Obciążenie przyłożone do elementu

konstrukcyjnego powoduje

powstanie w nim pewnych sił, które

można nazwać siłami wewnętrznymi.

Siły te wywołują w materiale stan

wytężenia, który może doprowadzić

do zniszczenia elementu. Można w

dużym uproszczeniu powiedzieć, że

projektowanie polega na doborze

materiału i kształtu przekroju w taki

sposób, aby przy danym obciążeniu i

schemacie statycznym, element nie

uległ zniszczeniu.

Siłą wewnętrzną nazywamy

funkcję wektorową 2 wektorów -

wektora wodzącego punktu A i

wersora normalnego

płaszczyzny, określającą

wypadkową sił

międzycząsteczkowych działających

między wszystkimi punktami części

II, wyznaczonej przez tę płaszczyznę

i dowolnym punktem materialnym A

leżącym na płaszczyźnie i należącym

do części I.



Aby wyznaczyć zredukowany układ sił wewnętrznych

{WII} , t.z. wyznaczyć wektor sumy S {WII} i wektor

momentów Mo {WII}, należy skorzystać z twierdzenia

równoważności układu sił zewnętrznych i wewnętrznych.

Zredukowanego układu sił wewnętrznych poszukujemy w

przekroju poprzecznym pręta, a środek redukcji jest środek

ciężkości przekroju „O”



Składowe tak wyznaczonego wektora sumy i
momentu nazywamy siłami przekrojowymi



Dla całego pręta równania
równowagi sił są następujące:



Równania te napisane dla części I i II pręta to:

Praktyczne wnioski jakie wynikają z analizy powyższych

twierdzeń:

1.

Do wyznaczenia wewnętrznych sił przekrojowych w

punkcie K działających na I część pręta wystarczy w

tym punkcie zredukować układ sił zewnętrznych

przyłożonych do II części pręta

2.

Do wyznaczenia wewnętrznych sił przekrojowych w

punkcie K działających na II część pręta wystarczy w

tym punkcie zredukować siły zewnętrzne przyłożone

do I części pręta

Układ zewnętrznych {ZI} = {WII} może redukować się w

środku ciężkości przekroju poprzecznego do:



Wypadkowej, prostopadłej do przekroju poprzecznego (siła

osiowa, normalna, podłużna). Jest równa sumie rzutów

wszystkich siła działających z lewej (prawej) strony

rozważanego przekroju na kierunek prostej stycznej do osi

pręta.

Siła podłużna jest dodatnia jeśli działa na przekrój

rozciągająco i jest ujemna gdy działa ściskająco.



Pary sił leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego, a zatem

pary o wektorze momentu normalnego do przekroju (moment

skręcający)



Wypadkowej, leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego

(siła poprzeczna, ścinająca, tnąca). Jest równa sumie

rzutów wszystkich sił działających z lewej (prawej) strony

rozważanego przekroju, na kierunek prostej prostopadłej do

osi pręta.

Pary sił leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju poprzecznego, a

zatem pary o wektorze momentu leżącym w płaszcz. przekroju

( moment zginający) Jest równy sumie momentów statycznych

wszystkich sił działających z lewej (prawej) strony rozważanego

przekroju, liczony względem środka ciężkości tego przekroju. Moment ten

jest dodatni, gdy rozciągane są włókna spodu pręta. Moment określony

jako ujemny, jeżeli jego działanie powoduje ściskanie przyjętych spodów.



Przy poszukiwaniu sił przekrojowych (poprzez redukcję
obciążenia zewnętrznego) rezygnuje się z globalnego
układu współrzędnych (x,y) na rzecz układu lokalnego
związanego z przekrojem poprzecznym. Układ taki
nosi nazwę ukł. własnego przekroju poprzecznego.

Twierdzenie Szwedlera-Żuwawskiego podaje

zależności różniczkowe pomiędzy
obciążeniami pręta, a siłami przekrojowymi.
Przeanalizujemy równowagę części myślowo
wyciągniętego pręta

Z twierdzenia wynika, że:



Pochodna momentu zginającego , równa się sile

tnącej



Z pochodnej siły tnącej, dostajemy wartość

obciążenia ciągłego , działającego na ten element.



Graficzna prezentacja sił wewnętrznych jest
bardzo ważna, gdyż na jej podstawie można
uzyskać dużo informacji. Wykresy
sporządzamy, odkładając od osi pręta, w
obranej skali, rzędne odpowiednich funkcji.
Rysując wykresy sił wewnętrznych, przyjmuje
się konwencję, według której wartości dodatnie
momentów umieszcza się po stronie spodu
pręta, a ujemne po stronie przeciwnej. Wykresy
sił poprzecznych rysuje się odwrotnie, czyli po
stronie spodu odkłada się wartości ujemne.

Z twierdzenia Swedlera-Zurawskiego wynika, także :



W przedziale, dla którego q(x)=0, siła tnąca jest

stała zaś moment zginający jest funkcja liniową



Tam , gdzie q(x)= const i q(x)≠0, wykres siły

tnącej jest funkcja liniową, zaś wykres momentów

zginających funkcją kwadratową



Tam gdzie siła tnąca jest dodatnia, wykres

momentów zginających jest rosnąca



Tam gdzie siła tnąca zeruje się, moment zginający

osiągnie ekstremum; zerowanie siły tnącej

występuje na części przedziału

charakterystycznego, to na tej części wykres

momentów zginających jest stały



Tam, gdzie jest przyłożona siła

skupiona, w wykresie sił tnących

następuje skok o rzut tej siły na

osi (Q), w wykresie sił osiowych

skok o rzut tej siły na kierunek

(N), zaś w wykresie momentów

zginających następuje zmiana

nachylenia stycznej do wykresu,

gdyż zmienia się dM/dx=Q.

Załamanie to jest zawsze w tą

stronę, jaka pokazuje strzałka siły

skupionej w tym punkcie



Tam, gdzie jest moment

skupiony, para sił o wartości

mementu w wykresie momentów

zginających następuje przeskok o

wartości tego momentu.



Wykres momentów zginających

jest zakrzywiony (załamany)

wypukłością w stronę, w która

działa obciążenie ciągłe (siła

skupiona)



Siły przekrojowe w prętach

kratownicy redukują się do sił

osiowych.



Jeżeli przy zadanym obciążeniu

siła osiowa w pręcie będzie równa

zero, to taki pręt nazywamy

prętem zerowym. I tak jeśli w

węźle kratownicy schodzą się dwa

pręty i jest on nieobciążony silami

zewnętrznymi ,to pręty te są

zerowe.



Gdy w węźle schodzą się trzy

pręty , z których dwa są

równoległe i węzeł jest

nieobciążonym siłami

zewnętrznymi, to trzeci jest

zerowy

Siły w pozostałych prętach można wyznaczyć

kilkoma metodami. Należą do nich:



Metoda równoważenia węzłów



Metoda Rittera



Plan Cremony



Metoda elementów skończonych



Metoda punktów masowych i inne



W metodzie tej dla każdego węzła kratownicy
wypisujemy po dwa równania równowagi sił.
Dlatego zaczynamy od węzła, w którym schodzą
się najwyżej dwa pręty. Po wyznaczeniu sił w
tych prętach przechodzimy do kolejnego węzła.



Metoda polega na myślowym przecięciu kratownicy na

dwie części przez nie więcej niż trzy pręty. Każda z tych

części musi być w równowadze przy działających siłach

zewnętrznych zrównoważonych siłami osiowymi w prętach,

przez które został przeprowadzony ten myślowy przekrój.



Pisząc dla jednej części trzy równania równowagi sił

obliczmy z nich siły osiowe w prętach.

Dziękuję za uwagę!!

Dziękuję za uwagę!!