Praktyczne wykorzystanie

Twierdzenia Talesa

Wykonała:

mgr Katarzyna Kostrowska

Tales z Miletu

Tales urodził się w Milecie, stolicy starożytnej

greckiej prowincji Jonia, położonej na zachodnim

wybrzeżu Azji Mniejszej, na terytorium

należącym współcześnie do Turcji, około 620

r. p.n.e. Uważa się go za pierwszego z „siedmiu

mędrców”, czyli uczonych mężów żyjących na

przełomie VI i VI wieku przed narodzeniem

Chrystusa. Lista siedmiu mędrców różniła się w

zależności od miejsca, ale każdy z nich cieszył

się wielkim uznaniem w swym rodzinnym

mieście i zapamiętany był dzięki

charakterystycznej maksymie. Ta, przypisywana

Talesowi, brzmiała: „Nadmierna pewność siebie

prowadzi do klęski”. Tales zmarł, jak się

przypuszcza, około roku 540 p.n.e. Niektórzy

historycy nauki uważają Talesa z Miletu za

postać mityczną, podobnie jak Jazona, Perseusza

czy innych herosów; postać Talesa symbolizuje

okoliczności, w jakich tworzono podstawy

ówczesnej wiedzy i filozofii i jest traktowania

jako spersonifikowany nośnik pewnych idei

.

Tales z Miletu –

ASTRONOMIA

W wieku XIX wykazano, że całkowite zaćmienie Słońca,

które zostało przepowiedziane przez Talesa, miało

faktycznie miejsce 28 maja 585 r. p.n.e. Doprowadziło ono

wówczas do zaprzestania bitwy między armiami Lidii

(krainy znajdującej się obecnie w zachodniej części Azji

Mniejszej) i Medii (krainy wchodzącej obecnie w skład

terytorium północno-zachodniego Iranu). Przepowiednia ta

przyczyniła się do wzmocnienia reputacji Talesa jako

astronoma. Jednakże dzisiaj sądzi się, że Tales nie posiadał

odpowiedniej wiedzy, by określić dokładnie rozmiary cienia

Księżyca oraz miejsca, w którym ten cień będzie padał.

Tales z Miletu –

GEOMETRIA

Talesa uważa się powszechnie za twórcę abstrakcyjnej

geometrii w jej czysto dedukcyjnej postaci, jaką rozwinąć

miał później Euklides. Wprowadzone przez niego metody

dedukcyjne stanowiły wielki postęp w stosunku do

przybliżonych uogólnień podawanych przez uczonych

egipskich czy babilońskich. Mówi się, że Tales wykorzystał

swą wiedzę geometryczną do podawania odległości od

brzegu, w jakiej znajdował się statek płynący po morzu oraz

do obliczania wysokości piramid w Egipcie.

Twierdzenia

geometryczne Talesa

Zgodnie z przekazami starożytnych, a w szczególności greckiego filozofa Proklosa, działającego w V
w. p.n.e., Talesowi przypisuje się następujące twierdzenia geometryczne:
1. Średnica dzieli okrąg na połowy.
2. Dwa kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.
3. Kąty wierzchołkowe, czyli kąty naprzeciw siebie, powstałe na skutek przecięcia dwóch linii
prostych, są równe.
4. Kąt wpisany w okrąg i oparty na jego średnicy jest kątem prostym.
5. Jeżeli w dwóch trójkątach bok i przyległe do niego kąty są równe, to te trójkąty są przystające.

Twierdzenie Talesa

Jeżeli ramiona kąta lub ich przedłużenia przetniemy

dwiema prostymi równoległymi, to długości

odcinków, w wyznaczonych przez te proste na

jednym ramieniu kąta lub jego przedłużeniu, są

proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków

wyznaczonych przez te proste, na drugim ramieniu

kąta lub na jego przedłużeniu.

TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA

TALESA

Jeżeli ramiona kąta lub ich przedłużenie przetniemy

dwiema prostymi i długości odcinków wyznaczonych

przez te proste na jednym ramieniu kąta lub jego

przedłużeniu są proporcjonalne do długości

odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kata

lub jego przedłużeniu, to te proste są równoległe.

Twierdzenie Talesa i

twierdzenie odwrotne do

Talesa

Jeżeli , to
Jeżeli , to

Jeżeli , to Jeżeli
, to

ZADANIA

Zadanie 1

Z odległości 5 m wykonano zdjęcie człowieka
mającego 170 cm wzrostu, aparatem, którego długość
obiektywu w chwili wykonania zdjęcia była równa 0,1
m. Oblicz, jaką wysokość ma obraz tego człowieka na
fotografii.

AB – wysokość osoby
A’B’ – wysokość
obrazu tej osoby na
fotografii

Odp. Obraz człowieka na fotografii ma
wysokość 3,4 cm

5 m

/

x

=

8 m

/

20 m

100 m = 8 x / : 8

x = 12,5 m – szerokość rzeki

Odp. Rzeka ma szerokość 12,5 m.

Zadanie 2

Jacek i Wacek stoją na przeciwnych brzegach

rzeki.
Korzystając z danych na rysunku, oblicz szerokość
rzeki.

x

/

36 m

=

2 m

/

12 m

12 x =

72 m

x = 6 m – wysokość korony drzewa

6 + 2 = 8 m – wysokość drzewa

Odp. Drzewo ma 8 m wysokości.

Zadanie 3
Oblicz wysokość drzewa na podstawie
danych

zamieszczonych na

rysunku.

Zadanie 4

Oblicz szerokość rzeki na podstawie danych

zamieszczonych na
rysunku

3,2 m

/

2 m

=

x

/

30 m

2 x = 96 m

x = 48 m – szerokość rzeki

Odp. Szerokość rzeki wynosi 48 m.

Tales z Miletu będąc już w podeszłym wieku wybrał

się do Egiptu, gdzie zadziwił wszystkich metodą

mierzenia wysokości piramid za pomocą długości

cienia.

Zadanie 5

Oblicz wysokość piramidy Cheopsa, mając dane : długość

krawędzi podstawy – 230 m, długość cienia piramidy – 250

m, długość użytego drąga – 3 m, długość cienia drąga – 7 m

0,5 * 230 m + 250 m = 365 m – długość połowy podstawy i
cienia

3 m

/

7 m

=

x

/

365 m

1095 = 7 x /:7

x  156,43 m
Odp. Piramida Cheopsa ma wysokość 156,43 m.

Zadanie 6
Dom o szerokości 15 m sfotografowano aparatem,
którego odległość soczewki od błony fotograficznej jest
równa 8 cm. Oblicz odległość aparatu od domu, jeżeli
szerokość domu na zdjęciu jest równa 10 cm.

1500

/

x

=

10

/

8

12000 = 10 x

x = 1200 cm = 12 m

Odp. Odległość aparatu od domu wynosi 12 m.

Zadanie 7
W skansenie żuraw studzienny. Jego
dźwignię AB podparto w punkcie C tak, że ramiona
dźwigni mają długości: AC= 2,4 i CB= 7,2 m. O ile
metrów opuści się koniec dźwigni B, gdy koniec A
podniesie się na wysokość 4 metrów.

7,2

m

/

2,4 m

=

x

/

4 m

28, 8 = 2,4x/: 2,4

x = 12m

Odp. Koniec dźwigni B opuści się o 12 m.

Zadanie 8

Maszt wysok0ości 5 m rzuca cień długości 7,5 m. W tym

samym czasie w tej samej miejscowości pewien budynek

rzuca cień długości 36 m. Jaką wysokość ma ten

budynek.

X

/

36 m

=

5 m

/

7,5 m

2,5 x= 180

X= 24 m

Odp. Budynek ma wysokość 24 m.

Zadanie 9
Zwiń kartkę papieru w rurkę. Jakiej wielkości przedmioty
można obejrzeć przez tę rurkę z odległości 100 metrów,
jeżeli rurka ma długość 20 cm , a średnicę 2 cm?

x

/

100 m

=

0,02 m

/

0,2 m

0,2 = 2 /: 0,2

x = 10 m

Odp. Wielkość przedmiotów z odległości 100 m
wynosi 10 m.

Zadanie 10

Drabina o długości 2,5 m po oparciu o ścianę domu sięga

na wysokość 2 m.

2,5 m

/

2 m

=

3,5 m

/

x

2,5 x = 7 m /: 2,5
x= 2,8 m

Odp. Drabina sięga na wysokość 2,8 m.

a) Jak wysoko sięga drabina o długości 3,5 m, jeśli jest
ustawiona pod tym

samym kątem?

2,5 m

/

2m

=

x

/

1,8 m

4,5 m = 2 x /: 2
x = 2,25 m

Odp. Długość drabiny wynosi 2,25 m.

b) Jaką długość ma drabina, jeśli ustawiona pod
tym samym kątem sięga na wysokość 1,8 m?

Bibliografia

• Matematyka – podręcznik dla liceum ogólnokształcącego 1 wyd.

Nowa Era –

W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek
• Matematyka – podręcznik dla liceum ogólnokształcącego 1 wyd.

Podkowa -

A. Cewe, M. Krawczyk, M. Kruk
• Matematyka – podręcznik dla liceum ogólnokształcącego 1 wyd.

Nowik -

S. Zieleń
• Multimedialna Encyklopedia nauki wyd. AMOS