WYTRZYMAŁOŚĆ

MATERIAŁÓW

prowadzący

prof. dr hab. inż. Kazimierz WÓJS

Wykład 10

Opracował

Andrzej Sitka

ZGINANIE PROSTE

ZGINANIE PROSTE

WPROWADZENIE

Działanie odrzuconej w myśli części pręta
zastępujemy

siłą wypadkową W

i

parą sił o

momencie M

0

(rys.1a).

Wypadkową

W

rozkładamy

na

dwa

prostopadłe kierunki:

•

kierunek normalnej do przekroju (składowa

normalna N),

•

kierunek styczny (składowa styczna T),

rys.1b.

Dowolny przestrzenny układ sił można
zredukować do jednej siły wypadkowej i do
jednej pary sił

WPROWADZENIE

Wektor M

0

rozkładamy na dwie prostopadłe

składowe:
• składową M

g

styczną do przekroju

poprzecznego,
•

składową normalną M

s

do przekroju

poprzecznego.

Moment M

s

powoduje skręcanie pręta.

Moment M

g

powoduje zginanie pręta.

Rys. 1. Rozkład wektora głównego W na składową normalną N i

tnącą T oraz momentu głównego M

0

na moment gnący M

g

i

skręcający M

s

z

W

M

0

y

x

0

z

W

N

y

x

0

T

z

M

g

M

0

y

x

0

M

s

c
)

ROZKŁAD WEKTORA SIŁY I MOMENTU

a)

b)

•

Zginanie czyste

- jeżeli w danym przekroju

układ sił zewnętrznych sprowadza się do jednej
składowej M

g

(rys.2a).

•

Zginanie z udziałem sił poprzecznych

–

przy zginaniu czystym występuje równocześnie siła tnąca
T (rys.2b).

•

Zginanie proste (płaskie)

– występuje, gdy

siła tnąca (poprzeczna) T oraz para sił powodująca
zginanie

pręta

działają

w

jednej

płaszczyźnie

zawierającej

osie

główne

centralne

przekrojów

poprzecznych pręta (rys.2c).

RODZAJE ZGINANIA

z

M

g

=|M

y

|

T

y

x

0

c

z

M

g

y

x

0

a

M

z

M

y

b

z

M

g

y

x

0

M

z

M

y

T

T

y

T

z

Rys. 2. Typowe przypadki zginania: a) zginanie czyste, b)

zginanie z udziałem sił poprzecznych, c) zginanie proste

(płaskie)

RODZAJE ZGINANIE

Jeżeli siły czynne (obciążenia) działające na pręt zginany
leżą w jednej płaszczyźnie, to płaszczyznę tą nazywamy

płaszczyzną zginania

.

Zginanie

proste

•

Siłą normalną N

w danym przekroju

poprzecznym belki nazywamy rzut na kierunek
normalnej, wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych
działających na część belki odciętą tym przekrojem.

x

N

x

N

dx

normalna
zewnętrzn
a

x

N

x

N

dx

normalna
zewnętrzn
a

Rys. 3. Określenie znaków

sił normalnych N:

a)rozciągających (+), b)

ściskających (-)

Siła normalna N

będzie dodatnia, jeżeli ma zwrot

zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej danego
przekroju belki.

SIŁA NORMALNA

•

Siłą tnącą T

w danym przekroju poprzecznym

belki nazywamy rzut na płaszczyznę tego przekroju
wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających
na część belki odciętą tym przekrojem.

SIŁA TNĄCA

x

T

x

T

dx

x

T

x

T

dx

Rys. 4. Określenie znaków

sił tnących T

Siła tnąca T

będzie dodatnia, jeżeli ma wycięty w

myśli element belki siła ta będzie się starała obrócić
zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

•

Momentem gnącym M

g

w danym przekroju

belki nazywamy sumę momentów (względem środka
ciężkości tego przekroju) wszystkich sił zewnętrznych
działających na część belki odciętą tym przekrojem.

MOMENT GNĄCY

x

M

g

M

g

y

0

x

M

g

M

g

y

0

Rys. 5. Określenie znaków

momentów gnących M

g

Moment gnący M

g

będzie dodatni, jeżeli wycięty w

myśli element belki stara się wygiąć wypukłością do
dołu.

Zginanie czyste

można zaobserwować

w przypadku zginania belki pryzmatycznej

obciążonej jak na rys.6. Część CD tej belki jest

obciążona tylko momentem gnącym.

Belka poddana czystemu

zginaniu

Rys.6. Belka obciążona siłami poprzecznymi P w sposób

symetryczny

Belka poddana czystemu zginaniu

P

P

A

C

D

B

a

b

a

M

g

T=P

T=-P

T=0

M

g

=

P

a

Na

pryzmatycznym

pręcie

o

przekroju

prostokątnym na jego powierzchni bocznej narysujmy
siatkę utworzoną z linii równoległych do osi pręta
oraz linii obwodowych leżących w płaszczyznach
przekrojów poprzecznych pręta (rys.7a).

Rys. 7. Część CD belki z naniesioną

siatką: a) przed obciążeniem,

b),c) po obciążeniu

Belka poddana czystemu zginaniu

a’

d

c

b

a

b
’

c’

d’

z

y

x

M

g

M

g

z

D

C

a)

b

b

h

oś
obojętna

z

y

c)

b)

M

g

M

g

D

C

z

d

c

b

b’

c’

d’

a’ a

warstwa obojętna

Analiza części CD belki po odkształceniu pozwala na

sformułowanie następujących spostrzeżeń:

1. Krzywizna belki na odcinku CD jest stała i belka

wygina się w kształt koła.

2. W tych warunkach płaskie przekroje prostopadłe

do osi belki przed odkształceniem pozostają
płaskie i prostopadłe do do zakrzywionej po
odkształceniu

osi

belki

(

hipoteza

płaskich

przekrojów

).

Przekroje

te

ulegają

zatem

względnemu obrotowi.

3. Wskutek obrotu przekrojów wzdłużne elementy

belki (włókna) doznają odkształceń.

Obserwacje i hipotezy

4. Przyjmujemy założenie o braku nacisków włókien

na

siebie

(barak

naprężeń

w

kierunku

prostopadłym do osi belki), a więc jednoosiowy
stan naprężenia.

5. W takich warunkach włókna doznają tylko

rozciągania lub ściskania (część włókien ulega
wydłużeniu, a część skróceniu).

6. Między tymi włóknami musi być warstwa, która nie

ulega ani wydłużeniu, ani skróceniu –

warstwa

obojętna

– której wydłużenia są równe zeru.

Obserwacje i hipotezy

ANALIZA NAPRĘŻEŃ W PRĘCIE

ANALIZA NAPRĘŻEŃ W PRĘCIE

ZGINANYM

ZGINANYM

Warunki geometryczne

a’

d

c

b

a

b’

c’

d’

z

y

x

M

g

M

g

z

D

C

b

e’

e

f’

f

Przetnijmy płaszczyzną

a,b,c,d

i

a’,b’,c’,d’

pręt

przedstawiony na rys. i wyodrębnimy przekroje b-d
oraz b’-d’ o długości ds i rozpatrzymy jego zachowanie
się po obciążeniu.

Rys.8. Zmiany geometrii elementu

belki zginanej

Warunki geometryczne

a)

b)

d’

ds

b’

d

b

c’

c

d

ds’

z



+z

d’

d

0

b’

e’

e

e’

e

Warunki geometryczne

Odkształcenie włókna e-e’ o początkowej długości

ds, leżącego w odległości z od warstwy obojętnej można
wyznaczyć z zależności:

(1)









d

h

ds





'





d

ds

(2)

Wydłużenie właściwe w przyjętych wcześniej

warunkach jednoosiowego rozciągania wyraża się
wzorem:





















z

d

d

d

z

ds

ds

ds













'

(3)

Związki fizyczne

W

zakresie

stosowalności

prawa

Hooke’a

po

podstawieniu (3) :

(4)







z

E

E 



W przypadku włókna ściskanego odkształcenie  jest

ujemne i powyższy wzór np. dla włókna f-f’ przyjmie
postać:





z

E





(5)

Związki fizyczne

Z zależności (4) i (5) wynika, że naprężenia są

proporcjonalne do odległości od osi obojętnej i
jednakowe w całej szerokości belki.



Rys. 9. Rozkład naprężeń w pręcie

zginanym

Warunki równowagi

Przetnijmy w myśli część belki CD poddaną

czystemu zginaniu przekrojem poprzecznym i po
odrzuceniu np. lewej części pokażą się siły
wewnętrzne.

b)

M

g

M

g

D

C

z

d

c

b

b’

c’

d’

a’ a

warstwa obojętna

Warunki równowagi

Warunki równowagi elementu:



y

d
A

z

x

y

z

M

g

Rys. 10. Część belki w równowadze

0

)

(

)

(

)

(

















A

A

A

ix

dA

z

E

dA

z

E

dA

P







(6)

Warunki równowagi

Moduł Younga E i promień krzywizny  są różne od
zera, to:

(7)

0

)

(





A

dA

z

Mamy

jeszcze

trzy

warunki:



0

iy

P



0

iz

P



0

x

M

(8)

(9)

(10)

Warunki równowagi

Rozpatrzmy następujący warunek:

Z rys. 10 wynika, że:

(11)

0

)

(











A

g

y

dM

M

M

dA

z

dM





(12)

Z równań (11) i (12) otrzymamy związek między
M

g

i :













)

(

2

)

(

2

)

(

A

A

A

g

dA

z

E

dA

z

E

dA

z

M







(13)

Warunki równowagi

Uwzględniając,
że

gdzie:
I

y

– momentem bezwładności

(14)

(15)

lub

(16)

y

A

I

dA

z





)

(

2

równanie (13) można napisać w
postaci:



y

g

I

E

M 

y

g

I

E

M





1

El

y

–

sztywność

zginania

Warunki równowagi

Podstawiając zależność (16) do prawa Hooke’a,

dla włókna rozciąganego (4) otrzymamy zależność
naprężenia od obciążenia i geometrii przekroju
poprzecznego belki:

Ostatni warunek równowagi:

(17)

(18)

z

I

M

y

g





0

)

(

)

(

)

(

















A

A

A

z

dA

z

y

E

dA

y

z

E

dA

y

M







Warunki równowagi

Ponieważ moduł Younga E oraz promień krzywizny 
są różne od zera, to:

Jest to moment zboczenia (dewiacji) przekroju
poprzecznego względem osi y oraz z, (główne osie
bezwładności przekroju poprzecznego)

(19)

(20)

0

)

(





A

dA

z

y

0

)

(







A

yz

dA

z

y

D

Warunki równowagi

Po podzielmy momentu bezwładności I

y

przez

odległość od włókien skrajnych |z

max

|, otrzymamy

wskaźnik wytrzymałości na zginanie

(21)

max

z

I

W

y

y



Wskaźniki wytrzymałości na zginanie dla przekroju:

32

3

d

W

y





6

2

h

b

W

y



kołowego

prostokątnego

Warunek wytrzymałości na zginanie

Naprężenia w pręcie zginanym są największe we
włóknach skrajnych. Na podstawie tej zależności
możemy

napisać warunek wytrzymałości na

zginanie

w warunkach czystego zginania:

Warunek ten można również stosować w belkach
zginanych siłami poprzecznymi ale tylko wtedy,
kiedy w przekroju poprzecznym występuje
maksymalny moment gnący M

gmax

:

(22)

dop

y

g

W

M









max

dop

y

g

W

M









max

max

(23)

w pozostałych przekrojach materiał nie jest w pełni
wykorzystany.

Belki o równej wytrzymałości

Jeżeli potrafimy tak zaprojektować belkę,

aby w każdym jej przekroju naprężenia
maksymalne

były

równe

naprężeniom

dopuszczalnym, to mówimy, że jest to

belka o

równej wytrzymałości

.

Warunek

wytrzymałości

belki

o

stałej

wytrzymałości na zginanie w każdym przekroju
określonym współrzędną x ma postać:

(24)

dop

g

x

W

x

M









)

(

)

(

Belki o równej wytrzymałości

h

b

x

l

P

a)

b
)

x

b

h

h

x

P

c)

x

d

P

d

x

Rys. 11. Belki wspornikowe o

równej wytrzymałości

Z zależności (24) można wyznaczyć wymiary
belki:

•

dla belki o przekroju kołowym

(25)

(26)

a więc

Belki o równej wytrzymałości

32

)

(

)

(

3

x

d

x

W





3

)

(

32

)

(

dop

g

x

M

x

d





•

dla belki o przekroju prostokątnym (o zmiennej

wysokości h)

(27)

(28)

a więc

Belki o równej wytrzymałości

6

)

(

)

(

2

x

h

b

x

W



dop

g

b

x

M

x

h



)

(

6

)

( 

Linia ugięcia belki

A

W



P



x

w

(x

)

C

C’

B

B’

x

l

M

g

(

x)

Rys. 12. Schemat belki wspornikowej zginanej

siłą poprzeczną

Linia ugięcia belki pokrywa się z jej warstwą

obojętną, a więc równanie linii ugięcia można
zapisać na podstawie (16):

Obierając jako oś x nieodkształconą oś belki,
wyznaczymy postać linii ugięcia przez wyznaczenie
rzędnych w(x) tej osi.

(29)

Linia ugięcia belki

y

g

I

E

x

M

)

(

1





Krzywizna 1/ linii w(x) wynosi:

Odkształcenia powinny się mieścić w zakresie
proporcjonalności, dlatego:

(30)

Linia ugięcia belki

2

3

2

2

2

1

1

































dx

dw

dx

w

d



1

2















dx

dw

(31)

zatem

2

2

1

dx

w

d





Po porównaniu (29) i (31) równanie różniczkowe
linii ugięcia belki przybierze postać:

Całkując równanie (32) względem zmiennej x
uzyskujemy zależność służącą do wyznaczenia kąta
ugięcia  w postaci:

(32)

Linia ugięcia belki

(33)

y

g

I

E

x

M

dx

w

d

)

(

2

2



C

dx

I

E

x

M

dx

dw

y

g









)

(



Równanie

linii

ugięcia

uzyskujemy

po

powtórnym całkowaniu względem zmiennej x:

Stałe całkowania C i D wyznaczymy z warunków
granicznych. Mamy dwa rodzaje tych warunków i
wynikają one z:

• sztywności podpór (warunki brzegowe),
• ciągłości belki (warunki ciągłości).

(34)

Linia ugięcia belki

D

dx

w









Przykład 1.

Belka pokazana na rys. jest obciążona siłą P i
obciążeniem ciągłym q=P/2l. Przyjmując, że przekrój
poprzeczny belki a x b ma byćstały wyznaczyć wymiary
tego przekroju, jeśli b=2a. Dane jest naprężenie
dopuszczalne na zginanie 

dop

i długość l.

A

A

x

D

B

C

P

y

x

q

l

l

l

z

y

a

b

Warunki
równowagi:

Reakcje:







0

x

ix

A

P













0

ql

B

P

A

P

iy













0

5

,

2

2

l

ql

l

B

Pl

M

iA

P

ql

P

P

A

375

,

0

125

,

1









P

ql

P

B

125

,

1

25

,

1

5

,

0







Ekstremalne momenty gnące w punktach A, B, C,
D belki:

Maksymalny

moment

gnący

M

c

=0,375Pl

0



A

M

Pl

Pl

l

A

M

B

25

,

0

2









max

375

,

0

g

C

M

Pl

Al

M







0



D

M

Wskaźnik wytrzymałości

Warunek wytrzymałości na zginanie (dla b
= 2a):

6

2

ab

W

z



dop

z

C

a

Pl

ab

Pl

W

M













3

2

max

5625

,

0

6

375

,

0

Wymiary przekroju poprzecznego belki:

3

5625

,

0

dop

Pl

a





3

5625

,

0

2

dop

Pl

b



