ZDANIE

ZDANIE

ZDANIE

ZDANIE

Zdaniem w sensie logicznym

Zdaniem w sensie logicznym

jest takie wyrażenie, które jest

jest takie wyrażenie, które jest

prawdziwe albo fałszywe.

prawdziwe albo fałszywe.

ZDANIE

ZDANIE

Wyrażenie jest prawdziwe, gdy

Wyrażenie jest prawdziwe, gdy

opisuje rzeczywistość tak, jak się

opisuje rzeczywistość tak, jak się

ona ma.

ona ma.

Wyrażenie jest fałszywe, gdy opisuje

Wyrażenie jest fałszywe, gdy opisuje

rzeczywistość nie tak, jak się ona

rzeczywistość nie tak, jak się ona

ma.

ma.

ZDANIE

ZDANIE

Prawdę oraz fałsz nazywamy

Prawdę oraz fałsz nazywamy

wartościami logicznymi, dlatego

wartościami logicznymi, dlatego

możemy powiedzieć, że zdaniem

możemy powiedzieć, że zdaniem

w sensie logicznym jest takie

w sensie logicznym jest takie

wyrażenie, które ma wartość

wyrażenie, które ma wartość

logiczną.

logiczną.

ZDANIE

ZDANIE

Wartość logiczna zdania jest czymś

Wartość logiczna zdania jest czymś

obiektywnym,

obiektywnym,

to znaczy

to znaczy

nie zależy od poglądów tej czy innej

nie zależy od poglądów tej czy innej

osoby.

osoby.

Od tego, czy ktoś dane zdanie

Od tego, czy ktoś dane zdanie

uważa za prawdziwe, czy fałszywe,

uważa za prawdziwe, czy fałszywe,

nie zmienia się wartość logiczna

nie zmienia się wartość logiczna

zdania.

zdania.

ZDANIE

ZDANIE

ZDANIA SYNTETYCZNE

ZDANIA SYNTETYCZNE

Zdania, których wartość logiczna nie

Zdania, których wartość logiczna nie

jest przesądzona przez samo

jest przesądzona przez samo

znaczenie występujących w nich słów.

znaczenie występujących w nich słów.

„

„

Wrocław leży nad Odrą.”

Wrocław leży nad Odrą.”

„

„

Jaś jest studentem prawa”

Jaś jest studentem prawa”

ZDANIE

ZDANIE

ZDANIA NIESYNTETYCZNE

ZDANIA NIESYNTETYCZNE

O wartości logicznej niektórych

O wartości logicznej niektórych

zdań przesądza samo znaczenie

zdań przesądza samo znaczenie

użytych w nich słów.

użytych w nich słów.

ZDANIE

ZDANIE

ZDANIA ANALITYCZNE

ZDANIA ANALITYCZNE

Zdania, których prawdziwość

Zdania, których prawdziwość

przesądzona jest ze względu na samo

przesądzona jest ze względu na samo

znaczenie użytych w nich słów.

znaczenie użytych w nich słów.

„

„

Jan jest mężem Zosi wtedy i tylko

Jan jest mężem Zosi wtedy i tylko

wtedy, gdy Zosia jest żoną Jana.”

wtedy, gdy Zosia jest żoną Jana.”

ZDANIE

ZDANIE

ZDANIA

ZDANIA

WEWNĘTRZNIE KONTRADYKTORYCZNE

WEWNĘTRZNIE KONTRADYKTORYCZNE

Zdania, których fałszywość przesądzona

Zdania, których fałszywość przesądzona

jest ze względu na samo znaczenie

jest ze względu na samo znaczenie

użytych w nich słów.

użytych w nich słów.

„

„

Niektórzy studenci nie są studentami.”

Niektórzy studenci nie są studentami.”

„

„

Prawo niesprawiedliwe nie jest prawem.”

Prawo niesprawiedliwe nie jest prawem.”

ZDANIE

ZDANIE

Wyrażeniem niezupełnym

Wyrażeniem niezupełnym

jest takie wyrażenie, które nie jest zdaniem

jest takie wyrażenie, które nie jest zdaniem

w sensie logicznym, ale które w określonej

w sensie logicznym, ale które w określonej

sytuacji funkcjonuje tak jak zdanie w sensie

sytuacji funkcjonuje tak jak zdanie w sensie

logicznym, gdyż osoby posługujące się nim

logicznym, gdyż osoby posługujące się nim

zdają sobie sprawę

zdają sobie sprawę

ze stosownych jego uzupełnień.

ze stosownych jego uzupełnień.

„

„

To był trudny egzamin.”

To był trudny egzamin.”

ZDANIE

ZDANIE

Funkcją zdaniową

Funkcją zdaniową

jest takie wyrażenie zawierające

jest takie wyrażenie zawierające

co najmniej jedną zmienną wolną,

co najmniej jedną zmienną wolną,

które po wstawieniu za wszystkie

które po wstawieniu za wszystkie

występujące w nim zmienne wolne

występujące w nim zmienne wolne

stosownych wyrażeń przekształca

stosownych wyrażeń przekształca

się w zadanie w sensie logicznym.

się w zadanie w sensie logicznym.

„X jest studentem.”

ZDANIE

ZDANIE

Funkcja zdaniowa nie ma określonej wartości

Funkcja zdaniowa nie ma określonej wartości

logicznej, ale powstawać z niej mogą zdania

logicznej, ale powstawać z niej mogą zdania

prawdziwe czy fałszywe, i to w dwojaki sposób:

prawdziwe czy fałszywe, i to w dwojaki sposób:

1) przez konkretyzację, czyli podstawienie

1) przez konkretyzację, czyli podstawienie

odpowiednich wyrażeń na miejsce wszystkich

odpowiednich wyrażeń na miejsce wszystkich

występujących w danej funkcji zmiennych,

występujących w danej funkcji zmiennych,

2) przez kwantyfikację, czyli przez poprzedzenie

2) przez kwantyfikację, czyli przez poprzedzenie

funkcji kwantyfikatorem ogólnym czy

funkcji kwantyfikatorem ogólnym czy

szczegółowym, w odniesieniu do wszystkich

szczegółowym, w odniesieniu do wszystkich

występujących w danej funkcji zmiennych

występujących w danej funkcji zmiennych

nazwowych.

nazwowych.

ZDANIE

ZDANIE

Zdaniem prostym jest takie zdanie,

Zdaniem prostym jest takie zdanie,

w którym nie występuje żaden

w którym nie występuje żaden

spójnik.

spójnik.

„Staś zawsze siada w pierwszym rzędzie na

wykładzie z logiki.”

ZDANIE

ZDANIE

Zdaniem złożonym jest takie

Zdaniem złożonym jest takie

zdanie,

zdanie,

w którym występuje przynajmniej

w którym występuje przynajmniej

jeden spójnik.

jeden spójnik.

„

„

Jaś jest na wykładzie z logiki

Jaś jest na wykładzie z logiki

lub

lub

Staś jest na

Staś jest na

wykładzie z logiki.”

wykładzie z logiki.”

ZDANIE

ZDANIE

„

„

Jaś jest na wykładzie z logiki.”

Jaś jest na wykładzie z logiki.”

Nieprawda, że „Jaś jest na wykładzie z logiki”.

Nieprawda, że „Jaś jest na wykładzie z logiki”.

ZDANIE

ZDANIE

p ~ p

p ~ p

1 0

1 0

0 1

0 1

1)

1)

Jeżeli

Jeżeli

funktor negacji

funktor negacji

uzupełnia się

uzupełnia się

zdaniem prawdziwym, powstaje zdane

zdaniem prawdziwym, powstaje zdane

fałszywe;

fałszywe;

2)

2)

Jeżeli

Jeżeli

funktor negacji

funktor negacji

uzupełnia się

uzupełnia się

zdaniem fałszywym, powstaje zdanie

zdaniem fałszywym, powstaje zdanie

prawdziwe.

prawdziwe.

ZDANIE

ZDANIE

„

„

Jaś jest na wykładzie z logiki.”

Jaś jest na wykładzie z logiki.”

„

„

Staś jest na wykładzie z logiki.”

Staś jest na wykładzie z logiki.”

„

„

Jaś jest na wykładzie z logiki

Jaś jest na wykładzie z logiki

i

i

Staś jest na

Staś jest na

wykładzie z logiki.”

wykładzie z logiki.”

ZDANIE

ZDANIE

Koniunkcja

Koniunkcja

p q p · q

p q p · q

1 1 1

1 1 1

1 0 0

1 0 0

0 1 0

0 1 0

0 0 0

0 0 0

Warunkiem wystarczającym i zarazem

Warunkiem wystarczającym i zarazem

koniecznym prawdziwości koniunkcji jest

koniecznym prawdziwości koniunkcji jest

prawdziwość obu zdań składowych.

prawdziwość obu zdań składowych.

Natomiast fałszywość choćby jednego zdania

Natomiast fałszywość choćby jednego zdania

składowego jest warunkiem wystarczającym

składowego jest warunkiem wystarczającym

fałszywości koniunkcji.

fałszywości koniunkcji.

ZDANIE

ZDANIE

„

„

Jaś zna Kasię.”

Jaś zna Kasię.”

„

„

Jaś zna Stasia.”

Jaś zna Stasia.”

„

„

Jaś zna Kasię

Jaś zna Kasię

lub

lub

Jaś zna Stasia.”

Jaś zna Stasia.”

ZDANIE

ZDANIE

Alternatywa nierozłączna (zwykła).

Alternatywa nierozłączna (zwykła).

p q p

p q p

v

v

q

q

1 1 1

1 1 1

1 0 1

1 0 1

0 1 1

0 1 1

0 0 0

0 0 0

Warunkiem wystarczającym prawdziwości

Warunkiem wystarczającym prawdziwości

alternatywy zwykłej jest prawdziwość choćby

alternatywy zwykłej jest prawdziwość choćby

jednego argumentu zdaniowego (prawdziwość

jednego argumentu zdaniowego (prawdziwość

obu zdań składowych nie jest konieczna).

obu zdań składowych nie jest konieczna).

Warunkiem wystarczającym i zarazem

Warunkiem wystarczającym i zarazem

koniecznym fałszywości alternatywy zwykłej

koniecznym fałszywości alternatywy zwykłej

jest fałszywość obu zdań składowych.

jest fałszywość obu zdań składowych.

ZDANIE

ZDANIE

„

„

Zosia mieszka w akademiku.”

Zosia mieszka w akademiku.”

„

„

Zosia mieszka na stancji.”

Zosia mieszka na stancji.”

„

„

Zosia mieszka w akademiku

Zosia mieszka w akademiku

albo

albo

Zosia mieszka

Zosia mieszka

na stancji.”

na stancji.”

ZDANIE

ZDANIE

Alternatywa rozłączna.

Alternatywa rozłączna.

p q p

p q p

┴

┴

q

q

1 1 0

1 1 0

1 0 1

1 0 1

0 1 1

0 1 1

0 0 0

0 0 0

Jest prawdziwa, gdy jeden i tylko jeden z

Jest prawdziwa, gdy jeden i tylko jeden z

argumentów zdaniowych jest prawdziwy oraz

argumentów zdaniowych jest prawdziwy oraz

jeden i tylko jeden jest fałszywy.

jeden i tylko jeden jest fałszywy.

Dla fałszywości alternatywy rozłącznej

Dla fałszywości alternatywy rozłącznej

wystarcza, aby argumenty były tej samej

wystarcza, aby argumenty były tej samej

wartości (oba prawdziwe albo oba fałszywe).

wartości (oba prawdziwe albo oba fałszywe).

ZDANIE

ZDANIE

„

„

Kaziu mówi po angielsku.”

Kaziu mówi po angielsku.”

„

„

Zenek mówi po angielsku.”

Zenek mówi po angielsku.”

„

„

Bądź

Bądź

Kaziu mówi po angielsku,

Kaziu mówi po angielsku,

bądź

bądź

Zenek mówi

Zenek mówi

po angielsku.”

po angielsku.”

ZDANIE

ZDANIE

Dysjunkcja.

Dysjunkcja.

p q p

p q p

/

/

q

q

1 1 0

1 1 0

1 0 1

1 0 1

0 1 1

0 1 1

0 0 1

0 0 1

Jest prawdziwa, jeśli przynajmniej jedno

Jest prawdziwa, jeśli przynajmniej jedno

ze zdań składowych jest fałszywa.

ze zdań składowych jest fałszywa.

Prawdziwość obu zdań składowych jest

Prawdziwość obu zdań składowych jest

warunkiem wystarczającym fałszywości

warunkiem wystarczającym fałszywości

dysjunkcji.

dysjunkcji.

ZDANIE

ZDANIE

„

„

Marysia jest pływaczką.”

Marysia jest pływaczką.”

„

„

Marysia jest studentką.”

Marysia jest studentką.”

„

„

Marysia jest pływaczką

Marysia jest pływaczką

wtedy i tylko wtedy, gdy

wtedy i tylko wtedy, gdy

Marysia jest studentką.”

Marysia jest studentką.”

ZDANIE

ZDANIE

Równoważność.

Równoważność.

p q p

p q p

≡

≡

q

q

1 1 1

1 1 1

1 0 0

1 0 0

0 1 0

0 1 0

0 0 1

0 0 1

Jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy

Jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy

oba zdania składowe są tej samej

oba zdania składowe są tej samej

wartości logicznej, fałszywa – jeśli

wartości logicznej, fałszywa – jeśli

zdania są odmiennej wartości

zdania są odmiennej wartości

logicznej.

logicznej.

ZDANIE

ZDANIE

„

„

Wrocław jest miastem.”

Wrocław jest miastem.”

„

„

Opole jest miastem.”

Opole jest miastem.”

„

„

Jeżeli

Jeżeli

Wrocław jest miastem,

Wrocław jest miastem,

to

to

Opole jest

Opole jest

miastem.”

miastem.”

ZDANIE

ZDANIE

Implikacja.

Implikacja.

p q p

p q p

→

→

q

q

1 1 1

1 1 1

1 0 0

1 0 0

0 1 1

0 1 1

0 0 1

0 0 1

Implikacja jest fałszywa jedynie wtedy,

Implikacja jest fałszywa jedynie wtedy,

gdy pierwsze jej zdanie składowe

gdy pierwsze jej zdanie składowe

(poprzednik) jest prawdziwe, a drugie

(poprzednik) jest prawdziwe, a drugie

(następnik) - fałszywe. W pozostałych

(następnik) - fałszywe. W pozostałych

trzech przypadkach implikacja jest

trzech przypadkach implikacja jest

prawdziwa.

prawdziwa.

ZDANIE

ZDANIE

„

„

Jaś jest piłkarzem.”

Jaś jest piłkarzem.”

„

„

Jaś jest studentem.”

Jaś jest studentem.”

„

„

Ani

Ani

Jaś jest piłkarzem,

Jaś jest piłkarzem,

ani

ani

Jaś jest

Jaś jest

studentem.”

studentem.”

ZDANIE

ZDANIE

Binegacja.

Binegacja.

p q p ↓ q

p q p ↓ q

1 1 0

1 1 0

1 0 0

1 0 0

0 1 0

0 1 0

0 0 1

0 0 1

Warunkiem wystarczającym i zarazem

Warunkiem wystarczającym i zarazem

koniecznym prawdziwości binegacji jest

koniecznym prawdziwości binegacji jest

fałszywość obu zdań składowych.

fałszywość obu zdań składowych.

Natomiast prawdziwość choćby jednego

Natomiast prawdziwość choćby jednego

zdania składowego jest warunkiem

zdania składowego jest warunkiem

wystarczającym fałszywości binegacji.

wystarczającym fałszywości binegacji.

ZDANIE

ZDANIE

Wrocław leży nad Odrą.

Wrocław leży nad Odrą.

Nie jest tak, że Wrocław leży nad Odrą.

Nie jest tak, że Wrocław leży nad Odrą.

ZDANIA SPRZECZNE

ZDANIA SPRZECZNE

Zdanie Z

Zdanie Z

1

1

oraz Z

oraz Z

2

2

są wzajem sprzeczne

są wzajem sprzeczne

wtedy, gdy jedno z tych zdań jest negacją

wtedy, gdy jedno z tych zdań jest negacją

drugiego.

drugiego.

Z dwóch zdań wzajem sprzecznych jedno i

Z dwóch zdań wzajem sprzecznych jedno i

tylko jedno jest prawdziwe oraz jedno i

tylko jedno jest prawdziwe oraz jedno i

tylko jedno jest fałszywe.

tylko jedno jest fałszywe.

ZDANIE

ZDANIE

Wrocław leży nad Wisłą.

Wrocław leży nad Wisłą.

Wrocław leży nad Narwią.

Wrocław leży nad Narwią.

ZDANIA PRZECIWNE

ZDANIA PRZECIWNE

Zdanie Z

Zdanie Z

1

1

oraz Z

oraz Z

2

2

są wzajem przeciwne wtedy,

są wzajem przeciwne wtedy,

gdy wykluczone jest, aby oba były

gdy wykluczone jest, aby oba były

prawdziwe, chociaż dopuszczalne jest, że są

prawdziwe, chociaż dopuszczalne jest, że są

oba fałszywe.

oba fałszywe.

Z dwóch zdań przeciwnych co najwyżej jedno

Z dwóch zdań przeciwnych co najwyżej jedno

jest prawdziwe, a przynajmniej jedno jest

jest prawdziwe, a przynajmniej jedno jest

fałszywe. Nie jest przy tym wykluczone, że

fałszywe. Nie jest przy tym wykluczone, że

oba są fałszywe.

oba są fałszywe.

ZDANIE

ZDANIE

Nie jest tak, że Wrocław leży nad Wisłą.

Nie jest tak, że Wrocław leży nad Wisłą.

Nie jest tak, że Wrocław leży nad Narwią.

Nie jest tak, że Wrocław leży nad Narwią.

ZDANIA PODPRZECIWNE

ZDANIA PODPRZECIWNE

Zdanie Z

Zdanie Z

1

1

oraz Z

oraz Z

2

2

są wzajem podprzeciwne

są wzajem podprzeciwne

wtedy, gdy wykluczone jest, aby były oba

wtedy, gdy wykluczone jest, aby były oba

fałszywe, chociaż dopuszczalne jest, że

fałszywe, chociaż dopuszczalne jest, że

oba są prawdziwe.

oba są prawdziwe.

Z dwóch zdań podprzeciwnych co najwyżej

Z dwóch zdań podprzeciwnych co najwyżej

jedno jest fałszywe, a przynajmniej jedno

jedno jest fałszywe, a przynajmniej jedno

jest prawdziwe. Nie jest przy tym

jest prawdziwe. Nie jest przy tym

wykluczone, że oba są prawdziwe.

wykluczone, że oba są prawdziwe.

ZDANIE

ZDANIE

Jeżeli Jaś uczył się systematycznie

Jeżeli Jaś uczył się systematycznie

logiki, to zdał egzamin z logiki.

logiki, to zdał egzamin z logiki.

Jeżeli przed ekranem stoi wykładowca,

Jeżeli przed ekranem stoi wykładowca,

to za wykładowcą znajduje się ekran.

to za wykładowcą znajduje się ekran.

Jeżeli Jaś jest starszy od Stasia, to

Jeżeli Jaś jest starszy od Stasia, to

Staś jest młodszy od Jasia.

Staś jest młodszy od Jasia.

Jeżeli Jaś jest na ćwiczeniach i Staś

Jeżeli Jaś jest na ćwiczeniach i Staś

jest na ćwiczeniach, to Jaś jest na

jest na ćwiczeniach, to Jaś jest na

ćwiczeniach.

ćwiczeniach.

ZDANIE

ZDANIE

WYNIKANIE ZDAŃ

WYNIKANIE ZDAŃ

Ze zdania Z

Ze zdania Z

1

1

wynika zdanie Z

wynika zdanie Z

2

2

wtedy, gdy

wtedy, gdy

spełnione są łącznie dwa warunki:

spełnione są łącznie dwa warunki:



implikacja której poprzednik stanowi

implikacja której poprzednik stanowi

zdanie Z

zdanie Z

1

1

, a następnik zdanie Z

, a następnik zdanie Z

2

2

jest

jest

prawdziwa,

prawdziwa,



prawdziwość tej implikacji opiera się na

prawdziwość tej implikacji opiera się na

pewnym związku między tym, co stwierdza

pewnym związku między tym, co stwierdza

zdanie Z

zdanie Z

1

1

, a tym, co stwierdza zdanie Z

, a tym, co stwierdza zdanie Z

2

2

.

.

ZDANIE

ZDANIE

Jeżeli Jaś uczył się systematycznie

Jeżeli Jaś uczył się systematycznie

logiki, to zdał egzamin z logiki.

logiki, to zdał egzamin z logiki.

ZWIĄZEK PRZYCZYNOWY

ZWIĄZEK PRZYCZYNOWY

ZDANIE

ZDANIE

Jeżeli przed ekranem stoi

Jeżeli przed ekranem stoi

wykładowca, to za wykładowcą

wykładowca, to za wykładowcą

znajduje się ekran.

znajduje się ekran.

ZWIĄZEK STRUKTURALNY

ZWIĄZEK STRUKTURALNY

ZDANIE

ZDANIE

Jeżeli Jaś jest starszy od Stasia, to

Jeżeli Jaś jest starszy od Stasia, to

Staś jest młodszy od Jasia.

Staś jest młodszy od Jasia.

ZWIĄZEK ANALITYCZNY

ZWIĄZEK ANALITYCZNY

ZDANIE

ZDANIE

Jeżeli Jaś jest na ćwiczeniach i Staś

Jeżeli Jaś jest na ćwiczeniach i Staś

jest na ćwiczeniach, to Jaś jest na

jest na ćwiczeniach, to Jaś jest na

ćwiczeniach.

ćwiczeniach.

ZWIĄZEK LOGICZNY

ZWIĄZEK LOGICZNY

ZDANIE

ZDANIE

Gdy ze zdania Z

Gdy ze zdania Z

1

1

wynika

wynika

zdanie Z

zdanie Z

2

2

, to zdanie Z

, to zdanie Z

1

1

jest

jest

RACJĄ, a zdanie Z

RACJĄ, a zdanie Z

2

2

jest

jest

NASTĘPSTWEM.

NASTĘPSTWEM.

Prawdziwość RACJI przesądza

Prawdziwość RACJI przesądza

o prawdziwości następstwa.

o prawdziwości następstwa.