Obciążenie przyłożone do elementu
konstrukcyjnego powoduje
powstanie w nim pewnych sił, które
można nazwać siłami wewnętrznymi.
Siły te wywołują w materiale stan
wytężenia, który może doprowadzić
do zniszczenia elementu. Można w
dużym uproszczeniu powiedzieć, że
projektowanie polega na doborze
materiału i kształtu przekroju w taki
sposób, aby przy danym obciążeniu i
schemacie statycznym, element nie
uległ zniszczeniu.
Siłą wewnętrzną nazywamy
funkcję wektorową 2 wektorów -
wektora wodzącego punktu A i
wersora normalnego
płaszczyzny, określającą
wypadkową sił
międzycząsteczkowych działających
między wszystkimi punktami części
II, wyznaczonej przez tę płaszczyznę
i dowolnym punktem materialnym A
leżącym na płaszczyźnie i należącym
do części I.
Aby wyznaczyć zredukowany układ sił wewnętrznych
{WII} , t.z. wyznaczyć wektor sumy S {WII} i wektor
momentów Mo {WII}, należy skorzystać z twierdzenia
równoważności układu sił zewnętrznych i wewnętrznych.
Zredukowanego układu sił wewnętrznych poszukujemy w
przekroju poprzecznym pręta, a środek redukcji jest środek
ciężkości przekroju „O”
Składowe tak wyznaczonego wektora sumy i
momentu nazywamy siłami przekrojowymi
Dla całego pręta równania
równowagi sił są następujące:
Równania te napisane dla części I i II pręta to:
Praktyczne wnioski jakie wynikają z analizy powyższych
twierdzeń:
1.
Do wyznaczenia wewnętrznych sił przekrojowych w
punkcie K działających na I część pręta wystarczy w
tym punkcie zredukować układ sił zewnętrznych
przyłożonych do II części pręta
2.
Do wyznaczenia wewnętrznych sił przekrojowych w
punkcie K działających na II część pręta wystarczy w
tym punkcie zredukować siły zewnętrzne przyłożone
do I części pręta
Układ zewnętrznych {ZI} = {WII} może redukować się w
środku ciężkości przekroju poprzecznego do:
Wypadkowej, prostopadłej do przekroju poprzecznego (siła
osiowa, normalna, podłużna). Jest równa sumie rzutów
wszystkich siła działających z lewej (prawej) strony
rozważanego przekroju na kierunek prostej stycznej do osi
pręta.
Siła podłużna jest dodatnia jeśli działa na przekrój
rozciągająco i jest ujemna gdy działa ściskająco.
Pary sił leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego, a zatem
pary o wektorze momentu normalnego do przekroju (moment
skręcający)
Wypadkowej, leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego
(siła poprzeczna, ścinająca, tnąca). Jest równa sumie
rzutów wszystkich sił działających z lewej (prawej) strony
rozważanego przekroju, na kierunek prostej prostopadłej do
osi pręta.
Pary sił leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju poprzecznego, a
zatem pary o wektorze momentu leżącym w płaszcz. przekroju
( moment zginający) Jest równy sumie momentów statycznych
wszystkich sił działających z lewej (prawej) strony rozważanego
przekroju, liczony względem środka ciężkości tego przekroju. Moment ten
jest dodatni, gdy rozciągane są włókna spodu pręta. Moment określony
jako ujemny, jeżeli jego działanie powoduje ściskanie przyjętych spodów.
Przy poszukiwaniu sił przekrojowych (poprzez redukcję
obciążenia zewnętrznego) rezygnuje się z globalnego
układu współrzędnych (x,y) na rzecz układu lokalnego
związanego z przekrojem poprzecznym. Układ taki
nosi nazwę ukł. własnego przekroju poprzecznego.
Twierdzenie Szwedlera-Żuwawskiego podaje
zależności różniczkowe pomiędzy
obciążeniami pręta, a siłami przekrojowymi.
Przeanalizujemy równowagę części myślowo
wyciągniętego pręta
Z twierdzenia wynika, że:
Pochodna momentu zginającego , równa się sile
tnącej
Z pochodnej siły tnącej, dostajemy wartość
obciążenia ciągłego , działającego na ten element.
Graficzna prezentacja sił wewnętrznych jest
bardzo ważna, gdyż na jej podstawie można
uzyskać dużo informacji. Wykresy
sporządzamy, odkładając od osi pręta, w
obranej skali, rzędne odpowiednich funkcji.
Rysując wykresy sił wewnętrznych, przyjmuje
się konwencję, według której wartości dodatnie
momentów umieszcza się po stronie spodu
pręta, a ujemne po stronie przeciwnej. Wykresy
sił poprzecznych rysuje się odwrotnie, czyli po
stronie spodu odkłada się wartości ujemne.
Z twierdzenia Swedlera-Zurawskiego wynika, także :
W przedziale, dla którego q(x)=0, siła tnąca jest
stała zaś moment zginający jest funkcja liniową
Tam , gdzie q(x)= const i q(x)≠0, wykres siły
tnącej jest funkcja liniową, zaś wykres momentów
zginających funkcją kwadratową
Tam gdzie siła tnąca jest dodatnia, wykres
momentów zginających jest rosnąca
Tam gdzie siła tnąca zeruje się, moment zginający
osiągnie ekstremum; zerowanie siły tnącej
występuje na części przedziału
charakterystycznego, to na tej części wykres
momentów zginających jest stały
Tam, gdzie jest przyłożona siła
skupiona, w wykresie sił tnących
następuje skok o rzut tej siły na
osi (Q), w wykresie sił osiowych
skok o rzut tej siły na kierunek
(N), zaś w wykresie momentów
zginających następuje zmiana
nachylenia stycznej do wykresu,
gdyż zmienia się dM/dx=Q.
Załamanie to jest zawsze w tą
stronę, jaka pokazuje strzałka siły
skupionej w tym punkcie
Tam, gdzie jest moment
skupiony, para sił o wartości
mementu w wykresie momentów
zginających następuje przeskok o
wartości tego momentu.
Wykres momentów zginających
jest zakrzywiony (załamany)
wypukłością w stronę, w która
działa obciążenie ciągłe (siła
skupiona)
Siły przekrojowe w prętach
kratownicy redukują się do sił
osiowych.
Jeżeli przy zadanym obciążeniu
siła osiowa w pręcie będzie równa
zero, to taki pręt nazywamy
prętem zerowym. I tak jeśli w
węźle kratownicy schodzą się dwa
pręty i jest on nieobciążony silami
zewnętrznymi ,to pręty te są
zerowe.
Gdy w węźle schodzą się trzy
pręty , z których dwa są
równoległe i węzeł jest
nieobciążonym siłami
zewnętrznymi, to trzeci jest
zerowy
Siły w pozostałych prętach można wyznaczyć
kilkoma metodami. Należą do nich:
Metoda równoważenia węzłów
Metoda Rittera
Plan Cremony
Metoda elementów skończonych
Metoda punktów masowych i inne
W metodzie tej dla każdego węzła kratownicy
wypisujemy po dwa równania równowagi sił.
Dlatego zaczynamy od węzła, w którym schodzą
się najwyżej dwa pręty. Po wyznaczeniu sił w
tych prętach przechodzimy do kolejnego węzła.
Metoda polega na myślowym przecięciu kratownicy na
dwie części przez nie więcej niż trzy pręty. Każda z tych
części musi być w równowadze przy działających siłach
zewnętrznych zrównoważonych siłami osiowymi w prętach,
przez które został przeprowadzony ten myślowy przekrój.
Pisząc dla jednej części trzy równania równowagi sił
obliczmy z nich siły osiowe w prętach.
Dziękuję za uwagę!!
Dziękuję za uwagę!!