Modele systemów

Modele systemów

fizjologicznych –

fizjologicznych –

doświadczalne,

doświadczalne,

teoretyczne oraz

teoretyczne oraz

mieszane. Cele i metody

mieszane. Cele i metody

ich tworzenia

ich tworzenia

Model znaczy tyle co odpowiedź na pytanie "Jak to działa?".

Model znaczy tyle co odpowiedź na pytanie "Jak to działa?".

Wszyscy stale posługujemy się modelami. Również w życiu

Wszyscy stale posługujemy się modelami. Również w życiu

codziennym potrzebujemy efektywnych modeli, by w ogóle

codziennym potrzebujemy efektywnych modeli, by w ogóle

skutecznie działać. Model jest bardziej lub mniej

skutecznie działać. Model jest bardziej lub mniej

uproszczoną reprezentacją realnego procesu, który w swej

uproszczoną reprezentacją realnego procesu, który w swej

złożoności, sam w sobie, bez procedur jego idealizacji, może

złożoności, sam w sobie, bez procedur jego idealizacji, może

być nie do ogarnięcia. Celem modelowania jest otrzymanie

być nie do ogarnięcia. Celem modelowania jest otrzymanie

równań opisujących zachowanie badanego systemu.

równań opisujących zachowanie badanego systemu.

Badanie to odbywa się przy spełnieniu odpowiednich

Badanie to odbywa się przy spełnieniu odpowiednich

warunków działania badanego systemu, związanych z

warunków działania badanego systemu, związanych z

właściwościami procesu. Mamy możliwość modelowania

właściwościami procesu. Mamy możliwość modelowania

zarówno parametrycznego i nieparametrycznego.

zarówno parametrycznego i nieparametrycznego.

Modelowanie nieparametryczne wykorzystywane jest gdy

Modelowanie nieparametryczne wykorzystywane jest gdy

system jest słabo poznany, nie znamy jego działania i nie

system jest słabo poznany, nie znamy jego działania i nie

jesteśmy w stanie w sposób przybliżony go określić.

jesteśmy w stanie w sposób przybliżony go określić.

Modelowanie parametryczne bazuje na pewnej znajomości

Modelowanie parametryczne bazuje na pewnej znajomości

systemu. W naszym przypadku jest to system żywy.

systemu. W naszym przypadku jest to system żywy.

Różnice pomiędzy inżynierskim i

Różnice pomiędzy inżynierskim i

fizjologicznym podejściem do analizy i

fizjologicznym podejściem do analizy i

modelowania systemów

modelowania systemów

Metodologia postępowania w modelowaniu obu typów systemów jest podobna,

Metodologia postępowania w modelowaniu obu typów systemów jest podobna,

lecz istnieją ważne różnice pomiędzy ich właściwościami:

lecz istnieją ważne różnice pomiędzy ich właściwościami:

W podejściu inżynierskim system jest projektowany i optymalizowany, tak

W podejściu inżynierskim system jest projektowany i optymalizowany, tak

aby spełniał precyzyjnie określone zadanie. Systemy fizjologiczne są

aby spełniał precyzyjnie określone zadanie. Systemy fizjologiczne są

uniwersalne

uniwersalne

, np. układ krwionośny zaopatruje ustrój w tlen, ale także

, np. układ krwionośny zaopatruje ustrój w tlen, ale także

uczestniczy w wymianie ciepła.

uczestniczy w wymianie ciepła.

System inżynierski, jako zaprojektowany, ma znaną strukturę. Struktura

System inżynierski, jako zaprojektowany, ma znaną strukturę. Struktura

systemu fizjologicznego

systemu fizjologicznego

jest nieznana i musi być wcześniej

jest nieznana i musi być wcześniej

zidentyfikowana

zidentyfikowana

, zanim będzie możliwa analiza właściwości systemu.

, zanim będzie możliwa analiza właściwości systemu.

W systemach fizjologicznych występują znaczne

W systemach fizjologicznych występują znaczne

cross-coupling

cross-coupling

: np.

: np.

funkcjonowanie systemu sercowo-naczyniowego jest bardzo silnie zależne

funkcjonowanie systemu sercowo-naczyniowego jest bardzo silnie zależne

między innymi od stanu nerek, układu oddechowego i endokrynologii. To

między innymi od stanu nerek, układu oddechowego i endokrynologii. To

bardzo komplikuje modelowanie. Pojawia się pytanie: które sprzężenia

bardzo komplikuje modelowanie. Pojawia się pytanie: które sprzężenia

należy uwzględnić, a które mogą być pominięte?

należy uwzględnić, a które mogą być pominięte?

Systemy fizjologiczne w ogólności są

Systemy fizjologiczne w ogólności są

adaptacyjne

adaptacyjne

. Oznacza to, że system

. Oznacza to, że system

dopasowuje się do zmian warunków nie, tylko na drodze ewentualnego

dopasowuje się do zmian warunków nie, tylko na drodze ewentualnego

sprzężenia zwrotnego, ale także na drodze

sprzężenia zwrotnego, ale także na drodze

zmiany wartości

zmiany wartości

parametrów fizjologicznych

parametrów fizjologicznych

.

.

Systemy fizjologiczne z natury są

Systemy fizjologiczne z natury są

nieliniowe

nieliniowe

(choć często są

(choć często są

linearyzowane), podczas gdy inżynierskie mogą być liniowe lub nieliniowe.

linearyzowane), podczas gdy inżynierskie mogą być liniowe lub nieliniowe.

Modelowanie systemów fizjologicznych

Modelowanie systemów fizjologicznych

W zależności od zakresu wiedzy o modelowanym procesie, stosuje się opis

W zależności od zakresu wiedzy o modelowanym procesie, stosuje się opis

o różnej złożoności, o różnym stopniu szczegółowości.

o różnej złożoności, o różnym stopniu szczegółowości.

Najprostszy rodzajem modelu jest tzw.

Najprostszy rodzajem modelu jest tzw.

model konceptualny

model konceptualny

w postaci

w postaci

schematu blokowego. Opisuje on procesy w sposób jakościowy. Bardziej

schematu blokowego. Opisuje on procesy w sposób jakościowy. Bardziej

zaawansowanej analizie służy

zaawansowanej analizie służy

model matematyczny

model matematyczny

. W tym

. W tym

przypadku proponuje się sposób funkcjonowania bloków schematu,

przypadku proponuje się sposób funkcjonowania bloków schematu,

matematyczny przepis ich działania.

matematyczny przepis ich działania.

Jedną z możliwości jest przeprowadzenie eksperymentu i badanie

Jedną z możliwości jest przeprowadzenie eksperymentu i badanie

zależności wejście-wyjście na podstawie obserwacji wyjścia. Taki model,

zależności wejście-wyjście na podstawie obserwacji wyjścia. Taki model,

którego struktura wewnętrzna nie jest znana, nosi nazwę

którego struktura wewnętrzna nie jest znana, nosi nazwę

modelu

modelu

black-box

black-box

zwanego także empirycznym, nieparametrycznym.

zwanego także empirycznym, nieparametrycznym.

Czasami udaje się utworzyć hipotezę o prawdopodobnej regule

Czasami udaje się utworzyć hipotezę o prawdopodobnej regule

działania systemu. Wyrażamy ją za pomocą równań algebraicznych,

działania systemu. Wyrażamy ją za pomocą równań algebraicznych,

różniczkowych, całkowych, innych. Równania te, wraz ze zbiorem

różniczkowych, całkowych, innych. Równania te, wraz ze zbiorem

parametrów równań, wiążą wejście z wyjściem systemu, przy

parametrów równań, wiążą wejście z wyjściem systemu, przy

określonych ograniczeniach natury fizjologicznej. Taki typ modelu,

określonych ograniczeniach natury fizjologicznej. Taki typ modelu,

posiadający wewnętrzną strukturę i zbiór parametrów, nazywamy

posiadający wewnętrzną strukturę i zbiór parametrów, nazywamy

modelem

modelem

strukturalnym

strukturalnym

, modelem

, modelem

gray-box

gray-box

lub modelem

lub modelem

parametrycznym

parametrycznym

. Zakres prawidłowego działania takiego modelu jest

. Zakres prawidłowego działania takiego modelu jest

ograniczony do pewnego zakresu jego parametrów.

ograniczony do pewnego zakresu jego parametrów.

Matematyczny opis modeli systemów

Matematyczny opis modeli systemów

biomedycznych

biomedycznych

Celem modelowania jest otrzymanie równań

Celem modelowania jest otrzymanie równań

opisujących zachowanie badanego systemu przy

opisujących zachowanie badanego systemu przy

spełnieniu istotnych dla jego działania warunków,

spełnieniu istotnych dla jego działania warunków,

związanych ze szczególnymi właściwościami procesu.

związanych ze szczególnymi właściwościami procesu.

Warunki te mogą być ilościowe lub jakościowe.

Warunki te mogą być ilościowe lub jakościowe.

Niezbędne informacje o procesie pochodzić mogą z

Niezbędne informacje o procesie pochodzić mogą z

rozważań teoretycznych, z analizy postulowanych

rozważań teoretycznych, z analizy postulowanych

mechanizmów funkcjonowania systemu. Mogą także

mechanizmów funkcjonowania systemu. Mogą także

pochodzić z badań doświadczalnych obrazujących

pochodzić z badań doświadczalnych obrazujących

charakter odpowiedzi na określone pobudzenie, bez

charakter odpowiedzi na określone pobudzenie, bez

wnikania w mechanizmy działania. Mogą także

wnikania w mechanizmy działania. Mogą także

dotyczyć tylko sfery zewnętrznego podobieństwa, np.

dotyczyć tylko sfery zewnętrznego podobieństwa, np.

dynamiki działania modelu i procesu, w oderwaniu od

dynamiki działania modelu i procesu, w oderwaniu od

jego fizycznej natury.

jego fizycznej natury.

Modelowanie teoretyczne

Modelowanie teoretyczne

W modelowaniu teoretycznym, w odróżnieniu od

W modelowaniu teoretycznym, w odróżnieniu od

modelowania empirycznego, parametrom

modelowania empirycznego, parametrom

badanego systemu nadaje się interpretację

badanego systemu nadaje się interpretację

biologiczną lub fizjologiczną. Na szczególną uwagę,

biologiczną lub fizjologiczną. Na szczególną uwagę,

z punktu widzenia modelowania teoretycznego,

z punktu widzenia modelowania teoretycznego,

zasługują równania różniczkowe. Pozwalają one na

zasługują równania różniczkowe. Pozwalają one na

badanie dynamiki procesów w sposób uogólniony,

badanie dynamiki procesów w sposób uogólniony,

niezależny formalnie od szczególnych wartości

niezależny formalnie od szczególnych wartości

pomiarowych w określonych chwilach czasu.

pomiarowych w określonych chwilach czasu.

Równania różniczkowe, ich rozmaite odmiany, są

Równania różniczkowe, ich rozmaite odmiany, są

odpowiednie do opisu szybkości metabolizmu,

odpowiednie do opisu szybkości metabolizmu,

dystrybucji i eliminacji substancji w złożonych

dystrybucji i eliminacji substancji w złożonych

systemach biologicznych.

systemach biologicznych.

Dla każdego systemu istnieje grupa istotnych dla jego

Dla każdego systemu istnieje grupa istotnych dla jego

funkcjonowania zmiennych, nazywanych zmiennymi stanu. Opisują one

funkcjonowania zmiennych, nazywanych zmiennymi stanu. Opisują one

w kompletny sposób stan systemu dla każdej chwili

w kompletny sposób stan systemu dla każdej chwili

t

t

. Zmienne stanu

. Zmienne stanu

związane są z równaniami zwanymi równaniami stanu. Często zmienne

związane są z równaniami zwanymi równaniami stanu. Często zmienne

stanu mogą być wprost obserwowane w przebiegu eksperymentu, np.

stanu mogą być wprost obserwowane w przebiegu eksperymentu, np.

zmiany stężeń leków w przebiegu terapii.

zmiany stężeń leków w przebiegu terapii.

Ostatecznym celem modelowania jest rozwiązanie utworzonych

Ostatecznym celem modelowania jest rozwiązanie utworzonych

równań różniczkowych, wraz z towarzyszącymi im związkami

równań różniczkowych, wraz z towarzyszącymi im związkami

algebraicznymi, oraz porównanie otrzymanego wyniku z danymi

algebraicznymi, oraz porównanie otrzymanego wyniku z danymi

eksperymentalnymi. Oczekujemy zgodności odpowiedzi modelu z

eksperymentalnymi. Oczekujemy zgodności odpowiedzi modelu z

wynikami eksperymentu, a wartości parametrów, dla których ta

wynikami eksperymentu, a wartości parametrów, dla których ta

zgodność jest najlepsza, to parametry modelu. W modelowaniu

zgodność jest najlepsza, to parametry modelu. W modelowaniu

teoretycznym, parametrom modelu nadaje się interpretację biologiczną

teoretycznym, parametrom modelu nadaje się interpretację biologiczną

i znaczenie fizyczne.

i znaczenie fizyczne.

Zastosowanie modelowania teoretycznego wymaga wnikliwej

Zastosowanie modelowania teoretycznego wymaga wnikliwej

znajomości zasad funkcjonowania systemu, aby było możliwe

znajomości zasad funkcjonowania systemu, aby było możliwe

wyróżnienie reprezentatywnego zbioru zmiennych stanu i postulowanie

wyróżnienie reprezentatywnego zbioru zmiennych stanu i postulowanie

związków między nimi. W wyniku badań, tworzenia i doskonalenia

związków między nimi. W wyniku badań, tworzenia i doskonalenia

modeli oraz doskonalenia eksperymentu, osiągamy lepszy poziom

modeli oraz doskonalenia eksperymentu, osiągamy lepszy poziom

zrozumienia zjawiska. Stanowi to uzasadnienie dla modelowania

zrozumienia zjawiska. Stanowi to uzasadnienie dla modelowania

teoretycznego. Powinno być celem dążenie do tworzenia modeli

teoretycznego. Powinno być celem dążenie do tworzenia modeli

teoretycznych, gdyż ten sposób modelowania wnika w istotę zjawiska i

teoretycznych, gdyż ten sposób modelowania wnika w istotę zjawiska i

przyczynia się do lepszego poznania jego natury.

przyczynia się do lepszego poznania jego natury.

Modelowanie empiryczne

Modelowanie empiryczne

W przypadku systemów biomedycznych, wiedza na temat istoty

W przypadku systemów biomedycznych, wiedza na temat istoty

zjawisk, ich składowych i sposobów oddziaływania między nimi,

zjawisk, ich składowych i sposobów oddziaływania między nimi,

jest często niewystarczająca do utworzenia równań różniczkowych

jest często niewystarczająca do utworzenia równań różniczkowych

lub algebraicznych opisujących mechanizm działania. W takiej

lub algebraicznych opisujących mechanizm działania. W takiej

sytuacji pozostaje badanie zjawiska z zewnątrz.

sytuacji pozostaje badanie zjawiska z zewnątrz.

Badany proces przedstawiony zostaje w postaci tzw. czarnej

Badany proces przedstawiony zostaje w postaci tzw. czarnej

skrzynki symbolizującej nieznany mechanizm działania.

skrzynki symbolizującej nieznany mechanizm działania.

Obserwowane jest wejście i wyjście takiego obiektu. W biologii i w

Obserwowane jest wejście i wyjście takiego obiektu. W biologii i w

medycynie jest to często jedyne możliwe podejście. Modelowanie

medycynie jest to często jedyne możliwe podejście. Modelowanie

polega w tym przypadku na przedstawieniu matematycznego

polega w tym przypadku na przedstawieniu matematycznego

opisu odpowiedzi badanego systemu, a nie opisu jego

opisu odpowiedzi badanego systemu, a nie opisu jego

funkcjonowania. Tak powstałe równanie modelu jest równaniem

funkcjonowania. Tak powstałe równanie modelu jest równaniem

empirycznym, a więc nie jest unikalne.

empirycznym, a więc nie jest unikalne.

Istnieje wiele metod opisu biomedycznych danych empirycznych.

Istnieje wiele metod opisu biomedycznych danych empirycznych.

Na szczególną uwagę zasługują równania empiryczne, funkcje

Na szczególną uwagę zasługują równania empiryczne, funkcje

sklejane, technika zwana samomodelowaniem (ang. self-

sklejane, technika zwana samomodelowaniem (ang. self-

modelling) funkcji regresji, funkcja przenoszenia, całka splotowa i

modelling) funkcji regresji, funkcja przenoszenia, całka splotowa i

metoda skończonych poziomów.

metoda skończonych poziomów.