ZGINANIE PRĘTÓW PROSTYCH

1

1. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA TZW."CZYSTEGO ZGINANIA"

ZADANIE: wyznaczyć tensor napręż. Tσ, tensor odkszt. Tε i wektor przemieszczenia u .

q = - k z

I

r '

τ

y

z

x

O

II

xy

σ

xz

r

x

τ

x

z

q

‘

pręt pryzmatyczny, utwierdzony "punktowo” w pkt. A (0,0,0)

‘

x - oś podłużna pręta, y, z - osie główne, centralne przekroju poprzecznego

‘

obciążenie zewnętrzne:

denko

(

)

q -

, 0 , 0

k z

k

const

=

pobocznica

(

)

q 0,0,0

‘

siły masowe

(

)

P 0,0,0

2. ROZWIĄZANIE

2.1. Podejście statyczne do zagadnienia brzegowego

"wymyślić" T

σ

sprawdzić równ. Naviera

sprawdzić stat. war. brzeg.

sprawdzić równ. nierozdz. odkszt.

wyznaczyć odkształcenia

e

i j

= e

i j

s

i j

(

)

+ kinematyczne war. brzegowe

wyznaczyć przemieszczenia

e

i j

=

1

2

(

i, j

u

+

j, i

u

)

1

2

3

2.2. Komplet równań TS

σ

i j j

,

= 0

(1)

(

)

ε

i j

i j

j i

u

u

=

+

1

2

,

,

(2)

(

)

[

]

ε

ν σ

ν σ

δ

i j

i j

k k

i j

E

=

+

−

1

1

(3)

+ statyczne warunki brzegowe

q

i

i j

j

ν

ν

σ α

=

denko x = L ,

(

)

ν 1 0 0

, ,

−

=

×

=

×

=

×








k z

x

yx

zx

σ

τ
τ

1

0

1

0

1

(4a)

ZGINANIE PRĘTÓW PROSTYCH

2

pobocznica

(

)

ν

α

α

ν

ν

0

0

0

,

,

y

z

≠

≠

0
0
0

=

+

=

+

=

+








τ

α

τ

α

σ α

τ

α

τ

α

σ α

ν

ν

ν

ν

ν

ν

xy

y

xz

z

y

y

yz

z

zy

y

z

z

(4b)

+ kinematyczne war. brzegowe

w pkt. utwierdzenia A (0, 0,0)

u = v = w = 0

∂
∂

∂
∂

v
x

u

y

=

=













0

0

∂
∂

∂

∂

v
z
w

y

=

=













0

0

∂
∂

∂
∂

u

z
z
x

=

=













0

0

(5)

‘

- macierz naprężenia

(

)

( )

(

)

( )

S W

S Z

M W

M Z

k z

II

I

II

I

=
=

⇒

=

−

















T

σ

0 0

0

0 0

0

0 0

(6)

przykład - poszukiwanie I wiersza tensora naprężenia

(

)

( )

M W

M Z

II

I

=

⇒

r p d A

r

q d A

A

A

∫∫

∫∫

×

=

×

'

(

)

(

)

r

y z

r L x y z

0, ,

'

, ,

−

(

)

(

)

p

q

k z

x

xy

xz

σ τ

τ

,

,

, ,

−

0 0

σ

τ

τ

x

A

A

x y

A

A

x z

A

A

dA

k z dA

dA

dA

dA

dA

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

=

−

=

=

0

0

(

)

(

)

y

z

dA

y

z

dA

z

dA

k z dA

y

dA

k z y dA

xz

xy

A

A

x

A

A

x

A

A

τ

τ

σ

σ

−

=

−

=

−

−

=

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

0

0

2

Macierz naprężenia (6) spełnia równania równowagi (1) i statyczne war. brzegowe (4)

‘

- macierz odkształceń (r.Hooke'a)

T

ε

ν

ν

=

−





























k

E

z

k

E

z

k

E

z

0

0

0

0

0

0

(7)

Macierz (7) spełnia równania nierozdzielności odkształceń, gdyż

ε

ε

i j k

i j k l

const

,

,

=

⇒

≡ 0

‘

funkcje przemieszczeń (rów. Cauchy'ego)

∂
∂

∂
∂

ν

∂

∂

ν

u

x

k

E

z

v
y

k

E

z

w

z

k

E

z

= −

=

=

∂
∂

∂
∂

∂
∂

∂

∂

∂
∂

∂

∂

u

y

v
x

v
z

w

y

u

z

w

x

+

=

+

=

+

=

0

0

0

(8)

ZGINANIE PRĘTÓW PROSTYCH

3

"CORN" = "CORJ" + "CSRN"

⇒

u

u

u

i

i

o

i

s

=

+

- całka ogólna

(

)

u

y z

a b y c z

o

,

= +

+

(

)

v

x z

d b x f z

o

,

= −

+

(

)

w

x y

g c x f y

0

,

= −

−

- całka szczególna równania niejednorodnego

u

k

E

z x

s

= −

v

k

E

y z

s

= ν

w

k

E

z

k

E

y

k

E

x

s

=

−

+

ν

ν

2

2

2

2

2

2

- funkcje przemieszczeń

(

)

u x y z

k

E

x z a b y c z

, ,

= −

+ +

+

(

)

v x y z

k

E

y z d b x f z

, ,

=

+ −

+

ν

(9)

(

)

(

)

w x y z

k

E

z

y

x

g c x f y

, ,

=

−

+

+ −

−

2

2

2

2

ν

ν

Stałe całkowania a, b, c, d, f, g należy wyznaczyć z kinemat. war. brzegowych (5).

a = b = c = d = f = g = 0

u

k

E

x z

= −

v

k

E

y z

= ν

(10)

(

)

w

k

E

x

y

z

=

−

+

2

2

2

2

ν

ν

WNIOSEK :

Macierz naprężenia (6) macierz odkształcenia (7) i wektor przemieszczenia (10)

spełniają ściśle komplet równań teorii sprężystości wraz ze statycznymi i kinematycznymi war.
brzegowymi. Są więc ścisłym rozwiązaniem zagadnienia czystego rozciągania dla pręta
stanowiącego przedmiot analizy.

3. ANALIZA ROZWIĄZANIA

1. Stan

naprężenia opisany przez macierz (6) to jednoosiowy (tylko jeden element macierzy

naprężenia jest niezerowy) stan naprężenia. Naprężenie normalne zależy jedynie od
zmiennej "z".

2. Diagonalna

postać macierzy naprężenia świadczy o tym, że jedyne niezerowe naprężenie

σ

x

jest maksymalnym naprężeniem normalnym

spośród wszystkich możliwych

odpowiadających dowolnym płaszczyznom przekroju pręta.

3. Stan

odkształcenia opisany przez macierz (7) to trójosiowy (niezerowe składowe w 3

wzajemnie prostopadłych kierunkach) stan odkształcenia.

4. Diagonalna

postać macierzy odkształcenia świadczy, że czystemu zginaniu towarzyszą

jedynie odkształcenia liniowe.

ZGINANIE PRĘTÓW PROSTYCH

4

5.

Analiza deformacji pręta.

5.1. Przemieszczenia punktów należących do osi pręta, tzn. P (x, 0, 0)

u

v

=

=

0

0

w

k

E

x

=

2

2

α

β

γ

A

B

C

A'

B'

C'

x

z

k

E

x

w = 2

2

x

o

‘

Krzywizna

ugiętej osi pręta

( ) ( )

( )

( )

[

]

κ

ρ

x

x

w x

w

x

≡

=

′′

+ ′

1

1

2

3 2

( )

( )

1

ρ x

w x

k

E

=

′′

=

T

σ

ρ

=

−





























E z 0 0

0

0 0

0

0 0

T

ε

ρ

ν

ρ

ν

ρ

=

−

































z

z

z

0

0

0

0

0

0

‘

Twierdzenie o przekroju płaskim i prostopadłym do osi pręta : przekrój poprzeczny pręta

(przekrój płaski i prostopadły do osi pręta przed odkształceniem) pozostaje w wyniku
deformacji nadal płaski i prostopadły do ugiętej osi pręta.

Dowód:

1.

"Płaskość" przekroju

dla dowolnego przekroju x=x

0

u

k

E

x z

o

= −

przemieszczenia "u" wszystkich punktów ustalonego przekroju zależą liniowo od
zmiennej "z"; punkty te muszą zatem leżeć w jednej płaszczyźnie

2.

"Prostopadłość" przekroju

γ

α β

α

α

β

∂
∂

β

γ

=

− +

= ′ =

⇒

≅

=

= −

⇒

≅ −

=

















⇒

=

90

90

0

0

0

0

0

0

tg

w

k

E

x

k

E

x

tg

u

z

k

E

x

k

E

x

k

E

x

ZGINANIE PRĘTÓW PROSTYCH

5

‘

Przemieszczenia punktów przekroju poprzecznego (na przykładzie przekroju

prostokątnego o wymiarach początkowych b x h)

CB AD

y

b

v

k

E

b z

w

k

E

x

b

z

o

,

:

;

= ±

= ±

=

−

+







2

2

2

4

2

2

2

ν

ν

ν

CD AB

z

h

v

k

E

h y

w

k

E

x

h

y

o

,

:

;

;

= ±

= ±

=

+

−







2

2

2

4

2

2

2

ν

ν

ν

h

b

y

z

A

B

C

D

A'

B'

C'

D'

E=E'

F=F'

przemieszczenie " v "

y

z

A

B

C

D

A'

B'

C'

D'

E

F

przemieszczenie " w "

y

z

A

B

C

D

A'

B'

C'

D'

E

F

całkowite przemieszczenie

E'

F'

F'

E'

Przemieszczenia punktów krawędzi y = ± b/2

h

b

y

z

A

B

C

D

A'

B'

C'

D'

G=G'

H=H'

przemieszczenie " v "

y

z

C

D

C'

D'

G

przemieszczenie " w "

y

z

A

B

C'

D'

G

całkowite przemieszczenie

H'

G'

H'

Przemieszczenia punktów krawędzi z = ± h/2

A

A'

B

B'

G'

H

D

C

A'

B'

H

y

z

A

B

C

D

C'

D'

A'

B'

ZGINANIE PRĘTÓW PROSTYCH

6

4. REDUKCJA OBCIĄŻENIA ZEWNĘTRZNEGO DO ŚRODKA CIĘŻKOŚCI PRZEKROJU

4.1. Redukcja obciążenia zewn. do środka ciężkości przekroju poprzecznego

S

q

dA

k z dA

k S

S

q

dA

dA

S

q

dA

dA

x

x

A

A

y

y

y

A

A

z

z

A

A

=

=

−

= −

=

=

=

=

=

=

=

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

ν

ν

ν

0

0

0

0

0

(

)

[

]

M

y

z

dA

M

k z z

dA

k

z dA

kI

M

k z y dA

k

y z dA

kI

x

A

y

A

A

y

z

A

yz

A

=

−

=

=

−

−

= −

= −

=

−

= −

= −

=

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

0

0

0

0

0

0

2

(

)

(

)

WNIOSEK: obciążenie przy czystym zginaniu redukuje się w środku ciężkości przekroju

poprzecznego do pary o wektorze

M (0,-k I

y

, 0).

M

=

⇒

=

⇒

=

def

y

y

y

y

y

M

M

kI

k M

I

M

y

x

y

z

M

y

z

y

x

4.2. Składowe tensorów naprężenia i odkształcenia oraz wektora przemieszczenia

σ

x

y

y

M

I

z

= −

σ

σ

τ

τ

τ

y

z

xy

xz

yz

=

=

=

=

= 0

ε

σ

ε

ε

ν σ

ν

x

x

y

y

y

z

x

y

y

E

M

EI

z

E

M

EI

z

=

= −

=

= −

=

ε

ε

ε

xy

xz

yz

=

=

= 0

u

M

EI

x z a b y c z

y

y

= −

+ +

+

v

M

EI

y z d b x f z

y

y

=

+ −

+

ν

(

)

w

M

EI

x

y

z

g c x f y

y

y

=

−

+

+ −

−

2

2

2

2

ν

ν

ZGINANIE PRĘTÓW PROSTYCH

7

5. INNE PRZYPADKI OBCIĄŻENIA (PROSTE ZGINANIE)

5.1. Proste zginanie

DEFINICJA: Każdy przypadek takiego obciążenia pręta, które redukuje się w środku
ciężkości przekroju poprzecznego do momentu leżącego w płaszczyźnie (x, z) określa się
jako proste zginanie lub krótko

zginanie.

5.2. Składowe tensorów naprężenia i odkształcenia dla zginania

Przyjmując zasadę de Saint-Venanta przyjmujemy równocześnie, że rozwiązanie uzyskane
dla czystego zginania jest także z wystarczającą dokładnością rozwiązaniem dla prostego
zginania.

6. INNE WIĘZY KINEMATYCZNE DLA PRĘTA PODDANEGO CZYSTEMU ZGINANIU

1. Jeżeli więzy narzucają 6 warunków, to tensory naprężenia (6) i odkształcenia (7) nadal są

ścisłym rozwiązaniem zagadnienia brzegowego. Funkcje przemieszczeń są opisane równaniami
(9), z których należy wyznaczyć 6 stałych z 6 warunków kinematycznych

2. Jeżeli więzy są takie, że narzucają mniej niż 6 warunków, to pręt jest układem geometrycznie

zmiennym.

3. Jeżeli więzy są takie, że narzucają więcej niż 6 warunków to macierz naprężenia musi być

przyjęta odmiennie od tej w postaci (6).

7. ROZKŁAD NAPRĘŻENIA NORMALNEGO

σ

x

x

y

z

M

y

A

+

σ

x

x

z

y

M

z

B

+

σ

x

R

Ś

R

Ś

‘

Przypadek A - zginanie w płaszczyźnie (x, z)

σ

x

y

y

M

I

z

=

włókna o dodatniej współrzędnej "z" (tzw. "górne włókna") są rozciągane. Zgodnie z przyjętą
konwencją znakowania naprężeń - naprężeniu normalnemu rozciągającemu przypisuje się
znak "plus". Stąd, naprężenia w górnych włóknach są dodatnie, a w równaniu określającym
σ

x

występuje znak "+" [ dla "z+" musi być "σ

x

+" ]

‘

przypadek B - zginanie w płaszczyźnie (x, y)

σ

x

z

z

M

I

y

= −

włókna o dodatniej współrzędnej "y" są ściskane. Zgodnie z przyjętą konwencją znakowania
naprężeń - naprężeniu normalnemu ściskającemu przypisuje się znak "minus". Stąd -
naprężenia w górnych włóknach są ujemne, a w równaniu określającym

σ

x

występuje znak

"-" [ dla "z+" musi być "σ

x

-" ]

ZGINANIE PRĘTÓW PROSTYCH

8

7.1. Rozkład naprężenia w przekroju pręta

x

+

α

β

β

α

z

+

σ

x

M

y

σ

α α

x

y

y

M

I

z

−

=

σ

β β

x

y

y

M

I

z

−

= −

7.2. Naprężenie maksymalne

(

)

σ

x

y

y

g

d

M

I

h h

max

max

max

,

=

σ

x

M

W

max

max

min

=

(

)

W

I

h h

y

g

d

min

max

,

=

‘

warunek

wytrzymałościowy

σ

x

M

W

R

max

max

min

=

≤