rezystor 0.6 → P
1
=0.6·4
2
=9.6W
4 → P
2
=4·2.4
2
=23.04W
6 → P
3
=6·1.6
2
=15.36W
W obwodzie musi być spełniony bilans mocy jest
to twierdzenie Tellegena i stwierdza ono, że:
Suma mocy dostarczona przez źródła jest równa
sumie mocy traconej w rezystorach znajdujących
się w obwodzie.
Źródło dostarcza moc P
źr
=EI=12·4=48W
Suma mocy traconej w rezystorach jest:
P
tr
=9.6+23.04+15.36=48W
P
źr
=P
tr
Przykład
24V
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
R
7
R
1
=2; R
2
=10; R
3
=20; R
4
=5.2; R
5
=8; R
6
=30;
R
7
=20;
Równolegle połączone rezystor R
5
, R
6
, R
7
zastępujemy
rezystorem zastępczym R
a
:
7
6
5
a
R
1
R
1
R
1
R
1
i mamy:
20
1
30
1
8
1
R
1
a
24V
R
1
R
2
R
3
R
4
R
a
R
1
=2; R
2
=10; R
3
=20;
R
4
=5.2;
R
a
=4.8
Rezystory R
2
, R
4
, R
a
są połączone szeregowo
i zastępujemy je rezystorem R
b
o wartości:
4
a
2
b
R
R
R
R
i podstawiając wartości mamy:
R
b
=10+4.8+5.2=20
i mamy schemat: 24V
R
1
R
3
R
b
R
1
R
3
R
b
24V
R
1
=2; R
3
=20; R
b
=20
Mamy dwa rezystory R
3
i R
b
połączone równolegle
i zastępując je rezystorem
R
c
wyliczanym ze wzoru:
b
3
b
3
c
R
R
R
R
R
i mamy:
10
20
20
20
20
R
c
stąd schemat:
R
1
R
c
24V
Szeregowo połączone
rezystory R
1
i R
c
zastępujemy przez
R
0
=R
1
+R
c
i mamy: R
0
=2+10=12, a schemat ma postać:
R
0
24V
I
1
Prąd I
1
wyznaczamy z zależności:
A
2
12
24
I
1
Moc dostarczana do układu jest:
W
48
2
24
P
dost
Dla obliczenia rozpływu prądów wracamy przez
kolejne kroki w odwrotnym kierunku:
R
1
R
c
24V
2A
U
c
U
c
=I
1
R
c
=2·10=20V
R
1
R
3
R
b
24V
2A
20V
I
3
I
2
A
1
20
20
R
U
I
A
1
20
20
R
U
I
b
c
2
3
c
3
24V
R
1
R
2
R
3
R
4
R
a
2A
1A
1A
U
a
=I
2
R
a
=1·4.8=4.8V
24V
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
R
7
1A
1A
1A
2A
4.8V
mA
240
A
24
.
0
20
8
.
4
R
U
I
mA
160
A
16
.
0
30
8
.
4
R
U
I
A
6
.
0
8
8
.
4
R
U
I
7
a
7
6
a
6
5
a
5
I
6
I
7
Moc pobierana:
W
48
P
P
W
8
2
2
I
R
P
W
0
1
1
10
I
R
P
W
0
2
1
20
I
R
P
5.2W
1
2
.
5
I
R
P
2.88W
6
.
0
8
I
R
P
0.768W
16
.
0
30
I
R
P
1.152W
24
.
0
20
I
R
P
7
i
1
i
i
pobrane
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2
4
4
4
2
2
5
5
5
2
2
6
6
6
2
2
7
7
7
Moc dostarczona P
dost
=48W
Metoda podobieństwa
20V
4
10
15
Zakładamy dowolnie jeden z prądów.
I
2
=1A
15·1=15V
I
1
A
5
.
1
10
15
I
1
I
I=I
1
+I
2
=1.5+1=2.5A; E=U+15=10+15=25V
U=4·2.5=10V
Współczynnik podobieństwa
8
.
0
25
20
E
E
k
oblicz
rzecz
i przeliczamy prądy i napięcia
20V
4
10
15
0.8·2.5=2A
0.8·1=0.8A
0.8·1.5=1.2A
0.8·10=8V
0.8·15=12V
P
dost
=20·2=40W
P
pobr
=8·2+12·1.2+12·0.8=40W
Obliczyć wskazania amperomierzy i woltomierzy w obwodzie
A
1
A
6
A
2
A
3
A
4
A
5
A
7
V
1
V
2
V
3
4Ω
8Ω
3Ω
9Ω
4Ω
375mΩ
40Ω
400mΩ
3.6Ω
48V
I
2
=1+1.22=
=2.67A
Obliczenia metodą podobieństwa
4Ω
8Ω
3Ω
9Ω
4Ω
375mΩ
40Ω
400mΩ
3.6Ω
I
4
=1A
3·1=3V
8·1=8V
4·1=4V
4+8+3=15V
I
3
=15/9=1.67A
I
5
=2.67A
4·2.67=10.7V
0.375·2.67=1V
10.7+15+1=
=26.7V
I
6
=26.7/40=0.668A
I
1
=2.67+0.67=
=3.34A
I
7
=3.34A
3.34·3.6=12V
0.4·3.34=1.34V
E
E=12+26.7+1.34=40V
Współczynnik podobieństwa k=48/40=1.2
A
1
A
6
A
2
A
3
A
4
A
5
A
7
V
1
V
2
V
3
4Ω
8Ω
3Ω
9Ω
4Ω
375mΩ
40Ω
400mΩ
3.6Ω
48V
Wskazania amperomierzy: A
1
=A
7
=4A
A
2
=A
5
=3.2A
A
3
=2A
A
4
=1.2A
A
6
=0.8A
V
1
V
2
V
3
48V
1.61V
14.4V
32V
12.8V
1.2V
18V
4.8V
3.6V
9.6V
Wskazania woltomierzy:
V
1
=48-1.61=46.4V lub V
1
=14.4+32=46.4V
V
2
=32V lub V
2
=1.2+18+12.8=32V
V
3
=1.2+3.6+9.6=14.4V lub V
3
=1.2+18-4.8=14.4V
Obwody prądu zmiennego
Siła elektromotoryczna sinusoidalnie zmienna
e(t)=E
m
sin(t+)
E
m
– amplituda, - pulsacja, - faza
0 0.008
0.016
0.024
0.032
0.04
10
5
0
5
10
e t
( )
t
T
E
m
E
m
=2πff – częstotliwość [Hz]
f=1/T
T - okres
R
i(t)
u
R
(t)=Ri(t)
i(t)=I
m
sin(t+)
u
R
(t)=RI
m
sin(t+)
0 0.010.020.030.04
10
5
0
5
10
i t
( )
uRt
( )
t
Indukcyjność
i(t)
L
u
L
(t)
2
t
sin
LI
t
u
t
cos
LI
t
u
t
sin
I
t
i
dt
di
L
t
u
m
L
m
L
m
L
0
0.010.020.030.04
10
5
0
5
10
i t
( )
uLt
( )
t
/2
Pojemność
i(t)
u
C
(t)
2
t
sin
C
I
t
u
t
cos
C
I
t
u
t
sin
I
t
i
d
i
C
1
t
u
m
C
m
C
m
t
C
0 0.010.020.030.04
10
5
0
5
10
i t
( )
uCt
( )
t
/2
Zadanie 1.
Dany jest obwód:
E
1
R
1
R
2
R
3
R
4
E
2
Napisać równania Kirchhoffa dla wyznaczenia prądów.
Zadanie 2.
Przez rezystor o rezystancji R=(a+b)[mΩ] płynie prąd równy 10A.
Ile wynosi spadek napięcia na tym rezystorze?
Zadanie 3.
Dany jest układ rezystorów:
a
b
a+b
A
B
Obliczyć rezystancję R
AB
.
a=liczba liter w nazwisku, b=liczba liter w nazwisku
Szeregowe połączenie rezystancji i indukcyjności
R
L
e(t)=E
m
sin(t)
i(t)
u
R
(t)
u
L
(t)
i(t)=I
m
sin(t+)
u
R
(t)=Ri(t)
u
R
(t)=RI
m
sin(t+)
t
cos
LI
t
u
dt
di
L
t
u
m
L
L
Z napięciowego prawa Kirchhoffa mamy:
u
R
(t)+u
L
(t)=e(t)
RI
m
sin(t+)+LI
m
cos(t+)=E
m
sin(t)
aby równanie: RI
m
sin(t+)+LI
m
cos(t+)=E
m
sin(t)
było spełnione dla dowolnej chwili czasowej musi mieć
postać: I
m
Zsin(t)= E
m
sin(t)
gdzie I
m
=E
m
/Z.
t
sin
E
t
cos
L
R
L
t
sin
L
R
R
L
R
I
t
sin
E
t
cos
L
t
sin
R
I
m
2
2
2
2
2
2
m
m
m
Podstawiamy:
2
2
L
R
Z
Z
L
sin
i
Z
R
cos
Z – nazywamy impedancją
po podstawieniu mamy:
t
sin
E
t
sin
Z
I
t
sin
E
t
cos
sin
t
sin
cos
Z
I
t
sin
E
t
cos
L
t
sin
R
I
m
m
m
m
m
m
a więc aby powyższe równanie było spełnione dla
dowolnej chwili czasowej musi zachodzić równość:
=
- faza prądu jest określana z równania:
a amplituda prądu I
m
jest:
R
L
tg
2
2
m
m
m
L
R
E
Z
E
I
Przebieg prądu i(t) oraz spadki napięcia u
R
(t) i u
L
(t)
przedstawiono na wykresach:
0 0.008
0.016
0.024
0.032
0.04
200
100
0
100
200
e t
( )
i t
( )
uRt
( )
uLt
( )
t
L/R=1
/4
0 0.008
0.016
0.024
0.032
0.04
100
50
0
50
100
e t
( )
i t
( )
uRt
( )
uL t
( )
t
L/R=0.1
0 0.008
0.016
0.024
0.032
0.04
100
50
0
50
100
e t
( )
i t
( )
uRt
( )
uL t
( )
t
L/R=5
Moc
Moc chwilowa dostarczana do obwodu jest:
p(t)=e(t)i(t)
t
2
cos
cos
2
I
E
t
p
t
sin
t
sin
I
E
t
p
m
m
m
m
Średnia moc jest:
T
0
dt
t
p
T
1
P
po wykonaniu całkowania mamy:
cos
2
I
E
P
m
m
0 0.008
0.016
0.024
0.032
0.04
100
50
0
50
100
p t
( )
P
e t
( )
t
Moc średnią P nazywamy mocą czynną.
Jednostką mocy czynnej jest wat [W]
Wygodnie jest przekształcić zależność:
cos
2
I
2
E
cos
2
I
E
P
m
m
m
m
i wprowadzamy wartości skuteczne:
2
I
I
2
E
E
m
m
Wzór na moc czynną przyjmuje postać:
cos
EI
P
Wprowadzamy dodatkową charakterystykę
zwaną mocą bierną:
Q=EIsin()
Jednoską mocy biernej jest var [VAr].
Ponieważ P
2
+Q
2
=(EI)
2
(cos
2
+sin
2
)=(EI)
2
Wielkość: S=EI
nazywamy mocą pozorną.
Jednostką mocy pozornej jest voltamper [VA].
2
2
Q
P
S
Moc tracona w rezystancji: p
R
(t)=u
R
(t)i(t)
Ponieważ u
R
(t)=Ri(t) więc p
R
(t)=Ri
2
(t)
2
t
2
cos
1
2
I
R
t
sin
RI
t
p
2
m
2
2
m
R
i średnia moc jest: P
R
=RI
2
Ze względu na fakt, że kąt fazowy między spadkiem
napięcia u
R
(t)=RI
m
sin(t+) i prądem i(t)=I
m
sin(t+)
jest równy 0, więc Q
R
=0
Chwilowa moc tracona w indukcyjności jest
p
L
(t)=u
L
(t)i(t)
ponieważ u
L
(t)=LI
m
cos(t+) więc moc chwilowa jest
p
L
(t)=LI
m
cos(t+)I
m
sin (t+)
czyli
2
t
2
sin
2
LI
t
p
2
m
L
Moc średnia jest: P
L
=0
Moc czynna pobierana przez indukcyjność jest równa
zeru.
Ponieważ spadek napięcia na indukcyjności:
u
L
(t)=LI
m
cos(t+)=LI
m
sin(t++π/2),
a prąd i(t)=I
m
sin(t+), a więc kąt przesunięcia
między prądem a spadkiem napięcia na indukcyjności
wynosi /2, a więc moc bierna pobierana przez
indukcyjność jest Q
L
=LI
2
e(t)=E
m
sin(t)
u
R
(t)
R
C
u
C
(t)
i(t)=I
m
sin(t+)
Obwód RC
t
e
t
u
t
u
t
cos
I
C
1
t
u
dt
t
sin
I
C
1
t
u
t
sin
RI
t
u
C
R
m
C
m
C
m
R
t
sin
E
t
cos
C
I
t
sin
RI
m
m
m
Impedancja:
2
2
C
1
R
Z
Oznaczamy:
CZ
1
sin
Z
R
cos
lub
CR
1
tg
i otrzymujemy:
t
sin
E
t
sin
ZI
m
m
Warunkiem spełnienia równania dla dowolnej
chwili czasowej jest:
Z
E
I
m
m
Przebieg prądu i spadków napięć przedstawiono
na wykresach:
RC=0.1
0 0.012
0.024
0.036
0.048
0.06
10
5
0
5
10
e t
( )
i t
( )
uRt
( )
uC t
( )
t
RC=0.577
0 0.012
0.024
0.036
0.048
0.06
10
5
0
5
10
e t
( )
i t
( )
uRt
( )
uC t
( )
t
RC=10
0 0.012
0.024
0.036
0.048
0.06
10
5
0
5
10
e t
( )
i t
( )
uRt
( )
uC t
( )
t
Moce chwilowe:
t
i
t
u
t
p
t
i
t
u
t
p
t
i
t
e
t
p
C
C
R
R
Moc czynna = moc średnia
cos
I
E
2
1
dt
t
i
t
e
T
1
P
m
m
T
0
Moc czynna tracona w rezystancji:
2
m
R
T
0
R
R
RI
2
1
P
dt
t
i
t
u
T
1
P
Moc czynna tracona w pojemności:
0
P
dt
t
i
t
u
T
1
P
C
T
0
C
C
0
0.0150.030.0450.06
30
15
0
15
30
p t
( )
P
pR t
( )
PR
pC t
( )
PC
pR t
( ) pC t
( )
t
Obwód szeregowy RLC
R
L
e(t)=E
m
sin(t)
i(t)
u
R
(t)
u
L
(t)
C
u
c
(t)
i(t)=I
m
sin(t+)
u
R
(t)=Ri(t)
u
R
(t)=RI
m
sin(t+)
t
cos
C
I
t
u
dt
t
i
C
1
t
u
t
cos
LI
t
u
dt
di
L
t
u
m
C
C
m
L
L
t
e
t
u
t
u
t
u
C
L
R
Podstawiając mamy:
t
sin
E
t
cos
C
1
L
t
sin
R
I
m
m
Oznaczając:
2
2
C
1
L
R
Z
impedancja obwodu.
L
C
1
Z
1
sin
Z
R
cos
mamy:
t
sin
E
t
sin
Z
I
t
sin
E
t
cos
sin
t
sin
cos
Z
I
m
m
m
m
ostatnie równanie będzie spełnione dla dowolnej
chwili czasowej t, jeżeli:
Z
E
I
m
m
czyli
R
L
C
1
arctg
Pulsację
0
, dla której
0
L
C
1
0
0
nazywamy pulsacją rezonansową szeregowego
obwodu RLC
Pulsację rezonansową określa zależność:
LC
1
0
Częstotliwość rezonansowa f
0
obliczamy z zależności:
LC
2
1
2
f
0
0
Korzystając z pulsacji rezonansowej przekształcamy
wyrażenie dla impedancji:
2
2
2
2
2
LC
1
L
R
L
C
1
R
Z
ponieważ
LC
1
0
więc
2
0
0
2
0
2
2
2
0
2
2
L
R
L
R
Z
Wielkość:
R
L
Q
0
nazywamy dobrocią szeregowego obwodu rezonansowego
i podstawiając mamy:
2
0
0
2
Q
1
R
Z
Uwzględniając wprowadzone oznaczenia dla fazy mamy:
0
0
Q
arctg
R
L
C
1
arctg
Amplituda prądu:
2
0
0
2
m
m
Q
1
R
E
I
Amplituda spadku napięcia na rezystancji R jest:
2
0
0
2
m
R
Q
1
E
U
Amplituda spadku napięcia na indukcyjności jest:
2
0
0
2
m
0
m
0
0
m
L
Q
1
QE
LI
LI
U
Amplituda spadku napięcia na pojemności jest:
C
I
C
I
U
0
m
0
m
C
ale z definicji:
L
C
1
0
0
i mamy:
2
0
0
2
m
0
C
Q
1
QE
U
Charakterystyki częstotliwościowe obwodu
Dla otrzymania wyników ogólnych przedstawimy
amplitudę prądu I=I
m
/I
0
, gdzie I
0
=E
m
/R oraz =/
0
0
2
4
6
8 10
0
0.25
0.5
0.75
1
I 1
I 10
I 100
2
2
1
Q
1
1
I
I(,Q=1)
I(,Q=10)
I(,Q=100)
/
0
=1
Spadek napięcia na indukcyjności w postaci
bezwymiarowej będzie:
2
2
m
L
0
L
1
Q
1
Q
E
U
U
i podobnie spadek napięcia na pojemności w postaci
bezwymiarowej jest:
2
0
0
2
m
C
0
C
Q
1
Q
E
U
U
0 2 4 6 8 10
0
0.38
0.75
1.13
1.5
UL 1
UC 1
Q=1
U
L0
()
U
C0
()
=
0
0 1 2 3 4 5
0
2.5
5
7.5
10
UL 10
UC 10
Q=10
U
L0
()
U
C0
()
=
0
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
0
25
50
75
100
UL 100
UC 100
Q=100
U
L0
()
U
C0
()
=
0
Pasmo 3dB
Jest to szerokość pasma pulsacji bądź częstotliwości
po przekroczeniu, którego amplituda sygnału spada
o 3dB bo .
Szerokość pasma określa zależność dla napięcia
na pojemności:
1
0
C
gór
1
0
C
dol
2
Q
U
2
Q
U
i ponieważ =/
0
, to
gór
0
dol
0
gór
0
dol
0
f
f
f
01
.
3
2
1
log
20
f
dol
Q
f
gór
f
0.882611
f
0
5
1.086737
f
0
0.20413f
0
0.945978
f
0
10
1.046482
f
0
0.10052f
0
0.994962
f
0
100
1.004963
f
0
0.01f
0
0.9995f
0
1000
1.0005f
0
0.001f
0
Mamy dla szerokości pasma 3dB zależność:
Q
f
f
0
Równoległy obwód rezonansowy
e(t)=E
m
sin(t)
u
R
(t)
u
L
(t)
C
u
c
(t)
i(t)=I
m
sin(ωt+φ)
i
C
(t)
i
LR
(t)
e(t)-u
C
(t)=0 → u
C
(t)=e(t)=E
m
sin(ωt)
2
t
sin
CE
t
i
t
cos
CE
t
i
dt
du
C
t
i
m
C
m
C
C
C
t
sin
E
t
cos
LI
t
sin
RI
t
e
dt
di
L
t
Ri
m
mL
mL
LR
LR
e(t)=E
m
sin(t)
u
R
(t)
u
L
(t)
C
u
c
(t)
i(t)=I
m
sin(ωt+φ)
i
C
(t)
i
LR
(t)
u
R
(t)+u
L
(t)=e(t)
Przyjmując: i
LR
(t)=I
mL
sin(ωt+)
mamy:
Przyjmując podobnie jak w obwodzie RL:
R
L
tg
lub
Z
L
sin
Z
R
cos
gdzie
2
2
L
R
Z
mamy:
t
sin
E
t
sin
Z
I
m
mL
Warunkiem spełnienia równości jest:
Z
E
I
i
m
mL
a więc prądy są:
2
t
sin
CE
t
i
m
C
t
sin
Z
E
t
i
2
t
sin
CE
t
i
m
LR
m
C
Prąd źródła i(t) jest: i(t)=i
LR
(t)+i
C
(t)
czyli:
t
sin
Z
E
2
t
sin
CE
t
sin
I
m
m
m
t
sin
Z
cos
t
cos
Z
sin
C
E
t
cos
Z
sin
t
sin
Z
cos
t
cos
C
E
t
sin
I
m
m
m
Przekształcamy tak aby otrzymać wyrażenie jak po
stronie lewej:
Przyjmując:
2
2
0
Z
cos
Z
sin
C
Y
Y
0
– nazywamy modułem admitancji.
Podnosząc do kwadratu i biorąc pod uwagę, że
1
sin
cos
2
2
mamy:
2
2
0
Z
1
Z
sin
C
2
C
Y
0
m
m
Y
E
I
cos
Z
sin
C
tg
czyli
t
sin
I
t
i
m
Ponieważ
Z
L
sin
Z
R
cos
więc
cos
Z
L
CZ
cos
Z
L
C
tg
2
2
2
Jeżeli to φ=0 i wtedy mamy:
e(t)=E
m
sin(ωt) oraz i(t)= EmY
0
sin(ωt)
oznacza to, że prąd i napięcie są w fazie.
Zjawisko takie nazywamy rezonansem.
,
0
L
CZ
2
Zbadajmy kiedy:
0
L
L
R
C
2
2
Pulsacja ω=0 jest nie interesująca, więc dzieląc przez ωC
mamy
2
2
R
C
L
L
Wprowadzając:
C
L
R
kr
- oporność krytyczna
mamy:
2
kr
2
kr
2
R
R
1
R
L
Powyższe równanie jest spełnione dla rzeczywistych
wartości pulsacji ω, jeżeli: lub R<R
kr.
1
R
R
kr
Tak więc warunkiem aby w obwodzie równoległym
był możliwy rezonans jest:
kr
R
R
Jeżeli powyższy warunek jest spełniony, to pulsacja
rezonansowa ω
r
jest:
gdzie
2
kr
0
r
R
R
1
LC
1
0
Częstotliwość rezonansowa f
r
=ω
r
/(2π) jest:
2
kr
0
r
R
R
1
f
f
Ze względu na fakt, że obwód składa się z dwóch
równoległych gałęzi rezonans nazywa się skrótowo
rezonansem równoległym
0 0.012
0.024
0.036
0.048
0.06
4
2.4
0.8
0.8
2.4
4
iC t 314
(
)
iLR t 314
(
)
i t 314
(
)
e t 314
(
)
t
R>R
kr
i
C
(t)
i
LR
(t)
i(t)
e(t)
0 200400600800
1000
0
2
4
6
8
10
I0
Im
C
Em
R>R
kr
I
m0
(ω)
I
mLR
(ω)
I
mC
(ω)
0 0.012
0.024
0.036
0.048
0.06
4
2.4
0.8
0.8
2.4
4
iC t 314
(
)
iLR t 314
(
)
i t 314
(
)
e t 314
(
)
t
i
C
(t)
i
LR
(t)
i(t)
e(t)
R=R
kr
0 200400600800
1000
0
2
4
6
8
10
I0
Im
C
Em
I
m0
(ω)
I
mLR
(ω)
I
mC
(ω)
R=R
kr
ω
r
=0
0 0.012
0.024
0.036
0.048
0.06
4
2.4
0.8
0.8
2.4
4
iC t r
iLR t r
i t r
e t r
t
i
C
(t)
i
LR
(t)
i(t)
e(t)
R=0.1R
kr
ω=314.643s
-1
0 200400600800
1000
0
8
16
24
32
40
I0
Im
C
Em
I
m0
(ω)
I
mLR
(ω)
I
mC
(ω)
R=0.1R
kr
ω=314.643s
-1
0 0.012
0.024
0.036
0.048
0.06
4
2.4
0.8
0.8
2.4
4
iC t r
iLR t r
i t r
e t r
t
i
C
(t)
i
LR
(t)
i(t)
e(t)
R=0.001R
kr
Dobroć jest zdefiniowana:
R
L
Q
r
Podstawiając:
2
kr
0
r
R
R
1
mamy:
1
R
R
Q
2
kr
Jeżeli R
kr
>>1, to i ω
r
=ω
0
.
R
R
Q
kr