Systemy kolejkowe

Systemy kolejkowe

ANALITYCZNE MODELE 

ANALITYCZNE MODELE 

SYSTEMÓW 

SYSTEMÓW 

KOLEJKOWYCH

KOLEJKOWYCH

prof. dr hab. Grażyna Karmowska

PRZYKŁADOWE SYSTEMY 

PRZYKŁADOWE SYSTEMY 

KOLEJKOWE

KOLEJKOWE

SYSTEM

SYSTEM

RODZAJ 

RODZAJ 

OBSŁUGI

OBSŁUGI

ZGŁOSZENI

ZGŁOSZENI

A

A

STANOWISK

STANOWISK

A OBSŁUGI

A OBSŁUGI

Sklep

Sprzedaż 

towaru 

Klient 

Sprzedawca / 

kasa 

Port

Wyładunek  Statek 

Miejsce 

wyładunku 

Lotnisko

Lądowanie 

S

amolot 

Pas startowy 

Park 
maszynowy 

Naprawa 
maszyny 

Uszkodzona 
maszyna 

Konserwator 

Centrala 
telefoniczna 

Połączenie 
telefoniczn

e 

Klient 

Linia 
telefoniczna 

Gabinet 

lekarski 

Porada 

lekarska 

Pacjent 

Lekarz 

Studio 

fryzjerskie 

Strzyżenie  Klient 

Fryzjer 

RODZAJE POPULACJI, 

RODZAJE POPULACJI, 

Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ 

Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ 

KLIENCI

KLIENCI

•

POPULACJA SKOŃCZONA

POPULACJA SKOŃCZONA 
O systemie ze skończoną liczbą klientów 
mówi się wtedy, kiedy 

od liczby klientów

od liczby klientów 

obsługiwanych i oczekujących na obsługę 

zależy 

zależy 

w istotny sposób 

w istotny sposób 

rozmiar populacji

rozmiar populacji

 

 

nie będącej w systemie

nie będącej w systemie

 

 

(np. system – sala wykładowa; klienci – 

przepalające się żarówki; stanowisko obsługi 
– pan Zbyszek wymieniający żarówki)

 

 

•

POPULACJA NIESKOŃCZONA

POPULACJA NIESKOŃCZONA 
System z nieskończoną liczbą klientów to 
taki system, w którym 

liczba klientów 

liczba klientów 

poza systemem

poza systemem (tzn. mogących 
potencjalnie wejść do systemu) 

nie zależy 

nie zależy 

od liczby klientów

od liczby klientów obsługiwanych i 
oczekujących na obsługę 

    (np. system - sieć telefoniczna na Wydziale 

o dużej możliwości łączenia rozmów; klienci – 
pracownicy Wydziału)

RODZAJE POPULACJI, 

RODZAJE POPULACJI, 

Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ KLIENCI

Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ KLIENCI

ORGANIZACJA KOLEJKI

ORGANIZACJA KOLEJKI

Określony zestaw reguł, zgodnie z którym 
ustala się:
liczbę kolejek,
kolejność obsługiwanych klientów:

FIFO – First In First Out (pierwszy 

przyszedł, pierwszy obsłużony);

LIFO – Last In First Out (ostatnie 

zgłoszenie obsłużone jako pierwsze);

- losowa kolejność obsługi;

- priorytet niektórych zgłoszeń.

rozmiar dopuszczalnej kolejki:

ograniczona;

nieograniczona.

 możliwość niedokończenia obsługi przez 
stanowisko    obsługi
 możliwość opuszczenia systemu po 
oczekiwaniu w        kolejce przez pewien czas
 możliwość opuszczania systemu bez 
czekania

Problem „ogonków”

Problem „ogonków”

Zakładamy, że mamy pewne

 

„

urządzenie

urządzenie

”

”

 

mogące świadczyć 

określone usługi w stosunku do 
zgłaszających się jednostek 
(np. centrala telefoniczna, kasa, 
okienko pocztowe itp.)

 

 

Każda jednostka zgłaszająca się do 
urządzenia 

U 

U w celu 

otrzymania określonej usługi musi stanąć w 
ogonku, jeśli w toku obsługiwania znajduje 
się już inna jednostka.
Dopiero gdy obsłużona jednostka opuści 
urządzenie, następna jednostka czekająca w 
ogonku będzie mogła być obsłużona.
Tego rodzaju urządzenie nazywamy

 

jednym kanałem obsługi.

jednym kanałem obsługi.

„OGONEK

”

OBSŁUGA

WE

WY

Problem „ogonków”

Problem „ogonków”

Urządzenie wielokanałowe

Urządzenie wielokanałowe

 

Jednostka czeka na obsługę w kolejce tylko 

wtedy, gdy
wszystkie kanały są już zajęte obsługiwaniem 
innych 
jednostek.  
Może się zdarzyć, że przy małej ilości 
zgłoszeń powstanie 
kolejka czekających kanałów obsługi.

OGONEK

WE

OBSŁUGA

OBSŁUGA

OBSŁUGA

WY

Problem „ogonków”

Problem „ogonków”

klienci

Stanowis
ka 
obsługi

Opuszczenie
systemu

Równoległe stanowiska 
obsługi

Problem „ogonków”

Problem „ogonków”

klienci

Stanowisko

 obsługi

klienci

Stanowisko

obsługi

Szeregowe stanowiska obsługi

Opuszcze

nie 

systemu

Problem „ogonków”

Problem „ogonków”

Analiza funkcjonowania 

Analiza funkcjonowania 

urządzeń obsługujących

urządzeń obsługujących

• określona ilość kanałów
• nie można z góry określić momentu czasu 

przybycia jednostki

• A

0

(t) prawdopodobieństwo, że między 

momentami przybycia dwóch kolejnych 

jednostek upłynie okres czasu t lub krótszy

• X – okres czasu upływający między dwoma 

kolejnymi przybyciami

  A

0

(t)=P(X    t)   dystrybuanta przybyć



W

W

0

0

(t)

(t)

 

prawdopodobieństwo  zdarzenia 

polegające na 
tym, że  między dwoma kolejnymi 
przybyciami 
upłynie okres  czasu dłuższy niż 

t

t (w okresie 

czasu 
równym 

t

t nie przybędzie do urządzenia ani 

jedna 
jednostka)

W

0

(t)=1- A

0

(t)=1- P(X    t) =P(X>t)

gęstość prawdopodobieństwa



dt

t

dA

t

a

)

(

)

(

0



)

(

)

(

0

t

a

dt

t

dW





Analiza funkcjonowania urządzeń 

obsługujących

















t

a

t

t

dt

t

a

dt

t

a

t

W

dt

t

a

t

A

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

0

0

0

Średni okres czasu

 T

T

 

 

jaki mija między dwoma 

kolejnymi przybyciami:







0

0

)

( dt

t

W

T

Analiza funkcjonowania urządzeń 

obsługujących







0

)

( dt

t

ta

T





















0

0

0

0

0

0

)

(

)

(

)

(

dt

t

W

t

tW

dt

dt

t

dW

t

T

Zakładamy, że to wyrażenie =0, 

Stąd średni czas między dwoma kolejnymi 
przybyciami

:







0

0

)

( dt

t

W

T

Analiza funkcjonowania urządzeń 

obsługujących

Średnia stopa przybyć

Średnia stopa przybyć

 

Założenia dotyczące przybyć jednostek w 

celu uzyskania usługi rozpatrywanego 
urządzenia:

a) Ilość przybyć w dowolnym czasie jest 

niezależna od ilości przybyć w innym 
okresie czasu;

b) Prawdopodobieństwo określonej ilości 

przybyć zależy tylko od długości odcinka 
czasu, nie zależy od jego początku i końca;

c) Wyklucza się możliwość  dwóch lub więcej 

przybyć w jednym i tym samym momencie 
czasowym; prawdopodobieństwo jednego 
przybycia w okresie czasu    równe jest

  

T

1





t



t





Analiza funkcjonowania urządzeń 

obsługujących

 

t

n

n

t

t

e

n

t

t

W

e

dt

t

dW

t

a

e

t

W



























!

)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

rozkład Poissona

prawdopodobieństwo, że w czasie

 t

t

  

zdarzy się

 n 

n 

przybyć

Analiza funkcjonowania urządzeń 

obsługujących

 

B

B

0

0

(t)

(t) prawdopodobieństwo czasu obsługi 

jednej jednostki.
(po analogicznych przekształceniach jak 
poprzednio
 otrzymujemy)

 

Średni czas trwania obsługi jednej 

Średni czas trwania obsługi jednej 

jednostki

jednostki 

U

U







0

)

( dt

t

tb

U







0

0

)

( dt

t

V

U

Jeżeli

 V

V

0

0

(t)

(t)

 

jest prawdopodobieństwem tego, że obsługa

 jakiejś jednostki będzie trwała dłużej niż 

t 

t , to: 

Analiza funkcjonowania urządzeń 

obsługujących

U

1





Średnia stopa obsługi

Średnia stopa obsługi

Oznacza ile średnio jednostek obsługiwanych jest na
 jednostkę czasu.

 

 

t

t

e

dt

t

dV

t

b

e

t

V



















)

(

)

(

)

(

0

0

Założenia dotyczące strumienia jednostek wychodzących z 
obsługi są analogiczne do założeń poprzednich.

rozkład wykładniczy

Analiza funkcjonowania urządzeń 

obsługujących























































1

1

,...

2

,

1

,

0

   

dla

     

0

1

n

n

n

n

n

n

P

P

n

P

P

Prawdopodobieństwo tego, że w ogonku będzie 

n

n jednostek 

Analiza funkcjonowania urządzeń 

obsługujących

Intensywność obsługi klienta 

Intensywność obsługi klienta 



































0

1

1

0

P

Ponieważ:

Przeciętna stopa przybywania jest mniejsza niż 
przeciętna 
stopa obsługi.

Długość ogonka 

Długość ogonka 

– ilość jednostek 

oczekujących +
 jednostka znajdująca się w obsłudze

















0

)

(

n

n

nP

n

E

Analiza funkcjonowania urządzeń 

obsługujących