.
.
NIEKTÓRE ROZKŁADY
ZMIENNYCH LOSOWYCH
. NIEKTÓRE ROZKŁADY
ZMIENNEJ LOSOWEJ
SKOKOWEJ
.
.
NIEKTÓRE ROZKŁADY
ZMIENNYCH LOSOWYCH
. NIEKTÓRE ROZKŁADY
ZMIENNEJ LOSOWEJ
SKOKOWEJ
.
.
Rozkład dwumianowy
(Bernoulliego)
R ozw ażm y w y nik badania jednej sztuki w y lo so w anej ze zbioru w y robó w , gdy jest
stosow ana klasy fi kacja alternaty w na na sztuki dobre i niedobre. F rakcję sztuk niedo bry ch w
zbiorze w y ro bów , nazy w ana w adliw ością tego zbio ru, oznacza się przez w . P raw do po do bieństw o
w y loso w ania sztuki niedobrej jest ró w ne w , a praw dopodo bieństw o w y lo so w ania sztuki do brej
jest ró w ne 1-w . J eżeli jest spełnio na podw ó jna nierów ność 0<w < 1 i sztukom niedobry m
przy porządko w ać w arto ść x
1
, a sztuko m dobry m w artość x
2
x
1
to w y nik badania w y lo sow anej
sztuki jest dw upunkto wą zm ienną losow ą X , przy jm ującą w arto ści x
1
i x
2
z
praw dopodo bieństw am i:
P X x
w
dla
w
P X x
w
(
)
(
)
1
2
0
1
1
W prakty ce przy jm uje się x
1
= 1 o raz x
2
= 0 i w ó w czas w y nik badania w y losow anej sztuki
jest zero- jedy nkową zm ienna loso w ą X o ro zkładzie określo ny m praw dopodo bieństw am i:
P X
w
dla
w
P X
w
(
)
(
)
1
0
1
0
1
W a r t oś ć o c z e k i w a n a i w a r i a n c j a z m i e n n e j l o s o w e j X o r o z kł a d z i e z e r o - j e d y n k o w y m
w y n o s zą o d p o w i e d n i o :
E X
w
V X
w
w
( )
( )
(
)
1
Z a kł a d a j ą c , ż e z p a r t i i w y r o b ó w o w a d l i w o ś c i w p o b r a n o p r ó b kę l o s o w ą p r o s t ą o l i c z n o ś c i
n s z t u k , w w y n i k u b a d ań p o s z c z e g ó l n y c h s z t u k u z y s k u j e s i ę w z a j e m n i e n i e z a l e ż n e z m i e n n e
l o s o w e X
1
, X
2
, . . . . , X
n
o j e d n a k o w y m r o z kł a d z i e z e r o - j e d y n k o w y m k aż d a . L i c z b a s z t u k
n i e d o b r y c h w p r ó b c e j e s t z m i e n ną l o s o w ą ( s t a t y s t y k ą ) Z o k r eś l o n ą w z o r e m :
Z
X
i
i
n
1
a c zę s t o ś ć z d a r z e n i a s z t u k a n i e d o b r a , c z y l i f r a k c j a s z t u k n i e d o b r y c h w p r ó b c e j e s t z m i e n ną
l o s o wą ( s t a t y s t y k ą ) H o k r eś l o n ą w z o r e m :
H
Z
n
n
X
i
i
n
1
1
p r z y c z y m X
i
j e s t w y n i k i e m b a d a n i a i - t e j s z t u k i w p r ó b c e ( 0 l u b 1 ) . S t a t y s t y k a Z m oż e
p r z y j m o w ać w a r t o ś c i z e z b i o r u l i c z b { 0 , 1 , 2 , . . . , n } n a t o m i a s t s t a t y s t y k a H = Z / n m oż e
p r z y j m o w ać w a r t o ś c i z e z b i o r u l i c z b { , , , . . . . . ,
, }
0
1 2
1
1
n n
n
n
p r z y c z y m p r a w d o p o d o b i eń s t w a
z d a r z eń Z = k o r a z H = k / n są j e d n a k o w e i o k r e ś l o n e w z o r e m :
P Z
k n w
P H
k
n
n w
n
k
w
w
d l a
w
o r a z k
n
k
n k
(
; ; )
(
; ; )
(
)
, , . . . . ,
( )
1
0
1
0 1
g d z i e
( ) (
)
!
! (
) !
n
k
n
n
k
n
k
n
k
j e s t l i c z bą r ó ż n y c h k o m b i n a c j i
k s z t u k n i e d o b r y c h w p r ó b c e o l i c z n oś c i n ( t a b l i c a 3 . 1 ) . R o z kł a d
p o w yż s z y n o s i n a z w ę r o z k ł a d u B e r n o u l i e g o l u b d w u m i a n o w e g o .
P ra w d o p o d o b ień s tw o , ż e w p ró b c e o lic z n o ś c i n bę d z ie c o n a j w y ż e j z s z tu k n ie d o b ry c h
lu b , ż e c z ę s to ś ć z d a rz e n ia s ztu k a n ie d o b r a bę d z ie c o n a j w y ż e j h = z /n je s t o k reś lo n e w z o re m :
P Z z n w
P H
z
n
n w
P Z
k n w
k
z
(
; ; )
(
; ; )
(
; ; )
0
D o o b lic z eń w y g o d n ie j e s t k o rz y s ta ć z e w z o ru re k u re n c y j n e g o :
P Z k
n w
n k
k
w
P Z
k n w
k
z
(
; ; )
(
)
(
) (
)
(
; ; )
1
1
1
0
P rz y kła d ro z k ła d u P ( Z = k ) p o d a n o n a ry s . 4 .1 a ro z kła d u P ( Z
k ) n a ry s . 4 .2 .
0
5
0
0.2
0.4
dbinom
(
)
,
,
k np
k
0
5
0
0.5
1
pbin om
(
)
,
,
knp
k
Rys. 4.1. Przykład funkcji prawdopodobień-
stwa rozkładu dwumianowego: n = 30, w =
0.05
Rys. 4.2. Przykład prawdopodobieństwa
P(Zk) rozkładu dwumianowego: n = 30, w =
0.05
W a r toś c i o c z e k i w a n e i w a r i a n c j e s ta ty s ty k Z i H m a ją p o s ta ć :
E Z
n w
V Z
n w
w
E H
w
V H
w
w
n
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
1
1
a w s p ół c z y n n i k a s y m e tr i i ( s k o ś n o ś c i ) r o z k ł a d u d w u m i a n o w e g o m a w a r toś ć :
1 2
1
w
n w
w
(
)
S ta ty s ty k a H = Z / n bę d ą c a f r a k c j ą s z tu k n i e d o b r y c h w p r ó b c e l o s o w e j o l i c z n o ś c i n j e s t
s to c h a s ty c z n i e z b i eż n a d o w a d l i w o ś c i w r e p r e z e n to w a n e g o p r z e z tę p r ó b k ę z b i o r u w y r o b ó w .
O g ó l n i e u j m u j e to p r a w o w i e l k i c h l i c z b B e r n o u l l i e g o , k tó r e m ó w i , ż e c z ę s to ś ć z d a r z e n i a
l o s o w e g o w n j e d n a k o w y c h n i e z a l eż n y c h d o ś w i a d c z e n i a c h j e s t s to c h a s ty c z n i e z b i e ż n a d o
p r a w d o p o d o b i eń s tw a te g o z d a r z e n i a . F r a k c j a s z tu k n i e d o b r y c h w z b i o r z e , c z y l i w a d l i w o ś ć te g o
z b i o r u w , j e s t p r a w d o p o d o b i eń s tw e m z d a r z e n i a p o l e g a j ą c e g o n a w y l o s o w a n i u s z tu k i n i e d o b r e j , a
f r a k c j a s z tu k n i e d o b r y c h w p r ó b c e l o s o w e j p r o s te j o l i c z n oś c i n , c z y l i s ta ty s ty k a H = Z / n , j e s t
c zę s to ś c i ą te g o z d a r z e n i a w n n i e z a l eż n y c h j e d n a k o w y c h d o ś w i a d c z e n i a c h , p o l e g a j ą c y c h n a
b a d a n i u s z tu k w y l o s o w a n y c h z d a n e g o z b i o r u w y r o b ó w .
W s p ół c z y n n i k a s y m e tr i i r o z kł a d u d w u m i a n o w e g o j e s t d o d a tn i p r z y w < 0 .5 i u j e m n y
p r z y w > 0 . 5 . P r z y w = 0 .5 w y n o s i = 0 . M o d uł j e s t f u n k c ją m a l e j ą c ą w a r to ś c i n i r o s ną c ą
w a r toś c i 0 .5 - w . P r z y d o s ta te c z n i e d uż y m n m oż n a a p r o k s y m o w a ć r o z k ł a d d w u m i a n o w y
r o z kł a d e m n o r m a l n y m ( G a u s s a ) . J e s t to d o p u s z c z a l n e d l a ty m m n i e j s z e g o n i m m n i e j s z a j e s t
w a r toś ć 0 .5 - w .
S u m a k n i e z a l eż n y c h s ta ty s ty k Z
1
, Z
2
, .. .. , Z
k
o r o z kł a d a c h d w u m i a n o w y c h z p a r a m e tr a m i
n
1
, n
2
, .. .. , n
k
i ty m s a m y m p a r a m e tr e m w m a r o z kł a d d w u m i a n o w y o p a r a m e tr a c h n = n
1
+ n
2
+
.. .. + n
k
o r a z w . M ó w i s ię , ż e r o z k ł a d d w u m i a n o w y j e s t a d d y ty w n y . Z a d d y ty w n oś c i r o z k ł a d u
d w u m i a n o w e g o k o r z y s ta s ię p r z y a n a l i z i e w y n i k ó w b a d a ń d w u l u b w i ę c e j n i e z a l e ż n y c h p r ó b e k
l o s o w y c h z te g o s a m e g o z b i o r u w y r o b ó w , r o z w aż a j ą c p r ó b k ę l o s o w ą ł ą c z n ą o l i c z n o ś c i r ó w n e j
s u m i e l i c z n oś c i p o s z c z e g ó l n y c h p r ó b e k i l i c z b i e s z tu k n i e d o b r y c h r ó w n e j s u m i e l i c z b s z tu k
n i e d o b r y c h w p o s z c z e g ó l n y c h p r ó b k a c h .
.
.
Rozkład Poissona
P r z y d uż e j w a r t o ś c i n i m ał e j w a d l i w o ś c i w , p r a k t y c z n i e p r z y n > 2 0 o r a z w < 0 . 2 r o z kł a d
d w u m i a n o w y m oż n a a p r o k s y m o w a ć r o z k ł a d e m P o i s s o n a o f u n k c j i p r a w d o p o d o b i eń s t w a :
P Z
k
k
e
d l a
o r a z k
g d z i e
n w
k
(
; )
!
, , , . . . .
0
0 1 2
A p r o k s y m a c j a t a k a uł a t w i a o b l i c z e n i a , m o ż n a b o w i e m k o r z y s t a ć z ł a t w o d o s t ę p n y c h
t a b l i c r o z kł a d u P o i s s o n a ( t a b . 4 . 1 ) . K o r z y s t a ją c z t a b l i c w y z n a c z a s i ę p r a w d o p o d o b i e ń s t w o
P Z
k
P Z
k
P Z
k
(
; )
(
; )
;
1
P r z y kł a d 4 . 1
Z d uż e j p a r t i i w y r o b ó w o w a d l i w o ś c i w = 5 % p o b r a n o p r ó b kę l o s o w ą o l i c z n o ś c i n = 4 0 s z t u k .
J a k i e j e s t p r a w d o p o d o b i eń s t w o , ż e w p r ó b c e t e j b ę d ą c o n a j w y ż e j 3 s z t u k i n i e d o b r e ? J a k i e j e s t
p r a w d o p o d o b i eń s t w o , ż e w p r ó b c e b ę d ą d o k ł a d n i e 3 s z t u k i n i e d o b r e ?
O d p o w i e dź n a p i e r w s z e p y t a n i e u z y s k u j e s i ę b e z p o ś r e d n i o z t a b l i c y 4 . 1
= n w = 4 0 0 . 0 5 = 2
D l a = 2 i k = 3 z t a b l i c y 4 . 1 o d c z y t u j e s ię :
P ( Z 3 ; = 2 ) = 0 . 8 5 7
Prawdopodobieństwo, że w próbce będą co najwyżej 3 sztuki niedobre wynosi 0.857 (85.7%).
Odpowiedź na drugie pytanie uzyskamy jeśli od powyższego wyniku odejmiemy
prawdopodobieństwo tego, że w próbce będą co najwyżej 2 sztuki niedobre:
P(Z 2; = 2) = 0.677
stąd
P(Z = 3; = 2) = 0.857 - 0.677 = 0.18
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w próbce będą dokładnie 3 sztuki niedobre wynosi 0.18 (18
%).
Aproksymacja rozkładu dwumianowego nie jest jedynym zastosowaniem rozkładu
Poissona. Jeżeli przykładowo, czas pracy urządzenia wynosi t, a prawdopodobieństwo chwilowej,
samo usuwalnej niesprawności w jednostce czasu wynosi
to liczba niesprawności w przedziale
czasu (0, t
ma rozkład Poissona o parametrach
=
t. Przykład rozkładu Poissona podają
rysunki 4.3 i 4.4.
0
5
10
0
0.2
0.4
0
5
0
0.5
1
R
ys
. 4
.3
. F
u
n
k
c
ja
p
r
a
w
d
o
p
o
d
o
b
ień
s
tw
a
P
(Z
=
k
) ro
zkła
d
u
P
o
is
so
n
a
d
la
=
2
R
ys
. 4
.4
. D
ys
tr
yb
u
a
n
ta
ro
zkła
d
u
P
o
is
so
n
a
P
(Z
k
) d
la
=
2
P
o
d
s
ta
w
o
w
e
wła
ś
c
iw
o
ś
c
i r
o
z
k
ła
d
u
P
o
is
s
o
n
a
są
n
a
s
tę
p
u
ją
c
e
:
W
a
r
toś
ć
o
c
z
e
k
iw
a
n
a
i w
a
r
ia
n
c
ja
s
ą
s
o
b
ie
r
ó
w
n
e
i r
ó
w
n
e
p
a
r
a
m
e
tr
o
w
i
, c
z
y
li
E
(Z
) =
V
(Z
) =
W
s
p
ółc
z
y
n
n
ik
a
s
y
m
e
tr
ii
1
je
s
t z
a
w
s
z
e
d
o
d
a
tn
i i m
a
le
je
p
r
z
y
w
z
r
oś
c
ie
p
a
r
a
m
e
tr
u
,
dą
ż
ą
c
d
o
0
p
r
z
y
dą
ż
ą
c
y
m
d
o
n
ie
s
k
o
ń
c
z
o
n
o
ś
c
i.
P
r
z
y
d
o
s
ta
te
c
z
n
ie
d
uż
y
m
p
a
r
a
m
e
tr
z
e
r
o
z
kła
d
P
o
is
s
o
n
a
m
oż
n
a
a
p
r
o
k
s
y
m
o
w
a
ć
r
o
z
k
ła
d
e
m
n
o
r
m
a
ln
y
m
.
R
o
z
kła
d
P
o
is
s
o
n
a
je
s
t a
d
d
y
ty
w
n
y
, c
z
y
li ż
e
s
u
m
a
n
ie
z
a
le
ż
n
y
c
h
z
m
ie
n
n
y
c
h
lo
s
o
w
y
c
h
Z
1
, Z
2
, .... ,
Z
k
o
r
o
z
kła
d
a
c
h
P
o
is
s
o
n
a
z
p
a
r
a
m
e
tr
a
m
i
1
,
2
, .... ,
k
m
a
r
o
z
kła
d
P
o
is
s
o
n
a
o
p
a
r
a
m
e
tr
z
e
=
1
+
2
+
.... +
k
.
.
.
Rozkład geometryczny
W p r a k t y c e c zę s t o z a m i a s t b a d a ć p r ó b k ę l o s o w ą o u s t a l o n e j l i c z n o ś c i b a d a s i ę k o l e j n o
w y l o s o w a n e s z t u k i , aż t r a fi s i ę n a s z t u k ę n i e d o b r ą l u b n a o k r e ś l o n ą l i c z b ę s z t u k n i e d o b r y c h . J e s t
w ó w c z a s u s t a l o n a l i c z b a s z t u k n i e d o b r y c h w p r ó b c e k n a t o m i a s t l i c z n oś ć p r ó b k i j e s t z m i e n n ą
l o s o wą o z n a c z o n ą p r z e z N .
Z ał ó ż m y , ż e w a d l i w o ś ć b a d a n e j p a r t i i w y r o b ó w j e s t r ó w n a
w i b a d a n i a p r o w a d z i s ię d o
s t w i e r d z e n i a j e d n e j s z t u k i n i e d o b r e j , z a p e w n i a ją c j e d n a k o w e p r a w d o p o d o b i e ń s t w o w y l o s o w a n i a
d l a w s z y s t k i c h s z t u k w d a n e j p a r t i i w y r o b ó w . L i c z n oś ć p r ó b k i N j e s t w ó w c z a s z m i e n ną l o s o w ą
p r z y j m u ją c ą w a r t o ś c i n a t u r a l n e n = 1 , 2 , . . . . z p r a w d o p o d o b i eń s t w a m i :
....
,
2,
1
1
0
)
1(
)
;
(
1
n
oraz
w
dla
w
w
w
n
N
P
n
g d yż p r a w d o p o d o b i e ń s t w o w y l o s o w a n i a s z t u k i n i e d o b r e j j e s t r ó w n e w a d l i w o ś c i p a r t i i w , a
p r a w d o p o d o b i eń s t w o w y l o s o w a n i a
n - 1 s z t u k d o b r y c h j e s t ( 1 - w )
n - 1
. R o z kł a d o k r e ś l o n y
p o w yż s z y m w z o r e m n a z y w a s i ę r o z k ł a d e m g e o m e t r y c z n y m o w a r t o ś c i o c z e k i w a n e j i w a r i a n c j i
z m i e n n e j l o s o w e j N o k r eś l o n y c h w z o r a m i :
E N
w
o r a z
V N
w
w
( )
( )
1
1
2
P r z y kł a d f u n k c j i p r a w d o p o d o b i e ń s t w a i d y s t r y b u a n t y p o k a z a n o o d p o w i e d n i o n a r y s . 4 . 5 i
4 . 6 .
0
10
20
30
0
0.02
0.04
0.06
0
10
20
30
0
0.5
1
R
ys. 4
.5
. F
u
n
k
cja
p
ra
w
d
o
p
o
d
o
b
ień
stw
a
ro
z-
kła
d
u
g
e
o
m
e
tryc
zn
e
g
o
d
la
w
=
0
.0
5
R
ys. 4
.6
D
ystryb
u
a
n
ta
ro
zkła
d
u
g
e
o
m
e
trycz-
n
e
g
o
d
la
w
=
0
.0
5
.
.
Rozkład Pascala
J eż e l i b a d a n i a p r o w a d z i s i ę d o s t w i e r d z e n i a k s z t u k n i e d o b r y c h to l i c z n oś ć p r ó b k i j e s t
z m i e n ną l o s o w ą N o r o z kł a d z i e P a s c a l a :
P N
n k w
n
k
w
w
p r z y
w
o r a z
n
k k
k
k
n k
(
; ; )
(
)
,
,
, . . . . .
(
)
1
1
1
0
1
1
2
g d z i e
(
)
n
k
1
1
j e s t l i c z bą k o m b i n a c j i k - 1 s z t u k n i e d o b r y c h wś r ó d n - 1 s z t u k z b a d a n y c h p r z e d
s tw i e r d z e n i e m k - te j s z tu k i n i e d o b r e j . W a r t oś ć o c z e k i w a n a i w a r i a n c j a z m i e n n e j l o s o w e j N o
r o z kł a d z i e P a s c a l a w y n o s z ą o d p o w i e d n i o :
E N
k
w
o r a z V N
k
w
w
( )
( )
(
)
1
2
R o z kł a d g e o m e tr y c z n y j e s t s z c z e g ó l n y m p r z y p a d k i e m r o z k ł a d u P a s c a l a p r z y k = 1 .
R o z kł a d P a s c a l a o p a r a m e tr a c h k i w j e s t s u mą k n i e z a l eż n y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h o
j e d n a k o w y m r o z kł a d z i e g e o m e t r y c z n y m z p a r a m e t r e m w .
P r z y kł a d 4 . 2 .
Z e z b i o r u w y r o b ó w o b a r d z o d uż e j l i c z n o ś c i i w a d l i w o ś c i w = 1 0 % l o s o w a n o p o j e d n e j s z t u c e i
p o d d a w a n o b a d a n i o m . J a k i e j e s t p r a w d o p o d o b i eń s t w o , ż e d l a t r a fi e n i a n a s z t u k ę n i e d o b r ą
t r z e b a z b a d ać 5 s z t u k ? J a k i e j e s t p r a w d o p o d o b i e ń s t w o , ż e d l a t r a fi e n i a n a 2 s z t u k i n i e d o b r e
t r z e b a p r z e b a d ać 5 s z t u k ?
N a p i e r w s z e p y t a n i e o d p o w i e dź d a j e r o z k ł a d g e o m e t r y c z n y :
P ( X = 5 ; w = 0 . 1 ) = 0 . 1 ( 1 - 0 . 1 )
5 - 1
= 0 . 0 6 5 6
N a d r u g i e p y t a n i e o d p o w i e dź d a j e r o z k ł a d P a s c a l a :
P ( X = 5 ; k = 2 , w = 0 . 1 ) =
(
)
5
1
2
1
0 . 1
2
( 1 - 0 . 1 )
5 - 2
= 0 . 0 2 9 2
R o z kł a d P a s c a l a z m i e n n e j l o s o w e j N i r o z kł a d d w u m i a n o w y z m i e n n e j l o s o w e j Z są
z w ią z a n e z a l e ż n o ś c i ą :
P N
n k w
w P Z
k
n
w
(
; , )
(
;
, )
1
1
s ką d
P N
n k w
w P Z
k
n w
(
; , )
(
; , )
1
1
g d z i e N - 1 j e s t l i c z bą z b a d a n y c h s z t u k p o p r z e d z a j ą c y c h k - tą s z t u kę n i e d o b r ą .
Z e z w ią z k u m i ę d z y r o z k ł a d e m d w u m i a n o w y m , a r o z k ł a d e m P o i s s o n a w y n i k a
p r z y b l iż o n y z w i ą z e k m i ę d z y r o z k ł a d a m i P a s c a l a i P o i s s o n a :
P N
n k w
w P Z
k
n w
w
k
n
e
k
k
n w
(
; , )
(
;
)
(
) !
1
1
1
1
sł u s z n y d l a w < 0 . 2 o r a z n > k . P r z y m ał y c h w a r t o ś c i a c h w r o z kł a d P a s c a l a m o ż n a
a p r o k s y m o w ać r o z k ł a d e m E r l a n g a , a r o z k ł a d g e o m e t r y c z n y r o z k ł a d e m w y k ł a d n i c z y m .