Zderzenia

 
 

Znane są początkowe pędy i energie kinetyczne cząstek przed zderzeniem.

Należy znaleźć wartości (w przypadku pędu – kierunek) tych wielkości po
zderzeniu.

W obszarze działają siły zderzeniowe (impulsowe). Natura tych sił może być różna;
są to siły grawitacyjne, elektromagnetyczne, jądrowe. Siły zewnętrzne są tak małe,
że można je pominąć i traktować zderzające się ciała jako

układ odosobniony

.

Z teorii Hertza (1881 r.) wynika, że czas zderzenia zależy od względnej prędkości kul
przed zderzeniem

.

 

1
5

t

kv

D =

gdzie:
k – zależy od właściwości materiału kul i jest proporcjonalne do ich promieni
 
Czas zderzenia np. protonu z jądrem atomowym wynosi około 10

-22

s,

zaś czas zderzenia komety ze Słońcem – setki lat.
 
Dla kul stalowych o średnicy d = 203 mm oraz prędkości v = 0,6 m/s wynosi
0,000675 s.
 
Dwie kule stalowe o promieniach równych promieniowi kuli ziemskiej,
poruszające się z prędkością v = 0,01 m/s mają czas zderzenia = 28 godzin.

t

D

t

D

Czas działania sił impulsowych nazywamy
czasem zderzenia

t

D

b – parametr
zderzenia

Rozważmy zderzenia w układzie odniesienia względem którego jedno ciało
spoczywa (v

2

= 0).

 

gdzie:

m

1

,

m

2



masy

punktów

materialnych



1

,



2

 kąty rozproszenia

      

I.      zasada zachowania energii

 
 

Jeśli , to zderzenia nazywamy doskonale sprężystymi.

 

2

,2

,2

1 1

1 1

2 2

0

2

2

2

mv

mv

mv

e

+ =

+

+

0

e =

      

II.      zasada zachowania pędu

,

,

1 1

1 1

2 2

0

mv

mv mv

+ =

+

r

r

r

,

,

1 1

1 1

1

2 2

2

,

,

1 1

1

2 2

2

:

0

cos

cos

: 0 0

sin

sin

x mv

mv

mv

y

mv

mv

j

j

j

j

+ =

+

+ =-

+

Jeśli b = 0 zderzenie nazywamy centralnym

. Wtedy , zaś

lub ,
zatem , zaś , .

2

0

j =

o

1

0

j =

o

1

180

j =

o

1

2

sin

sin

0

j

j

=

=

o

1

cos

1

j =�

2

cos

1

j =

Rozważmy przypadek (zderzenie centralne, doskonale sprężyste):

 

1

2

0;

0;

0;

0

b

e

j

j

=

=

=

=

Otrzymujemy dwa równania:

 

1.

    

2.

    

 

2

,2

,2

1 1

1 1

2 2

2

2

2

mv

mv

mv

=

+

,

,

1 1

1 1

2 2

mv mv mv

=

+

r

(

)

(

)

2

,2

,2

1

1

1

2 2

,

,

1

1

1

2 2

m v

v

mv

m v v

mv

�

-

=

�

�

-

=

�

�

Równania te dzielimy stronami
 
(podstawiamy do równania 2)

 

,

,

1

1

2

v v v

+ =

1

2

(

)

(

)

,

,

1 1

1 1

2 1

2 1

,

1

2

1

1

2

1

,

1

2

1

1

1

2

mv mv mv mv

m m v

m m v

m m

v

v

m m

=

+

+

-

=

+

-

=

+

,

1

2

1

1

2

1

2

1 1

2 1

,

2

m m

v

v v

m m

mv

mv

v

-

+

=

+

+

=

1 1

2 1

mv

mv

+

-

1

2

,

1 1

2

1

2

2

m m

mv

v

m m

+

=

+

Dyskusja:

1. m

1

= m

2

2. m

1

<< m

2

3. m

1

>> m

2

(

)

(

)

,

,

1 1

1 1

2 1

2 1

,

1

2

1

1

2

1

,

1

2

1

1

1

2

mv mv mv mv

m m v

m m v

m m

v

v

m m

=

+

+

-

=

+

-

=

+

,

1

2

1

1

2

1

2

1 1

2 1

,

2

m m

v

v v

m m

mv

mv

v

-

+

=

+

+

=

1 1

2 1

mv

mv

+

-

1

2

,

1 1

2

1

2

2

m m

mv

v

m m

+

=

+

Ad.1 v

1

’=0 v

2

’=v

1

Ad.2 m

1

<< m

2

 m

1

/m

2

 0

1

1

2

1

2

1

1

,

1









m

m

m

m

v

v

-v

1

1

2

2

1

2

1

1

,

2







m

m

m

m

v

v

0

Ad.3

- proszę przeanalizować samodzielnie

W przypadku, gdy

 

2

0

v �

,

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

,

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

m m

m

v

v

v

m m

m m

m

m m

v

v

v

m m

m m

-

=

+

+

+

-

=

+

+

+

Jaką część energii kinetycznej traci neutron (m

1

) przy zderzeniu centralnym z jądrem

atomowym (m

2

). Zakładamy, że .

 

2

0

v =

 początkowa energia kinetyczna neutronu

 energia kinetyczna neutronu po zderzeniu z jądrem

2

1 1

1

2

k

mv

e =

,

,2

1 1

1

2

k

mv

e =

,

1

2

1

1

1

2

m m

v

v

m m

-

=

+

Względny ubytek energii kinetycznej neutronu:

 

2

2

1

2

2

,2

1

'

,2

1 1

1 1

1

2

1

2

2

2

1

1

1 1

'

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

1

2

4

k

k

k

k

k

k

m m

v

mv

mv

m m

v

v

v

mv

mm

m m

e e

e

e e

e

�

�

-

�

�

-

+

-

�

�

=

= -

= -

-

=

+

Przy zderzeniu neutronu z jądrem:

'

2

4 1 206

0,02 (2%)

207

k

k

k

e e

e

-

��

=

�

'

2

4 2 1

0,88 (88%)

3

k

k

k

e e

e

-

��

=

�

ołowiu

deuteru

wodoru

'

2

4 1 1

1 (100%)

2

k

k

k

e e

e

-

��

=

�

( )

2

1 1

2 2

1

2

s

mv mv

v

m m

+

=

+

1

4

s

v =

1

2

1

1

2

'

m m

v

v

m m

-

=

+

1

1

'

2

v

v

=-

1

2

1

2

2

'

m

v

v

m m

=

+

2

1

'

2

v

v

=

1

2

3
4

1

4

v

v

v

v

=

=-

1

2

3

'

4

1

'

4

v

v

v

v

=-

=

Gdzie podziało się
pozostałe 8 J ???

Zderzenia niesprężyste (

  0)

 
 

1

2

1 1

2 2

1 1

2 2

2

2

2

1 1

2 2

2

2

2

M m m

mv mv

mv mv

Mv

v

M

mv

mv

Mv

e

= +

+

+

=

�

=

+

=

+

r

r

r

r

r

r

2

2

2

1 1

2

2

1 1

1 1

2 2

2

2 2

1 1

1 1

2

2

1

1 1

1

1 1

0

2

2

2

2

2

2

1

2

2

v

mv

Mv

mv

M mv mv

M

mv

mv

M

m

mv

m

mv

M

e

e

e

e

=

=

-

+

�

�

=

-

�

�

�

�

�

=

-

�

�

=

-

=

�

�

�

�

2

1

m

m

+ -

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

2

1

2

masa zredukowana

2

M

mm v

mm

m m

m m

v

e

m

e m

m

�

�

�

�

�

�

�

�

=

=

+

+

=

-

(

)

(

)

mv

m M V

mv

V

m M

m M

=

+

=

+

+

(

)

m M

gh

+

=

2

2 2

2

2

2 2

2

2

2

2(

)

2(

)

2(

)

2

V

mv

gh

m M

m M gh mv

m M gh m M

v

gh

m

m

=

+

+

=

+

+

=

=