Obliczenia dla a=8, b=6

8Ω

A

W

V

E

m

=325V

f=50Hz

6mH

Obliczyć wskazania przyrządów przyjmując, że są to przyrządy
idealne.

I

Wartość skuteczna SEM:

230V

E

2

E

E

m







jest to jednocześnie wskazanie woltomierza V.

Wskazanie amperomierza:

 





A

28

006

.

0

314

8

230

I

L

R

E

I

2

2

2

2

















Wskazania watomierza:



 cos

EI

P

 

2

2

L

R

R

cos









ale

czyli

 

kW

27

,

6

W

6272

P

28

8

P

RI

L

R

EIR

P

2

2

2

2

















Przykład

L

1

=0.5mH

~ 230V, 50Hz

0.1Ω

500μF

2Ω

L

2

=20mH

1. Obliczamy reaktancje w obwodzie dla amplitud zespolonych

ω=2πf ω=314 s

-1



157

.

0

10

5

.

0

314

X

3

L

1













28

.

6

10

20

314

X

3

L

2













37

.

6

10

500

314

1

X

6

C











Obwód dla amplitud zespolonych

230V

0.1

j0.157

2

j6.28

-j6.37

lub

220V

0.1+j0.157

-j6.37

2+j6.28

I

I

C

I

L

I

I

C

I

L

Jeden węzeł

niezależny w-1=1,

a więc z I prawa

Kirchhoffa:

3 niewiadome

prądy

g=3

I

L

+I

C

=I

U

U

C

U

L

o=g-w+1=2

dwa równania

II prawo Kirchhoffa:

1

U

C

+U=E

oczko 1:

2

oczko 2: U

C

-U

L

=0

Związki między amplitudami zespolonymi prądów i spadków

napięć dostarczają następnych 3 równań:

U=(0.1+j0.157)I

U

C

=-j6.37I

C

U

L

=(2+j6.28)I

L

Podstawiając mamy:









L

C

C

L

C

I

28

.

6

j

2

I

37

.

6

j

230

I

37

.

6

j

I

157

.

0

j

1

.

0

I

I

I

















Z I równania podstawiamy:













L

C

L

C

I

28

.

6

j

2

I

37

.

6

j

230

I

157

.

0

j

1

.

0

I

37

.

6

j

157

.

0

j

1

.

0

















mamy:













L

C

L

C

I

37

.

6

j

28

.

6

j

2

I

230

I

157

.

0

j

1

.

0

I

21

.

6

j

1

.

0















Operację mnożenia i dzielenia liczb zespolonych najwygodniej

wykonać przechodząc do postaci wykładniczej

-j6.37=6.37e

j270

33

.

72

j

2

2

e

59

.

6

2

28

.

6

jarctg

exp

28

.

6

2

28

.

6

j

2





























L

67

.

197

j

C

I

e

03

.

1

I





lub jeżeli chcemy ściśle stosować regułę 0≤φ<360, to 360-197.67
i mamy

L

33

.

162

j

C

I

e

03

.

1

I 

Przechodząc do postaci wykładniczej: 0.1-j6.21=6.21e

j270.92

i podstawiając

mamy:

redukując kąt 433,55

0

do zakresu 0≤φ<360

0

mamy:





230

I

157

.

0

j

1

.

0

I

e

4

.

6

L

L

25

.

73

j







Sumując mamy:





230

I

157

.

0

j

1

.

0

I

e

4

.

6

L

L

25

.

433

j











230

I

157

.

0

j

1

.

0

e

4

.

6

L

25

.

73

j







Dla wykonania dodawania lub odejmowania liczb zespolonych

muszą one być w postaci algebraicznej

czyli:





13

.

6

j

84

.

1

25

.

73

sin

j

25

.

73

cos

4

.

6

e

4

.

6

25

.

73

j









i otrzymujemy:





230

I

29

.

6

j

94

.

1

L





L

33

.

162

j

C

I

e

03

.

1

I 

i ostatecznie:

86

.

72

j

L

86

.

72

j

L

e

95

.

34

I

e

58

.

6

230

I









220V

A

A

C

A

L

Amperomierz A

L.

wskaże 35 A

53

.

270

j

C

L

67

.

197

j

C

e

36

I

I

e

03

.

1

I











Amperomierz A

C.

wskaże 36 A

78

.

13

j

86

.

72

j

53

.

270

j

L

C

e

9

.

10

I

6

.

2

j

6

.

10

4

.

33

j

3

.

10

36

j

333

.

0

e

95

.

34

e

36

I

I

I





























Amperomierz A

wskaże 10.9 A

220V

V

V

C

U

A

B

U

AB





28

.

75

j

78

.

13

j

5

.

57

j

e

03

.

2

U

e

9

.

10

e

186

.

0

I

157

.

0

j

1

.

0

U











Voltomierz V wskaże: 2.03 V





53

.

0

j

53

.

360

j

AB

53

.

270

j

90

j

L

C

AB

e

3

.

229

e

3

.

229

U

e

36

e

37

.

6

I

28

.

6

j

2

I

37

.

6

j

U

























Voltomierz V

C

wskaże: 229.3 V

Moc w metodzie amplitud zespolonych obliczamy z zależności:



 I

U

S

gdzie I

*

- sprzężona amplituda zespolona prądu,

U – amplituda zespolona spadku napięcia,

S = P+jQ – zespolona mocy pozorna,

P – moc czynna,

Q – moc bierna.

Zespolona moc pozorna dostarczana przez źródło:

78

.

13

j

dost

78

.

13

j

dost

e

2507

S

e

9

.

10

230

I

E

S















Moc pozorna S

dost

=2.5kVA, moc czynna P

dost

=2.43kW

i moc bierna Q

dost

=-0.597kVAr

I

I

C

I

L

U

U

AB

S

S

C

S

L

7636

j

2433

e

8014

e

95

.

34

e

3

.

229

I

U

S

8255

j

e

8255

e

36

e

3

.

229

I

U

S

4

.

19

j

5

.

10

e

1

.

22

e

9

.

10

e

03

.

2

I

U

S

33

.

72

j

86

.

72

j

53

.

0

j

L

AB

L

270

j

53

.

270

j

53

.

0

j

C

AB

C

5

.

61

j

78

.

13

j

28

.

75

j

















































Moc czynna pobrana przez obwód P

pob

=10.5+2433=2.44kW

Moc bierna pobrana przez obwód Q

pob

=19.4-8255+7636=-0.6kVAr

Moc pozorna pobrana przez obwód

kVA

5

.

2

Q

P

S

2
pob

2

pob

pob







Moc pozorna S

dost

=2.5kVA, moc czynna P

dost

=2.43kW

i moc bierna Q

dost

=-0.597kVAr

230V

0.1

j0.157

2

j6.28

-j6.37

I

I

C

I

L

Przedstawienie graficzne na płaszczyźnie zmiennej zespolonej

Kreślenie rozpoczynamy zakładając, że prąd I

L

jest dany

A

B

U

AB

U

Re

Im

I

L

2I

L

j6.28I

L

U

AB

B

A

I

C

=jU

AB

/6.37

I

0.1I

j0.157I

U

E

Szeregowe połączenie impedancji

I

B

A

Z

1

Z

2

Z

3

Z

4

Impedancja zastępcza Z

AB

:

4

3

2

1

AB

Z

Z

Z

Z

Z









Ogólnie dla K szeregowo połączonych impedancji mamy:









K

i

1

i

i

zast

Z

Z

Obliczanie impedancji zastępczej dla połączenia szeregowego

obliczamy mając wszystkie impedancje w postaci algebraicznej

Z

i

= R

i

+jX

i

U

AB

Równoległe połączenie impedancji

Z

1

Z

2

Z

3

Z

4

Z

5

A

B

U

AB

I

Zastępcza impedancja Z

AB

jest:

5

4

3

2

1

AB

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1











Ogólnie jeżeli mamy K impedancji połączonych równolegle, to:









K

i

1

i

i

zast

Z

1

Z

1

W przypadku równoległego połączenia impedancji wygodnym
jest wprowadzenie admitancji Y, którą definiujemy:

Z

1

Y 

Znając impedancję w postaci algebraicznej Z=R+jX można
obliczyć admitancję Y=G+jB bez zamiany na postać wykładniczą

korzystając z zależności:

2

2

2

X

R

jX

R

Z

Z

Z

1

Y













Część rzeczywistą admitancji G nazywamy przewodnością

2

2

X

R

R

G





a część urojoną B nazywamy susceptancją:

2

2

X

R

X

B







Dla obliczenia zastępczej admitancji w połączeniu równoległym

K admitancji mamy zależność:









K

i

1

i

i

zast

Y

Y

a impedancję zastępczą obliczamy z zależności:

2

2

2

zast

zast

zast

zast

B

G

jB

G

Y

Y

Y

1

Z













Zastosowanie metody upraszczania sieci do obliczania

obwodu prądu zmiennego

Dany jest obwód:

E

Z

1

Z

2

Z

3

Z

4

Z

5

Z

6

E=230V

Z

1

=0.1+j0.2

Z

2

=10-j30

Z

3

=5+j10

Z

4

=12-j15

Z

5

=10-j10

Z

6

=20+j10

a

b

c

d

E

Z

1

Z

2

Z

3

Z

4

Z

bc

a

b

c

d

Dla obliczenia impedancji Z

bc

zastępującej równolegle połączone

impedancje Z

5

i Z

6

obliczamy:

03

.

0

j

09

.

0

02

.

0

j

04

.

0

05

.

0

j

05

.

0

Y

02

.

0

j

04

.

0

100

400

10

j

20

10

j

20

1

Z

1

Y

05

.

0

j

05

.

0

100

100

10

j

10

10

j

10

1

Z

1

Y

bc

6

6

5

5













































E

Z

1

Z

2

Z

3

Z

4

Z

bc

a

b

c

d





33

.

3

j

10

10

9

81

03

.

0

j

09

.

0

03

.

0

j

09

.

0

1

Y

1

Z

4

bc

bc





















Szeregowe połączenie impedancji , i

Z

3

Z

4

Z

bc

zastępujemy impedancją :

Z

ad

33

.

8

j

27

Z

15

j

12

33

.

3

j

10

10

j

5

Z

Z

Z

Z

Z

ad

ad

4

bc

3

ad























E

Z

1

Z

2

Z

ad

a

d

otrzymujemy obwód:

Obliczamy zastępczą impedancję Z

0

dla równoległego połączenia

Z

2

i Z

ad

i mamy:

0404

.

0

j

0438

.

0

Y

Y

Y

0104

.

0

j

0338

.

0

4

.

69

729

33

.

8

j

27

33

.

8

j

27

1

Z

1

Y

03

.

0

j

01

.

0

900

100

30

j

10

30

j

10

1

Z

1

Y

ad

2

0

ad

ad

2

2













































38

.

11

j

34

.

12

Z

10

32

.

16

18

.

19

0404

.

0

j

0438

.

0

0404

.

0

j

0438

.

0

1

Y

1

Z

0

4

0

0





















i obwód jest

E

Z

0

a

d

Z

1

Zastępcza impedancja obwodu Z

c

jest:

18

.

11

j

44

.

12

Z

38

.

11

j

34

.

12

2

.

0

j

1

.

0

Z

Z

Z

c

0

1

c

















230

Z

c

gdzie Z

c

=16.73e

j318.05

I

a prąd I jest:

05

.

318

j

05

.

318

j

e

75

.

13

e

73

.

16

230

I







Moc pozorna dostarczana do obwodu jest:

S=EI

*

=230·13.75e

j318.05

=3162.5e

j318.05

=2352-j2094

S

ź

=3.16kVA, P

ź

=2.35kW, Q

ź

=-2.09kVAr

Dla obliczenia prądów w poszczególnych gałęziach wykonujemy
obliczenia wracając przez kolejne etapy:

E

Z

0

a

d

Z

1

I

U

da

=Z

0

I=16.79e

j317.32

·13.75e

-j318.05

U

da

=230.9e

-j0.73

Z

0

=12.34-j11.38=16.79e

j317.32

E

Z

1

Z

2

Z

ad

a

d

I

U

da

I

2

I

ad

Z

2

=10-j30=31.62e

j288.43

Z

ad

=27-j8.33=28.26e

j342.85

16

.

289

j

43

.

288

j

73

.

0

j

2

da

2

e

3

.

7

e

62

.

31

e

9

.

230

Z

U

I











85

.

343

j

85

.

342

j

73

.

0

j

ad

da

ad

e

17

.

8

e

26

.

28

e

9

.

230

Z

U

I











E

Z

1

Z

2

Z

3

Z

bc

a

b

c

d

Z

4

I

I

2

I

3

=I

ad

I

4

=I

ad

U

cb

=Z

bc

I

ad

Z

bc

=10-j3.33=10.26e

j341.58

U

cb

=10.26e

j341.58

·8.17e

-j343.85

U

cb

=83.82e

-j2.27

I

3

=I

4

=8.17e

-j343.85

E

Z

1

Z

2

Z

3

Z

4

Z

5

Z

6

a

b

c

d

I

I

2

I

3

I

4

I

5

I

6

U

cb

Z

5

=10-j10=14.14e

j315

Z

6

=20+j10=22.36e

j26.57

27

.

317

j

5

315

j

27

.

2

j

5

cb

5

e

93

.

5

I

e

14

.

14

e

82

.

83

Z

U

I











84

.

28

j

5

57

.

26

j

27

.

2

j

6

cb

6

e

75

.

3

I

e

36

.

22

e

82

.

83

Z

U

I











Moce pobierane przez odbiorniki

E

Z

1

Z

2

Z

3

Z

4

Z

5

Z

6

a

b

c

d

I

I

2

I

3

I

4

I

5

I

6

U

cb

U

1

U

2

U

3

U

4

S

1

=U

1

I

*

=I·Z

1

·I

*

=Z

1

I

2

=(0.1+j0.2)·(13.75)

2

=18.9+j37.8



 

























141

j

281

75

.

3

10

j

20

I

Z

I

I

Z

I

U

S

352

j

352

93

.

5

10

j

10

I

Z

I

I

Z

I

U

S

1001

j

801

17

.

8

15

j

12

I

Z

I

I

Z

I

U

S

5

.

667

j

7

.

333

17

.

8

10

j

5

I

Z

I

I

Z

I

U

S

1599

j

9

.

532

3

.

7

30

j

10

I

Z

I

I

Z

I

U

S

2

2

6

6

6

6

6

6

6

6

2

2

5

5

5

5

5

5

5

5

2

2

4

4

4

4

4

4

4

4

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



























































































Całkowita moc pobrana:

S

pob

=2320-j2105

S

pob

=3.13kVA, P

pob

=2.32kW, Q

pob

=-2.1kVAr

Moc dostarczona:

S

ź

=3.16kVA, P

ź

=2.35kW, Q

ź

=-2.09kVAr

Zadanie

Odbiornik o danych znamionowych: U

n

=230V, S

n

=1.5kVA, cosφ

n

=0.3

podłączono przewodem o długości 500m do sieci o napięciu 240V.

Rezystancja jednostkowa zastosowanego przewodu wynosi

9Ω/km, a indukcyjność jednostkowa 0.25mH/km.

Wyznaczyć napięcie na odbiorniku i moc pobieraną.

Przyjmujemy schemat zastępczy odbiornika w postaci:

R

odb

L

odb

I

n

Znając moc i napięcie znamionowe odbiornika wyznaczamy

prąd znamionowy z zależności:

U

n

n

n

n

U

S

I 

A

52

.

6

I

230

1500

I

n

n







Znając prąd i napięcie znamionowe wyznaczamy moduł

impedancji odbiornika Z

odb

:

n

n

odb

I

U

Z 



3

.

35

Z

52

.

6

230

Z

odb

odb







Z

odb

=R

odb

+jX

odb

co możemy przedstawić na płaszczyźnie zmiennej zespolonej:

Re

Im

R

odb

=Z

odb

cosφ

n

X

odb

=Z

odb

sinφ

n

Z

od

b

φ

n

R

odb

=35.3·0.3=10.6Ω,



7

.

33

3

.

0

1

3

.

35

X

2

odb









Obliczamy rezystancję i reaktancję przewodu zasilającego:

R

p

=0.5·9=4.5Ω, X

p

=314(0.5·0.25·10

-3

)=0.0393Ω

Mamy schemat zastępczy naszego układu:

U

zas

Z

p

=R

p

+jX

p

Z

odb

=R

odb

+jX

odb

I

89

.

65

j

89

.

65

j

odb

p

zas

e

49

.

6

I

e

96

.

36

240

74

.

33

j

1

.

15

240

7

.

33

j

6

.

10

04

.

0

j

5

.

4

240

I

Z

Z

U

I























U

odb

U

odb

=Z

odb

·I

Amplituda zespolona napięcia na odbiorniku jest:

U

odb

=(10.6+j33.7)·6.49e

-j65.89

=35.3·6.49e

j(72.54-65.89)

U

odb

=229e

j6.65

Napięcie na odbiorniku wynosi 229V

Moc pobierana przez odbiornik jest:

S

odb

=U

odb

I

*

=229·6.49e

j(6.65+65.89)

S

odb

=1486e

j72.54

Moc pozorna S

odb

=1.49kVA, moc czynna P

odb

=447W,

moc bierna Q

odb

=1.42kVAr

Zastosowanie metody upraszczania sieci do obliczania

obwodu prądu zmiennego

Dany jest obwód:

E

Z

1

Z

2

Z

3

Z

4

Z

5

Z

6

E=230V

Z

1

=0.1+j0.2

Z

2

=10-j30

Z

3

=5+j10

Z

4

=12-j15

Z

5

=10-j10

Z

6

=20+j10

a

b

c

d

E

Z

1

Z

2

Z

3

Z

4

Z

bc

a

b

c

d

Dla obliczenia impedancji Z

bc

zastępującej równolegle połączone

impedancje Z

5

i Z

6

obliczamy:

03

.

0

j

09

.

0

02

.

0

j

04

.

0

05

.

0

j

05

.

0

Y

02

.

0

j

04

.

0

100

400

10

j

20

10

j

20

1

Z

1

Y

05

.

0

j

05

.

0

100

100

10

j

10

10

j

10

1

Z

1

Y

bc

6

6

5

5













































E

Z

1

Z

2

Z

3

Z

4

Z

bc

a

b

c

d





33

.

3

j

10

10

9

81

03

.

0

j

09

.

0

03

.

0

j

09

.

0

1

Y

1

Z

4

bc

bc





















Szeregowe połączenie impedancji , i

Z

3

Z

4

Z

bc

zastępujemy impedancją :

Z

ad

33

.

8

j

27

Z

15

j

12

33

.

3

j

10

10

j

5

Z

Z

Z

Z

Z

ad

ad

4

bc

3

ad























E

Z

1

Z

2

Z

ad

a

d

otrzymujemy obwód:

Obliczamy zastępczą impedancję Z

0

dla równoległego połączenia

Z

2

i Z

ad

i mamy:

0404

.

0

j

0438

.

0

Y

Y

Y

0104

.

0

j

0338

.

0

4

.

69

729

33

.

8

j

27

33

.

8

j

27

1

Z

1

Y

03

.

0

j

01

.

0

900

100

30

j

10

30

j

10

1

Z

1

Y

ad

2

0

ad

ad

2

2













































38

.

11

j

34

.

12

Z

10

32

.

16

18

.

19

0404

.

0

j

0438

.

0

0404

.

0

j

0438

.

0

1

Y

1

Z

0

4

0

0





















i obwód jest

E

Z

0

a

d

Z

1

Zastępcza impedancja obwodu Z

c

jest:

18

.

11

j

44

.

12

Z

38

.

11

j

34

.

12

2

.

0

j

1

.

0

Z

Z

Z

c

0

1

c

















230

Z

c

gdzie Z

c

=16.73e

j318.05

I

a prąd I jest:

05

.

318

j

05

.

318

j

e

75

.

13

e

73

.

16

230

I







Moc pozorna dostarczana do obwodu jest:

S=EI

*

=230·13.75e

j318.05

=3162.5e

j318.05

=2352-j2094

S

ź

=3.16kVA, P

ź

=2.35kW, Q

ź

=-2.09kVAr

Dla obliczenia prądów w poszczególnych gałęziach wykonujemy
obliczenia wracając przez kolejne etapy:

E

Z

0

a

d

Z

1

I

U

da

=Z

0

I=16.79e

j317.32

·13.75e

-j318.05

U

da

=230.9e

-j0.73

Z

0

=12.34-j11.38=16.79e

j317.32

E

Z

1

Z

2

Z

ad

a

d

I

U

da

I

2

I

ad

Z

2

=10-j30=31.62e

j288.43

Z

ad

=27-j8.33=28.26e

j342.85

16

.

289

j

43

.

288

j

73

.

0

j

2

da

2

e

3

.

7

e

62

.

31

e

9

.

230

Z

U

I











85

.

343

j

85

.

342

j

73

.

0

j

ad

da

ad

e

17

.

8

e

26

.

28

e

9

.

230

Z

U

I











E

Z

1

Z

2

Z

3

Z

bc

a

b

c

d

Z

4

I

I

2

I

3

=I

ad

I

4

=I

ad

U

cb

=Z

bc

I

ad

Z

bc

=10-j3.33=10.26e

j341.58

U

cb

=10.26e

j341.58

·8.17e

-j343.85

U

cb

=83.82e

-j2.27

I

3

=I

4

=8.17e

-j343.85

E

Z

1

Z

2

Z

3

Z

4

Z

5

Z

6

a

b

c

d

I

I

2

I

3

I

4

I

5

I

6

U

cb

Z

5

=10-j10=14.14e

j315

Z

6

=20+j10=22.36e

j26.57

27

.

317

j

5

315

j

27

.

2

j

5

cb

5

e

93

.

5

I

e

14

.

14

e

82

.

83

Z

U

I











84

.

28

j

5

57

.

26

j

27

.

2

j

6

cb

6

e

75

.

3

I

e

36

.

22

e

82

.

83

Z

U

I











Moce pobierane przez odbiorniki

E

Z

1

Z

2

Z

3

Z

4

Z

5

Z

6

a

b

c

d

I

I

2

I

3

I

4

I

5

I

6

U

cb

U

1

U

2

U

3

U

4

S

1

=U

1

I

*

=I·Z

1

·I

*

=Z

1

I

2

=(0.1+j0.2)·(13.75)

2

=18.9+j37.8



 

























141

j

281

75

.

3

10

j

20

I

Z

I

I

Z

I

U

S

352

j

352

93

.

5

10

j

10

I

Z

I

I

Z

I

U

S

1001

j

801

17

.

8

15

j

12

I

Z

I

I

Z

I

U

S

5

.

667

j

7

.

333

17

.

8

10

j

5

I

Z

I

I

Z

I

U

S

1599

j

9

.

532

3

.

7

30

j

10

I

Z

I

I

Z

I

U

S

2

2

6

6

6

6

6

6

6

6

2

2

5

5

5

5

5

5

5

5

2

2

4

4

4

4

4

4

4

4

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



























































































Całkowita moc pobrana:

S

pob

=2320-j2105

S

pob

=3.13kVA, P

pob

=2.32kW, Q

pob

=-2.1kVAr

Moc dostarczona:

S

ź

=3.16kVA, P

ź

=2.35kW, Q

ź

=-2.09kVAr

Zadanie

Odbiornik o danych znamionowych: U

n

=230V, S

n

=1.5kVA, cosφ

n

=0.3

podłączono przewodem o długości 500m do sieci o napięciu 240V.

Rezystancja jednostkowa zastosowanego przewodu wynosi

9Ω/km, a indukcyjność jednostkowa 0.25mH/km.

Wyznaczyć napięcie na odbiorniku i moc pobieraną.

Przyjmujemy schemat zastępczy odbiornika w postaci:

R

odb

L

odb

I

n

Znając moc i napięcie znamionowe odbiornika wyznaczamy

prąd znamionowy z zależności:

U

n

n

n

n

U

S

I 

A

52

.

6

I

230

1500

I

n

n







Znając prąd i napięcie znamionowe wyznaczamy moduł

impedancji odbiornika Z

odb

:

n

n

odb

I

U

Z 



3

.

35

Z

52

.

6

230

Z

odb

odb







Z

odb

=R

odb

+jX

odb

co możemy przedstawić na płaszczyźnie zmiennej zespolonej:

Re

Im

R

odb

=Z

odb

cosφ

n

X

odb

=Z

odb

sinφ

n

Z

od

b

φ

n

R

odb

=35.3·0.3=10.6Ω,



7

.

33

3

.

0

1

3

.

35

X

2

odb









Obliczamy rezystancję i reaktancję przewodu zasilającego:

R

p

=0.5·9=4.5Ω, X

p

=314(0.5·0.25·10

-3

)=0.0393Ω

Mamy schemat zastępczy naszego układu:

U

zas

Z

p

=R

p

+jX

p

Z

odb

=R

odb

+jX

odb

I

89

.

65

j

89

.

65

j

odb

p

zas

e

49

.

6

I

e

96

.

36

240

74

.

33

j

1

.

15

240

7

.

33

j

6

.

10

04

.

0

j

5

.

4

240

I

Z

Z

U

I























U

odb

U

odb

=Z

odb

·I

Amplituda zespolona napięcia na odbiorniku jest:

U

odb

=(10.6+j33.7)·6.49e

-j65.89

=35.3·6.49e

j(72.54-65.89)

U

odb

=229e

j6.65

Napięcie na odbiorniku wynosi 229V

Moc pobierana przez odbiornik jest:

S

odb

=U

odb

I

*

=229·6.49e

j(6.65+65.89)

S

odb

=1486e

j72.54

Moc pozorna S

odb

=1.49kVA, moc czynna P

odb

=447W,

moc bierna Q

odb

=1.42kVAr

Prąd trójfazowy

Zasada wytwarzania

Przebieg SEM generatora w czasie:

 

 

 





 





o

m

T

o

m

S

m

R

240

t

sin

E

t

e

120

t

sin

E

t

e

t

sin

E

t

e

















Jest to układ trójfazowy symetryczny

W każdej chwili zachodzi:
e

R

(t)+ e

S

(t)+ e

T

(t)=Esin(ωt)+Esin(ωt-120

o

)+Esin(ωt-240

o

)=

= Esin(ωt)+ Esin(ωt)cos(120

o

)- Ecos(ωt)sin(120

o

)+

+Esin(ωt)cos(240

o

)-Ecos(ωt)sin(240

o

)

sin(30

0

)=0.5, cos(30

0

)=3

5

.

0

i mamy: e

R

(t)+ e

S

(t)+ e

T

(t)= Esin(ωt)-0.5 Esin(ωt)+

- Ecos(ωt)-0.5 Esin(ωt)+ Ecos(ωt)=0

3

5

.

0

3

5

.

0

czyli dla dowolnej chwili czasowej mamy:

e

R

(t)+ e

S

(t)+ e

T

(t)=0

Po obciążeniu każdej fazy impedancją odpowiednio:

R – Z

R

, S – Z

S

, T – Z

T

i jeżeli impedancje poszczególnych faz są jednakowe, czyli:

Z

R

=Z

S

=Z

T

=Z

to w poszczególnych fazach popłyną prądy o jednakowych

amplitudach I

m

opisane zależnością:

 





 





 

































o

m

T

o

m

S

m

R

240

t

sin

I

t

i

120

t

sin

I

t

i

t

sin

I

t

i

Jeżeli obciążenie we wszystkich fazach jest jednakowe, to mówimy

o obciążeniu symetrycznym.

Jeżeli napięcia zasilające są symetryczne i obciążenia są

symetryczne, to taki układ nazywamy układem trójfazowym

symetrycznym.

W układzie trójfazowym symetrycznym wystarczy wykonać
obliczenia dla jednej fazy R. Prądy i napięcia w pozostałych
dwóch fazach mają identyczne amplitudy i przesunięcia fazowe,
jak w fazie pierwszej, a jedynie należy je dodatkowo przesunąć
o 120

0

i 240

0

odpowiednio dla fazy S i T.

Układy trójfazowe skojarzone

U

R

U

S

U

T

U

R

, U

S

, U

T

– napięcia fazowe

U

RS

U

ST

U

TR

U

R

= U

S

= U

R

=U

f

Skojarzenie w gwiazdę

U

RS

, U

ST

, U

RT

– napięcia przewodowe lub międzyprzewodowe

W układzie symetrycznym: U

RS

=U

ST

=U

TR

=U lub U

p

U

S

+U

RS

-U

R

=0 czyli U

RS

=U

R

-U

S

i mamy z trójkąta:

f

f

f

p

U

3

U

3

5

.

0

U

3

5

.

0

U







Jeżeli U

f

=230V,

to U

p

=398V≈400V

Skojarzenie w trójkąt

U

RS

U

ST

U

TR

I

R

I

S

I

T

I

SR

I

TS

I

RT

I

R

+I

RT

-I

SR

=0

I

R

=I

SR

-I

RT

I

R

+I

RT

-I

SR

=0

I

R

=I

SR

-I

RT

30

0

I

R

I

SR

-I

RT

W układzie symetrycznym

amplitudy prądów przewodowych

są jednakowe I

R

=I

S

=I

T

=I

p

i amplitudy prądów fazowych

są jednakowe I

RT

=I

SR

=I

TS

=I

f

f

p

I

3

I 

Sposoby przyłączania odbiorników do 4-ro przewodowej sieci

trójfazowej

,więc moc wyrażona

za pomocą wielkości przewodowych jest

Moc w układach trójfazowych

Odbiornik połączony w gwiazdę: P=3U

f

I

f

cosφ

Biorąc pod uwagę, że I=I

f

,

f

U

3

U





cos

UI

3

P

Odbiornik połączony w trójkąt

P=3UI

f

cosφ

dla wielkości przewodowych:





cos

UI

3

P

Moc bierna:





sin

UI

3

Q

Moc pozorna:

UI

3

S

Transformator

Transformator jednofazowy - budowa

f

z

44

.

4

E

f

z

44

.

4

E

m

2

2

m

1

1









Przekładnia transformatora:

2

1

2

1

z

z

E

E







Napięcia na zaciskach transformatora:

U

1

– pierwotne,

U

2

– wtórne







2

1

2

1

z

z

U

U

Ponieważ sprawność transformatora jest bardzo duża 0.95 – 0.99
więc zachodzi U

1

I

1

=U

2

I

2

stąd przekładnia prądowa:







1

z

z

I

I

1

2

2

1

Autotransformator

Transformatory trójfazowe

•

Autotransformator YNa0d11.

•

Moc: 160 MVA

•

Napięcie GN 230 kV, DN 120 kV

•

Częstotliwość znamionowa 50 Hz

•

Prądy znamionowe GN 401,6 A, DN 769,8 A

•

Masa całkowita 150 ton, masa oleju 42 tony, masa części wyjmowanej 85 ton

a – liczba liter w imieniu, b – liczba liter w imieniu

Zadanie: Obliczyć rozpływ prądów w obwodzie i przeprowadzić
bilans mocy:

~

230V, 50Hz

a[Ω]

b[mH]

5b[Ω]

10a[mH]

 

mF

a

1