Systemy kolejkowe

Systemy kolejkowe

ANALITYCZNE MODELE

ANALITYCZNE MODELE

SYSTEMÓW

SYSTEMÓW

KOLEJKOWYCH

KOLEJKOWYCH

prof. dr hab. Grażyna Karmowska

PRZYKŁADOWE SYSTEMY

PRZYKŁADOWE SYSTEMY

KOLEJKOWE

KOLEJKOWE

SYSTEM

SYSTEM

RODZAJ

RODZAJ

OBSŁUGI

OBSŁUGI

ZGŁOSZENI

ZGŁOSZENI

A

A

STANOWISK

STANOWISK

A OBSŁUGI

A OBSŁUGI

Sklep

Sprzedaż

towaru

Klient

Sprzedawca /

kasa

Port

Wyładunek Statek

Miejsce

wyładunku

Lotnisko

Lądowanie

S

amolot

Pas startowy

Park
maszynowy

Naprawa
maszyny

Uszkodzona
maszyna

Konserwator

Centrala
telefoniczna

Połączenie
telefoniczn

e

Klient

Linia
telefoniczna

Gabinet

lekarski

Porada

lekarska

Pacjent

Lekarz

Studio

fryzjerskie

Strzyżenie Klient

Fryzjer

RODZAJE POPULACJI,

RODZAJE POPULACJI,

Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ

Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ

KLIENCI

KLIENCI

•

POPULACJA SKOŃCZONA

POPULACJA SKOŃCZONA
O systemie ze skończoną liczbą klientów
mówi się wtedy, kiedy

od liczby klientów

od liczby klientów

obsługiwanych i oczekujących na obsługę

zależy

zależy

w istotny sposób

w istotny sposób

rozmiar populacji

rozmiar populacji

nie będącej w systemie

nie będącej w systemie

(np. system – sala wykładowa; klienci –

przepalające się żarówki; stanowisko obsługi
– pan Zbyszek wymieniający żarówki)

•

POPULACJA NIESKOŃCZONA

POPULACJA NIESKOŃCZONA
System z nieskończoną liczbą klientów to
taki system, w którym

liczba klientów

liczba klientów

poza systemem

poza systemem (tzn. mogących
potencjalnie wejść do systemu)

nie zależy

nie zależy

od liczby klientów

od liczby klientów obsługiwanych i
oczekujących na obsługę

(np. system - sieć telefoniczna na Wydziale

o dużej możliwości łączenia rozmów; klienci –
pracownicy Wydziału)

RODZAJE POPULACJI,

RODZAJE POPULACJI,

Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ KLIENCI

Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ KLIENCI

ORGANIZACJA KOLEJKI

ORGANIZACJA KOLEJKI

Określony zestaw reguł, zgodnie z którym
ustala się:
liczbę kolejek,
kolejność obsługiwanych klientów:

FIFO – First In First Out (pierwszy

przyszedł, pierwszy obsłużony);

LIFO – Last In First Out (ostatnie

zgłoszenie obsłużone jako pierwsze);

- losowa kolejność obsługi;

- priorytet niektórych zgłoszeń.

rozmiar dopuszczalnej kolejki:

ograniczona;

nieograniczona.

 możliwość niedokończenia obsługi przez
stanowisko obsługi
 możliwość opuszczenia systemu po
oczekiwaniu w kolejce przez pewien czas
 możliwość opuszczania systemu bez
czekania

Problem „ogonków”

Problem „ogonków”

Zakładamy, że mamy pewne

„

urządzenie

urządzenie

”

”

mogące świadczyć

określone usługi w stosunku do
zgłaszających się jednostek
(np. centrala telefoniczna, kasa,
okienko pocztowe itp.)

 

 

Każda jednostka zgłaszająca się do
urządzenia

U

U w celu

otrzymania określonej usługi musi stanąć w
ogonku, jeśli w toku obsługiwania znajduje
się już inna jednostka.
Dopiero gdy obsłużona jednostka opuści
urządzenie, następna jednostka czekająca w
ogonku będzie mogła być obsłużona.
Tego rodzaju urządzenie nazywamy

jednym kanałem obsługi.

jednym kanałem obsługi.

„OGONEK

”

OBSŁUGA

WE

WY

Problem „ogonków”

Problem „ogonków”

Urządzenie wielokanałowe

Urządzenie wielokanałowe

Jednostka czeka na obsługę w kolejce tylko

wtedy, gdy
wszystkie kanały są już zajęte obsługiwaniem
innych
jednostek.
Może się zdarzyć, że przy małej ilości
zgłoszeń powstanie
kolejka czekających kanałów obsługi.

OGONEK

WE

OBSŁUGA

OBSŁUGA

OBSŁUGA

WY

Problem „ogonków”

Problem „ogonków”

klienci

Stanowis
ka
obsługi

Opuszczenie
systemu

Równoległe stanowiska
obsługi

Problem „ogonków”

Problem „ogonków”

klienci

Stanowisko

obsługi

klienci

Stanowisko

obsługi

Szeregowe stanowiska obsługi

Opuszcze

nie

systemu

Problem „ogonków”

Problem „ogonków”

Analiza funkcjonowania

Analiza funkcjonowania

urządzeń obsługujących

urządzeń obsługujących

• określona ilość kanałów
• nie można z góry określić momentu czasu

przybycia jednostki

• A

0

(t) prawdopodobieństwo, że między

momentami przybycia dwóch kolejnych

jednostek upłynie okres czasu t lub krótszy

• X – okres czasu upływający między dwoma

kolejnymi przybyciami

A

0

(t)=P(X t) dystrybuanta przybyć



W

W

0

0

(t)

(t)

prawdopodobieństwo zdarzenia

polegające na
tym, że między dwoma kolejnymi
przybyciami
upłynie okres czasu dłuższy niż

t

t (w okresie

czasu
równym

t

t nie przybędzie do urządzenia ani

jedna
jednostka)

W

0

(t)=1- A

0

(t)=1- P(X t) =P(X>t)

gęstość prawdopodobieństwa



dt

t

dA

t

a

)

(

)

(

0



)

(

)

(

0

t

a

dt

t

dW





Analiza funkcjonowania urządzeń

obsługujących

















t

a

t

t

dt

t

a

dt

t

a

t

W

dt

t

a

t

A

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

0

0

0

Średni okres czasu

T

T

jaki mija między dwoma

kolejnymi przybyciami:







0

0

)

( dt

t

W

T

Analiza funkcjonowania urządzeń

obsługujących







0

)

( dt

t

ta

T





















0

0

0

0

0

0

)

(

)

(

)

(

dt

t

W

t

tW

dt

dt

t

dW

t

T

Zakładamy, że to wyrażenie =0,

Stąd średni czas między dwoma kolejnymi
przybyciami

:







0

0

)

( dt

t

W

T

Analiza funkcjonowania urządzeń

obsługujących

Średnia stopa przybyć

Średnia stopa przybyć

Założenia dotyczące przybyć jednostek w

celu uzyskania usługi rozpatrywanego
urządzenia:

a) Ilość przybyć w dowolnym czasie jest

niezależna od ilości przybyć w innym
okresie czasu;

b) Prawdopodobieństwo określonej ilości

przybyć zależy tylko od długości odcinka
czasu, nie zależy od jego początku i końca;

c) Wyklucza się możliwość dwóch lub więcej

przybyć w jednym i tym samym momencie
czasowym; prawdopodobieństwo jednego
przybycia w okresie czasu równe jest

T

1





t



t





Analiza funkcjonowania urządzeń

obsługujących

 

t

n

n

t

t

e

n

t

t

W

e

dt

t

dW

t

a

e

t

W



























!

)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

rozkład Poissona

prawdopodobieństwo, że w czasie

t

t

zdarzy się

n

n

przybyć

Analiza funkcjonowania urządzeń

obsługujących

B

B

0

0

(t)

(t) prawdopodobieństwo czasu obsługi

jednej jednostki.
(po analogicznych przekształceniach jak
poprzednio
otrzymujemy)

Średni czas trwania obsługi jednej

Średni czas trwania obsługi jednej

jednostki

jednostki

U

U







0

)

( dt

t

tb

U







0

0

)

( dt

t

V

U

Jeżeli

V

V

0

0

(t)

(t)

jest prawdopodobieństwem tego, że obsługa

jakiejś jednostki będzie trwała dłużej niż

t

t , to:

Analiza funkcjonowania urządzeń

obsługujących

U

1





Średnia stopa obsługi

Średnia stopa obsługi

Oznacza ile średnio jednostek obsługiwanych jest na
jednostkę czasu.

t

t

e

dt

t

dV

t

b

e

t

V



















)

(

)

(

)

(

0

0

Założenia dotyczące strumienia jednostek wychodzących z
obsługi są analogiczne do założeń poprzednich.

rozkład wykładniczy

Analiza funkcjonowania urządzeń

obsługujących























































1

1

,...

2

,

1

,

0

dla

0

1

n

n

n

n

n

n

P

P

n

P

P

Prawdopodobieństwo tego, że w ogonku będzie

n

n jednostek

Analiza funkcjonowania urządzeń

obsługujących

Intensywność obsługi klienta

Intensywność obsługi klienta



































0

1

1

0

P

Ponieważ:

Przeciętna stopa przybywania jest mniejsza niż
przeciętna
stopa obsługi.

Długość ogonka

Długość ogonka

– ilość jednostek

oczekujących +
jednostka znajdująca się w obsłudze

















0

)

(

n

n

nP

n

E

Analiza funkcjonowania urządzeń

obsługujących