Wykład 2 Jednoczynnikowa 

analiza wariancji

Metodologia i statystyka – 

kurs zaawansowany

dr S. Bedyńska

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

2

Co dzisiaj?

• Podstawy logiczne analizy wariancji

• Sposoby obliczeń oraz interpretacja sum kwadratów i 

średnich kwadratów dla efektu i błędu

• Statystyczny model eksploracyjny i jego interpretacja – 

przeprowadzania analiz w SPSS-ie

• Sposób weryfikacji hipotezy zerowej w jednoczynnikowej 

analizie wariancji – podejście eksploracyjne i konfirmacyjne

• Wizualizacja wyników

• Opis wyników

3

Testy statystyczne - konstrukcja

Każdy test statystyczny składa się z następujących 

charakterystycznych dla siebie elementów:

 

• Hipotezy zerowej i alternatywnej

• Statystyki, której rozkład teoretyczny jest dobrze znany 

i opisany 

• Rozkładu, który łączy wielkości statystyki i 

prawdopodobieństwa (można określić jak 

prawdopodobne jest uzyskanie takiej wartości statystyki 

przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa)

Stały element – poziom istotności
W psychologii przyjmuje się trzy poziomy graniczne 

p<0,05; p<0,01; p<0,001

Podstawy logiczne analizy 

wariancji

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

5

Jednoczynnikowa analiza wariancji

Rozszerzenie analizy testem t-Studenta:
• Porównujemy więcej niż dwie grupy 

niezależne

• Jedna zmienna niezależna – nazywana 

tutaj czynnikiem - jakościowa i ma więcej 
niż dwie kategorie

• Zmienna zależna, tak jak w teście t-

Studenta, ilościowa

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

6

Hipotezy 

• Hipoteza zerowa:  H

0:

  średnie w grupach 

są równe

– m

1

 = m

2

 = m

3

• Hipoteza alternatywna: H

1

  

– Nie wszystkie średnie grupowe są równe (co 

oznacza w praktyce, że co najmniej jedna 
średnia różni się od innej średniej)

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

7

Twórca analizy 
wariancji

Sir R.A. Fisher 

Matematyk, 
statystyk, badacz 
ewolucyjny

Duża czcionka 

jest 

prawdziwym 

lekarstwem na 

nudne teksty

Konsultacja ze 

statystykiem po 

wykonaniu eksperymentu 

jest jak sekcja zwłok. 

Można tylko powiedzieć 

jaka była przyczyna 

zejścia ale na reanimację 

jest już za późno

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

8

Skąd się bierze zmienność (wariancja) 

wyników

Zmienność między grupami może wynikać z:
• Oddziaływania zmiennej niezależnej
• Różnic indywidualnych – każda osoba jest inna i 

inaczej reaguje w sytuacji zadaniowej –u jednym 

pojawia się stres, pozostałe czują się 

zmotywowane – nie jest to jeden czynnik

• Błędy pomiaru

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

9

Rola badacza – wyjaśnianie 

zmienności

Przyglądamy się 
wynikom uczniów na 

sprawdzianie

3, 2, 5, 5, 3, 2, 5, 3, 2

Wprowadzamy zmienną 

liczba uczniów w klasie
mało

średnio dużo

2, 3, 5, 2, 3, 5, 2, 3, 5

Wprowadzamy zmienną 

liczba przedmiot

fizyka

biologia polski

2, 2, 2, 3, 3, 3,

5, 5, 5

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

10

Analiza wariancji – pomysł prosty, ale 

nowy

Wprowadzamy zmienną 

liczba uczniów w klasie
mało

średni

o

dużo

2, 3, 5, 2, 3, 5, 2, 3, 5

Wprowadzamy zmienną  

przedmiot

fizyka biologia polski

2, 2, 2, 3, 3, 3,

5, 5, 5

Gdy brak różnic między grupami 
to:

Brak zmienności 
międzygrupowej

Duża zmienność wewnątrzgrup

Gdy są różnice między grupami 
to:

…….. zmienność 
międzygrupowa

……… zmienność wewnątrzgrup

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

11

Jakie rodzaje zmienności możemy 

policzyć?

Wprowadzamy zmienną liczba uczniów 

w klasie
Mało
Średnia 4

Średnio
Średnia 4

Dużo
Średnia 4

2, 3, 5,

2, 3, 5,

2, 3, 5

Wprowadzamy zmienną przedmiot
 Średnia ogólna ocen=3,3

Fizyka
Średnia 2

Biologia
Średnia 3

Polski
Średnia 5

2, 2, 2,

3, 3, 3,

5, 5, 5

Zmienność wewnątrz 

grup

Zmienność 

międzygrupowa

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

12

Co robi analiza wariancji?

Analiza wariancji porównuje: 
•  oszacowanie wariancji międzygrupowej (czyli tej, która 

określa wielkość zróżnicowania średnich)

• oszacowanie wariancji wewnątrzgrupowej (nazywanej 

wariancją błędu)

Jaka jest wartość tej statystyki jeśli obie wariancje są 
identyczne?

Czy wartość statystyki F może być ujemna?

WG

MG

MS

MS

F 

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

13

Analogia

• Różnicę między średnimi w grupach możemy 

przyrównać do interesującego nas sygnału, zaś 
wariancję wewnątrz grup do szumu. Dopóki 
sygnał nie będzie silniejszy od szumu, nie 
usłyszymy go. Podobnie dopiero gdy wariancja 
międzygrupowa będzie odpowiednio duża, będzie 
się wyróżniać na tle wariancji wewnątrzgrupowej 
i będziemy mogli stwierdzić istnienie istotnego 
efektu.

Sposoby obliczeń oraz interpretacja 

sum kwadratów i średnich 

kwadratów dla efektu i błędu

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

15

Wariancja

Wariancja to statystyka, która określa zmienność, 

rozproszenie wyników wokół średniej

• Gdy wariancja równa 0 to wtedy wyniki są ………. 

rozproszone

• Gdy wariancja duża to wtedy wyniki są 

……………….rozproszone

• Gdy wyniki 2, 3, 4, 5, 6, to wtedy wariancja mała? duża
• Gdy wyniki 2, 2, 2, 2, 2, to wtedy wariancja mała?duża

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

16

Wariancja – krótkie przypomnienie

• Wariancja to 

średni kwadrat (MS)

• Wariancja to suma kwadratów (SS) 

dzielona przez ich liczbę

• W rzeczywistych obliczeniach wariancja 

to suma kwadratów (odchyleń wyników 
od średniej) dzielona przez liczbę stopni 
swobody (df)

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

17

Problem badawczy

• Nauczyciel języka angielskiego napisał na 

tablicy następujące zdanie:

– „

Woman without her man is nothing

". 

• Następnie poprosił uczniów, aby uzupełnili 

brakujące w zdaniu znaki interpunkcyjne.

• "Woman, without her man, is nothing." 

• "Woman! Without her, man is nothing."

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

18

Wariancja międzygrupowa

MG

MG

MG

df

SS

MS 

grup

 

liczba

 -

1

grup

 

z

 

średnie

 -

 

e)

równoliczn

(grupy 

 

grupie

 

 w

osób

 

liczba

- 

)

(

2

ogolna

k

k

df

M

n

n

M

M

SS

MG

k

k

MG













Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

19

Zmienność międzygrupowa

Grupa 1

Grupa 2

Grupa 3

3

2

6

4

3

7

5

1

5

M

1

=4

M

2

=2

M

3

=6

M

ogól

= 4

(4-4)

2

 

+

(2-4)

2 

 

+

(6-4)

2

 

+

Suma kwadratów

 

(SS)=(0+4+4)x

3

=

24

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

20

Wariancja międzygrupowa

12

2

24







MG

MG

MG

df

SS

MS

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

21

Stopnie swobody dla wariancji 

międzygrupowej

• Suma kwadratów dla zmienności 

międzygrupowej zależna jest od liczby 
porównywanych grup (im więcej tym większa)

– Stąd lepszym oszacowaniem będzie średni kwadrat MS 

(wariancja)

– SS dzielimy przez odpowiednią liczbę stopni swobody
– Liczba grup (k) – 1

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

22

Wariancja wewnątrzgrupowa, wariancja 

błędu – niewyjaśniona

WG

WG

WG

df

SS

MS 

badania

 

w

uczestnikó

 

liczba

 

- 

grup

 

liczba

 

-

grup

 

z

 

średnie

 

- 

grupach

nych 

poszczegól

 

 w

 wyniki

-

)

(

2

k

N

k

k

N

df

M

X

M

X

SS

WG

k

i

i

WG











Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

23

Wariancja wewnątrzgrupowa

Grupa 

1

Grupa 

2

Grupa 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

3

2

6

4

3

7

5

1

5

M

1

=4 M

2

=2 M

3

=6

Liczymy zmienność wyników
 dla każdej podgrupy 
w oparciu o jej średnią
 i sumujemy

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

24

Wariancja wewnątrzgrupowa

Grupa 

1

Grupa 

2

Grupa 3

(3-

4

) 

2

(2-

2

) 

2

(6-

6

) 

2

(4-

4

) 

2

(3-

2

) 

2

(7-

6

) 

2

(5-

4

) 

2

(1-

2

) 

2

(5-

6

) 

2

M

1

=4

M

2

=2

M

3

=6

1+0+1

+

0+1+1

+

0+1+1=

Suma kwadratów

(SS

wewnątrz

) =6

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

25

Wariancja wewnątrzgrupowa, wariancja 

błędu – niewyjaśniona

1

6

6

3

9

6











WG

WG

WG

df

SS

MS

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

26

Stopnie swobody dla wariancji 

wewnątrzgrupowej

• Suma kwadratów dla zmienności 

wewnątrzgrupowej zależna jest od liczby osób 
biorących udział w badaniu

– Stąd lepszym oszacowaniem będzie średni kwadrat MS 

(wariancja)

– SS dzielimy przez odpowiednią liczbę stopni swobody

• Liczba wszystkich uczestników badania – liczba grup

– df=9 osób-3 grupy

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

27

Graficzna wizualizacja wariancji 

wewnątrzgrupowej – wykres 

skrzynkowy

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

28

Graficzna wizualizacja wariancji 

wewnątrzgrupowej – wykres słupki 

błędu

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

29

Graficzna wizualizacja wariancji 

wewnątrzgrupowej – wykres rozrzutu

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

30

Porównujemy wariancję międzygrupową 

do wariancji wewnątrzgrupowej

12

1

12







WG

MG

MS

MS

F

F>1 szansa na istotny wpływ 
naszej zmiennej niezależnej na wyniki badania
Poziom istotności odczytujemy na podstawie 
dwóch rodzajów stopni swobody: międzygrupowych
 i wewnątrzgrupowych

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

31

Anova w SPSS-ie

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

32

Anova - wydruk

Jednoczynnikowa ANOVA

wynik

24,000

2

12,000

12,000

,008

6,000

6

1,000

30,000

8

Między grupami
Wewnątrz grup
Ogółem

Suma

kwadratów

df

Średni

kwadrat

F

Istotność

+

=

=

+

//

/

=

=

=

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

33

Anova – 

stopnie swobody

Jednoczynnikowa ANOVA

wynik

24,000

2

12,000

12,000

,008

6,000

6

1,000

30,000

8

Między grupami
Wewnątrz grup
Ogółem

Suma

kwadratów

df

Średni

kwadrat

F

Istotność

• Stopnie swobody międzygrupowe 

• Df między grupami = liczba grup-1

• Stopnie swobody wewnątrzgrupowe 

• Df wewnątrz grup = liczba badanych – liczba grup

• Stopnie swobody ogółem df ogółem= liczba badanych -1

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

34

Anova –zapis statystyk

Jednoczynnikowa ANOVA

wynik

24,000

2

12,000

12,000

,008

6,000

6

1,000

30,000

8

Między grupami
Wewnątrz grup
Ogółem

Suma

kwadratów

df

Średni

kwadrat

F

Istotność

Zapis statystyk zgodny ze standardem APA

F(2, 6)=12; p<0,01

Co to oznacza? Udało nam się wykazać różnice 

między średnimi grupowymi.

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

35

Dodatkowe opcje 1

Statystyki opisowe

wynik

3

4,0000

1,00000

,57735

3

2,0000

1,00000

,57735

3

6,0000

1,00000

,57735

9

4,0000

1,93649

,64550

1,00
2,00
3,00
Ogółem

N

Średnia

Odchylenie

standardowe

Błąd

standardowy

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

36

Analiza wariancji – założenia

•    Zbliżona liczebność w poszczególnych podgrupach 
(testy nieparametryczne –Chi)

•    Pomiary zmiennej zależnej powinny mieć rozkłady 

normalne we wszystkich grupach.

(test Kołmogorowa – Smirnowa lub Shapiro-Wilka)

•    Wariancje powinny być jednorodne w obrębie wszystkich  

  grup

(test Levene’a)

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

37

Dodatkowe opcje 2

Mocne testy równości średnich

wynik

10,286

2

4,000

,027

12,000

2

6,000

,008

Welch
Brown-Forsythe

Statystyka

a

df1

df2

Istotność

Asymptotyczny rozkład F

a. 

Jeśli założenie jednorodności wariancji nie jest spełnione zamiast 
klasycznej statystyki F powinniśmy podawać wartość Welcha (dla 
dużych prób) lub Browna Forsythe’a (dla małych prób)

Test jednorodności wariancji

wynik

,000

2

6

1,000

Test Levene'a

df1

df2

Istotność

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

38

Gdy wariancje niejednorodne….

Zapisujemy wynik analogicznie jak dla klasycznej analizy 

wariancji

Piszemy więc: „Ze względu na niejednorodne wariancję w  

grupach F-Levene’a(2, 21)=6,370; p<0,01 posługujemy się 

w analizie mocnymi testami równości średnich wybierając 

statystykę Browna-Forsythe’a. Na jego podstawie 

stwierdzamy Uzyskano istotne statystycznie różnice między 

grupami w ilości wymyślonych zdań zgodnych ze 

stereotypem F(2, 6)=12,00; p<0,01. 

Mocne testy równości średnich

wynik

10,286

2

4,000

,027

12,000

2

6,000

,008

Welch
Brown-Forsythe

Statystyka

a

df1

df2

Istotność

Asymptotyczny rozkład F

a. 

Test jednorodności wariancji

IQ1

6,370

2

21

,007

Test Levene'a

df1

df2

Istotność

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

39

Analiza wariancji – podsumowanie

• Porównujemy więcej niż dwie grupy
• Zmienna niezależna zwana tutaj czynnikiem jest jakościowa
• Zmienna zależna jest ilościowa

• Pełna nazwa takiej analizy:
Jednoczynnikowa analiza wariancji w schemacie 

międzygrupowym (bo porównujemy grupy niezależne)

• Ta analiza jest rozszerzeniem test T-Studenta dla prób 

niezależnych

• Hipoteza zerowa mówi – wszystkie średnie grupowe są równe

Sposób weryfikacji hipotezy zerowej 

w jednoczynnikowej analizie 

wariancji – podejście eksploracyjne i 

konfirmacyjne

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

41

Analiza wariancji – podejście 

eksploracyjne

• Gdy hipoteza badawcza jest niekierunkowa, 

wtedy stosujemy podejście eksploracyjne. 

• Jego kolejne kroki to:

Wynik analizy wariancji nieistotny

Wniosek: Nie ma różnic 

między grupami

istotny

Które dokładnie grupy 

różnią się?

Analizy

post-hoc

Wniosek: Różni się 

grupa 1 i 2 od 3

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

42

Testy post hoc – idea i rodzaje

• Podstawowa tabela analizy wariancji mówi nam 

tylko, czy są różnice między średnimi. Nie 
informuje nas o tym, które średnie się różnią. 

• Jak określić precyzyjnie pary różniących się 

średnich?

• Jaki test określa czy dwie średnie różnią się od 

siebie?

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

43

Testy post 

hoc - do 

wyboru do 

koloru

SPSS oferuje wiele testów post hoc. Jak wybrać?
• Testy liberalne – NIR, SNK
• Pośrednie – Duncan
• Konserwatywne - Scheffe, Tukey

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

44

Przy wyborze testu należy rozważyć:

Czy test kontroluje poziom błędu I i II rodzaju

• Konserwatywność – liberalność porównań

• Test konserwatywny ma bardzo małą moc

o Konserwatywne: 

Scheffe

, Bonfferoni (mało porównań), Tukey (dużo 

porównań)

o Liberalne: 

Duncan

,  NIR (w ostateczności), 

o Złoty środek: 

S-N-K (Student-Newman-Keuls)

, REGWQ (równe 

grupy), 

Czy jest odporny na złamanie założeń?

o Dobra wiadomość: prawie wszystkie testy „tolerują” 

odchylenia od rozkładu normalnego

o Zła wiadomość: wiele z nich nie tolerują złamania założenia 

o równoliczności grup i homogeniczności wariancji

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

45

Gdy złamane założenia…

• Gdy złamane założenie o równoliczności grup 

– używamy GT2 Hochberga (gdy równe wariancje) 
– testu Gabriela

• Gdy złamane założenie o równości wariancji

– T2 Tamhana (konserwatywny)
– Games-Howell (najwyższa moc, liberalny przy małych 

próbach, dobry przy nierównych grupach)

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

46

Testy post hoc - indeksy i interpretacja

• średnie, które się nie 

różnią mają te same 
indeksy

•  średnie, które się 

różnią mają inne 
indeksy

IQ1

Test Duncana

a

8 102,2500
8 102,8750
8

110,0000

,847

1,000

NTILES of GLOWA
3
1
2
Istotność

N

1

2

Podzbiór dla alfa = .05

Wyświetlane są średnie dla grup jednorodnych.

Wykorzystywana jest średnia harmoniczna
wielkości próby = 8,000.

a. 

Wielkość 

głowy

mała

przeciętna

duża

Średni IQ 102,8 a 110 b

102,2 

a

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

47

Porównania wielokrotne

Zmienna zależna: IQ1
Test Scheffe

-7,1250

3,18922

,107

,6250

3,18922

,981

7,1250

3,18922

,107

7,7500

3,18922

,074

-,6250

3,18922

,981

-7,7500

3,18922

,074

(J) NTILES of GLOWA
2
3
1
3
1
2

(I) NTILES of GLOWA
1

2

3

Różnica

średnich (I-J)

Błąd

standardowy

Istotność

Wielkość 

głowy

mała

przeciętna

duża

Średni IQ 102,8 

110  

102,2  

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

48

Porównania wielokrotne

Zmienna zależna: IQ1
Test NIR

-7,1250*

3,18922

,036

,6250

3,18922

,847

7,1250*

3,18922

,036

7,7500*

3,18922

,024

-,6250

3,18922

,847

-7,7500*

3,18922

,024

(J) NTILES of GLOWA
2
3
1
3
1
2

(I) NTILES of GLOWA
1

2

3

Różnica

średnich (I-J)

Błąd

standardowy

Istotność

Różnica średnich jest istotna na poziomie .05.

*. 

Wielkość 

głowy

mała

przeciętna

duża

Średni IQ 102,8a

110 b

102,2 

a

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

49

Testy post hoc - do wyboru do koloru?

• Konserwatywne testy post hoc - Scheffe, Tukey – stosujemy 

wtedy, gdy ogólna zależność jest silna i porównujemy dużą 
liczbę grup a zależy nam na uchwyceniu wyrazistych 
różnic

• Testy liberalne – NIR, SNK – stosujemy wtedy, gdy 

zależność jest bardzo słaba – na granicy istotności 
statystycznej. Jest wtedy szansa, że test post hoc w ogóle 
pokaże nam jakieś różnice średnich. 

• Pośrednie – Duncan – to jest złoty środek 

Metodologia i statystyka - 

kurs zaawansowany -  wykład 

2

50

Podsumowanie

• Analiza wariancji porównuje zróżnicowania średnich grupowych 

do zróżnicowania wewnątrz grup. 

• Dzięki temu możemy powiedzieć, czy grupy (więcej niż trzy) 

różnią się istotnie statystycznie. Aby jednak zinterpretować 

wynik musimy dokładnie określić, które pary średnich róznią się 

istotnie statystycznie. Służą temu testy post – hoc, odpowiedniki 

testów t-Studenta dla prób niezależnych

• Takie podejście jest nazywane eksploracyjnym, gdyż zaczynając 

analizy nie mamy hipotezy wskazującej dokładny układ wyników 

(pytanie niekierunkowe)

• Jeśli nie jest spełnione założenie o jednorodności wariancji 

musimy stosować mocne testy różnic, by ustalić, czy generalnie 

średnie się różnią. Jeśli testy te są istotne to stosujemy testy 

post-hoc.