FALE

w ośrodkach

sprężystych

Wykład 3

Istota ruchu falowego

Funkcja falowa. Rodzaje fal

Prędkość propagacji fali w zależności od
właściwości ośrodka

Równanie różniczkowe ruchu falowego

Interferencja fal

Fale stojące

Prędkość grupowa fal

Efekt Dopplera

Fale dźwiękowe - Akustyka

2

Istota ruchu falowego

Większość wiadomości, jakie mamy o świecie

zewnętrznym, dociera do naszej świadomości
poprzez organa zmysłowe słuchu i wzroku za
pośrednictwem fal. Informacje te dochodzą do
obserwatora z pewnym opóźnieniem wynikającym ze
skończonej prędkości światła i dźwięku.

Rozpatrzymy teraz sytuację, w której drgająca cząstka
jest połączona poprzez siły sprężyste z innymi cząstkami
(rys.6.10). Wskutek działania między cząstkami sił
sprężystych drgania będą przenosiły się od jednej cząstki
do drugiej.

 

x = A s i n t



3

Z podobną sytuacją spotykamy się w ciałach stałych

i gazach. Jako przykład rozpatrzmy gaz. Jeśli w pewnym
miejscu sprężymy gaz, np. na skutek ruchu tłoka, to w
obszarze tym znajdzie się więcej cząstek. Spowoduje to
wzrost ciśnienia gazu i pojawienie się siły skierowanej w
kierunku mniejszego ciśnienia (gęstości). Na skutek tego,
tam gdzie gaz był zgęszczony, teraz ulegnie rozrzedzeniu
i odwrotnie. Jeśli tłok będzie wykonywał ruch drgający, to
w gazie będą rozprzestrzeniały się kolejne zgęszczenia i
rozrzedzenia ośrodka.

Omówione tutaj drgania sprężyste rozchodzące się

w gazach, cieczach i ciałach stałych nazywamy

falami

sprężystymi

. Fale sprężyste nazywamy też często

falami

akustycznymi

, rozumiejąc przez ten termin fale

sprężyste propagujące się we wszystkich stanach
skupienia materii, w pełnym zakresie częstości drgań,
jaki może wystąpić w przyrodzie.

4

Okazuje się, że proces przekazywania drgań z jednego
punktu do drugiego jest zjawiskiem charakterystycznym
nie tylko dla ośrodków sprężystych, ale również dla pola
elektromagnetycznego.

Drgania

pola

elektromagnetycznego

wytwarzają

falę

elektromagnetyczną. W tym przypadku zmieniającymi się
wielkościami są pola: elektryczne i magnetyczne.
Charakterystyczną cechą takiego zaburzenia jest fakt, że
może ono propagować się również w próżni.

Na podstawie licznych obserwacji fizycznych

możemy powiedzieć, że

fale to nic innego jak

rozchodzące się w przestrzeni zaburzenia stanu
materii lub pola

.

Wspólną cechą wszystkich zjawisk

falowych jest zdolność przenoszenia przez falę energii,
przy czym w procesie tym występuje w sposób ciągły
okresowa zamiana energii jednego rodzaju na drugi
rodzaj

. Np. w przypadku fal sprężystych mamy ciągłą

zamianę energii kinetycznej cząstek materii na energię
potencjalną, a w przypadku fal elektromagnetycznych
energia pola elektrycznego przechodzi w energię pola
magnetycznego i na odwrót.

5

Funkcja falowa. Rodzaje fal

Wiemy już, że ruch falowy polega na rozchodzeniu

się

zaburzenia

pewnej

wielkości

fizycznej

charakteryzującej stan ośrodka. Do opisu tego zaburzenia
będziemy posługiwać się wielkością , która zależeć

będzie od położenia i czasu.

(6.41)

Funkcja (x,y,z,t,) to funkcja falowa opisująca

rozchodzącą się w ośrodku falę.

W przypadku propagacji fali w cieczy lub gazie 

będzie opisywało zmiany gęstości lub ciśnienia w ośrodku
spowodowane przejściem fali.

W

przypadku

ciał

stałych



będzie

przemieszczeniem atomów z położenia równowagi.

Dla fali elektromagnetycznej jako funkcję 

przyjmuje się natężenie pola elektrycznego lub
magnetycznego.





t

,

z

,

y

,

x







6

Jeśli funkcja  jest skalarem, to odpowiednia fala

nazywa się skalarną

, jeśli jest wektorem, to mówimy o

fali wektorowej.

Przykładem fali skalarnej jest fala

akustyczna w gazie,

natomiast fali wektorowej – fala

elektromagnetyczna.

Zajmiemy się najpierw opisem takiej fali, dla której

 zależy tylko od jednej współrzędnej x i od czasu t

 

t

,

x









d r o g a , k tó r ą p r z e b y ł a f a l a w c z a s i e t

0

x





0

s i n ( t - k x )





0

s i n t



7

Falę taką nazywamy falą płaską. Dobrym

przykładem fali płaskiej może być fala akustyczna
wytworzona przez tłok o dużej średnicy drgający w
kierunku prostopadłym do swojej płaszczyzny.

Znajdziemy teraz postać funkcji falowej  fali

płaskiej. Załóżmy, że źródło fali wykonuje ruch
harmoniczny wokół punktu

oraz, że w chwili

początkowej

(rys.6.11). Możemy więc zapisać

(6.42)

gdzie  i 

0

są odpowiednio częstością i amplitudą drgań.

Zaburzenie ośrodka wywołane ruchem tłoka przemieści
się w przestrzeni i po czasie t

0

znajdzie się w punkcie o

współrzędnej x. Drgania w tym punkcie będą opóźnione
w stosunku do drgań źródła o wielkość

0

x 

0





t

sin

0









0

t









8

Przyjmując, że amplituda drgań nie zmienia się,

funkcja (x,t) będzie miała postać

(6.43)

t

0

możemy zapisać w postaci

(6.44)

gdzie



jest

prędkością rozchodzenia się (propagacji) fali,

a ściślej prędkością przemieszczania się określonej fazy
fali, czyli

prędkością fazową.

 





0

0

t

t

sin

t

,

x















x

t

0

Prędkość fazową będziemy nazywali dalej

prędkością fali.

Uwzględniając więc (6.44), zależność

(6.43) będzie miała postać

 

















































x

t

sin

x

t

sin

t

,

x

0

0

Ponieważ ,

więc

T

2





(6.45)

9

 



















































x

2

t

sin

x

T

2

t

sin

t

,

x

0

0

gdzie

jest długością fali, czyli odległością,

na jaką przemieści się zaburzenie w czasie jednego
okresu T. Wprowadźmy jeszcze pojęcie liczby falowej k
zdefiniowanej jako

.

Zatem równanie (6.46) przyjmie postać

(6.47)

Zależności (6.45-6.47) przedstawiają funkcje fali

płaskiej.

Argument funkcji sinus nazywamy fazą

fali.

Zbiór punktów w przestrzeni, w których faza

ma taką samą wartość, nazywamy

powierzchnią

falową lub czołem fali

.

T













2

k

 





kx

t

sin

t

,

x

0











10

Dla

fali

płaskiej

określonej

wzorem

(6.47)

powierzchniami falowymi będą płaszczyzny

(rys.6.12). Powierzchni falowych jest nieskończenie

wiele. Zauważmy, że z warunku stałości fazy możemy
wyznaczyć wyprowadzoną wcześniej prędkość fazową, a
mianowicie

(6.48)

lub

(6.49)

Stąd

(6.50)

const

x 

const

kx

t







t

k

k

const

x











T

2

T

2

k

dt

dx





















11

p r o m i e n i e f a l i

x

p o w i e r z c h n i e f a l o w e

( c z o ł a f a l i )

ź r ó d ł o f a l i p ł a s k i e j

z

y

Rys.6.12 Fala płaska

Linie, które w każdym punkcie są prostopadłe do

powierzchni falowej, nazywamy

promieniami fali

.

Wskazują one kierunek propagacji fali. W przypadku
rozpatrywanej fali płaskiej, danej wzorem (6.47), są to
linie równoległe do osi x i zorientowane tak jak oś x.

12

c z o ł a f a l i

p r o m i e n i e f a l i

a )

b )

c )

Oprócz

fal

płaskich

wyróżniamy

jeszcze

(ze

względu na kształt czoła
fali) fale kuliste, koliste i
walcowe (rys.6.13).

Fale

kuliste

i

koliste

pochodzą

od

źródeł

punktowych

, zaś

fale walcowe od źródeł
liniowych

.

Rys.6.13. Fala kulista (a), kolista (b) i walcowa
(c)

13

Dotychczas mówiliśmy o zależności przestrzenno-
czasowej funkcji  opisującej zaburzenie ośrodka,

natomiast

nie

określiliśmy,

jaki

jest

kierunek

przemieszczenie się zaburzenia czy drgań cząstek
ośrodka.

W związku z kierunkiem, w jakim odbywają się

drgania, fale dzielimy na:

podłużne

– gdy kierunek drgań jest równoległy do

kierunku

propagacji

fali,

poprzeczne

– gdy kierunek drgań jest prostopadły do

kierunku propagacji fali (rys.6.14).

x

x







0

si

n

t





0

s i n t

a )

b )

k i e r u n e k p r o p a g a c j i

f a l i

14

Podłużne fale sprężyste mogą propagować się w

cieczach i ciałach stałych.

Natomiast fale poprzeczne sprężyste, których

propagacja powoduje zmianę kształtu ośrodka mogą
propagować

się

tylko

w

ośrodkach

mających

sprężystość postaci, czyli w ciałach stałych.

15

Prędkość propagacji fali w zależności od
właściwości ośrodka

Dla określenia zależności prędkości rozchodzenia

się (propagacji) fal w ośrodkach sprężystych od
właściwości ośrodka rozważmy rozchodzenie się
zaburzenia w pręcie sprężystym o przekroju S, na który
działa siła F (podczas uderzenia) przez czas t

powodując odkształcenie na głębokości l (rys. 9.2).

F

S
l

l

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki

 

Ft=mv

(12)

16

Naprężenie wywołane w pręcie siłą F wynosi

=F/S.

W

wyniku

naprężenia

następuje

względne

odkształcenie pręta

l/l

.

Związek pomiędzy naprężeniem i odkształceniem
określa tzw. prawo Hooka, które mówi ,że w granicach
sprężystości odkształcenie ciał jest proporcjonalne do
naprężenia ze współczynnikiem proporcjonalności
charakterystycznym dla danego materiału zwanym
modułem Younga E, czyli

 

=E

(13)

Siłę F możemy wyrazić jako

(14)

F

S

ES

ES











 l

l

17

Dzięki sprężystym własnościom ośrodka, w czasie t

zaburzenie dotrze w ruchu falowym na odległość l od
czoła pręta, czyli prędkość rozchodzenia się zaburzenia

(15)

a masa objęta zaburzeniem

 

m=lS (16)  

W wyniku działania naprężenia prędkość cząstek pręta

wzrośnie od zera do

v=lt(17)
 Podstawiając (14), (16) i (17) do (12) otrzymamy

 

(18)

v

t



l











l

l

l

l

ES t

S

t



18

Skąd wynika, że E/v=v czyli v

2

= E/ skąd prędkość

rozchodzenia się zaburzenia liniowego w pręcie jest
równa

 

(19)

 

Jeżeli działanie siły wywołuje, nie zmiany długości
pręta,

lecz

odkształcenie

objętościowe

lub

postaciowe to prędkości fal sprężystych będą
określone wzorami

 

(20)

W ośrodkach gazowych, w stałej temperaturze, moduł
sprężystości objętościowej jest równy ciśnieniu K=p.
Jeśli brak jest wymiany ciepła z otoczeniem (przemiany
adiabatyczne) wówczas K= c gdzie =C

P

/C

V

. W

powietrzu =1.4, =1.293 kg.m

-3

przy ciśnieniu

p=1013 hPa v=331.5 m/s.

v

E





v

K

v

G









lub

19

6.9 Równanie różniczkowe ruchu falowego

Funkcja

(x,t)

(6.47)

opisująca

zaburzenia

wywołane przejściem fali spełnia pewne równanie, które
nazywamy różniczkowym równaniem ruchu fali. Aby
znaleźć postać tego równania, obliczamy drugie
pochodne funkcji (x,t) względem t oraz względem x.

(6.51)

(6.52)

Mnożąc obustronnie równanie (6.51) przez k

2

, natomiast

(6.52) przez 

2

, możemy porównać lewe strony tych

równań

(6.53)































2

0

2

2

2

kx

t

sin

t



























2

0

2

2

2

k

kx

t

sin

k

x

2

2

2

2

2

2

t

k

x





















Ponieważ

, więc







k

2

2

2

2

2

t

1

x

















20

2

2

2

2

2

t

1

x

















Jest to równanie różniczkowe ruchu fali

płaskiej propagującej się wzdłuż osi x z
prędkością fazową 

. Rozwiązaniami równania (6.54)

są omawiane już wcześniej funkcje falowe (6.47).

Czyli, znając postać równania ruchu falowego danego
rodzaju, jesteśmy w stanie (rozwiązując równanie
ruch) wyznaczyć funkcje falowe  opisujące

rozchodzenie się danego rodzaju fali w danym
ośrodku. Jeżeli 

1

i 

2

są rozwiązaniami różniczkowego

równania fali to funkcja

gdzie 

1

i 

2

są dowolnymi stałymi, jest także

rozwiązaniem równania fali, a więc  reprezentuje

również falę, która może rozchodzić się w tym
ośrodku.

Fakt ten nosi nazwę zasady superpozycji.

2

2

1

1















 





kx

t

sin

t

,

x

0











21

Zasada superpozycji

.

Jeśli w ośrodku propagują się
dwie fale, to wypadkowe
zaburzenia

ośrodka

jest

równe

sumie

zaburzeń

wywołanych

przez

poszczególne fale.

22

Zasada superpozycji

.

Jeśli w ośrodku propagują się dwie fale, to
wypadkowe zaburzenia ośrodka jest równe sumie
zaburzeń wywołanych przez poszczególne fale.

6.10. Interferencja fal

Interferencją

fal

nazywamy

zjawisko

nakładania się (superpozycji) dwóch lub więcej fal
o tych samych długościach, a więc o tych samych
pulsacjach.

Rozważmy dwie fale biegnące z taką samą

prędkością w tym samym kierunku o równych
amplitudach, lecz o różniących się fazach. Niech
równania tych fal mają postać

(6.55)

(6.56)





1

0

0

1

sin

kx

t

sin





















2

0

0

2

sin

kx

t

sin





















23

W danym punkcie przestrzeni fale te wywołują drgania
równoległe o różnicy faz

.

Wypadkowe drgania można wyrazić równaniem

















1

2

2

0

1

0

2

1

sin

sin



























2

cos

2

sin

2

sin

sin

2

1

2

1

0

2

1

0







































 





























2

cos

2

kx

t

sin

2

0

























2

kx

t

sin

A

(6.57)

gdzie

2

cos

2

A

0







Fala wypadkowa  dana

równaniem (6.57) ma więc tę samą
pulsację  co fale składowe 

1

i 

2

ale inną amplitudę A

24

























2

kx

t

sin

A

Fala wypadkowa  dana równaniem (6.57) ma więc tę

samą pulsację  co fale składowe 

1

i 

2

ale inną

amplitudę A, równą

Gdy fazy fal są zgodne (tzn.
), to amplituda fali wypadkowej wynosi 2A;

mówimy wówczas, że fale się wzmacniają.

Gdy fazy fal są przeciwne (tzn.
), to amplituda fali wypadkowej jest równa

zeru; mówimy wówczas, że fale się wygłuszają.

2

cos

2

0





,...

4

,

2

,

0













,...

3

,













25

Warunkiem

koniecznym

wystąpienia

interferencji fal, jest to, aby różnica faz fal
nakładających się była stała w czasie.

Takie fale

noszą nazwę koherentnych albo spójnych

.

Fale pochodzące z dwóch niezależnych źródeł na

ogół nie są spójne.

Fale spójne przesunięte w fazie można otrzymać

z jednego źródła, jeżeli fale te będą przebywały
niejednakowe drogi.

26

6.11. Fale stojące

Fala wytworzona w ciele o skończonych

rozmiarach odbija się od granicy tego ciała: np. fala
wytworzona na napiętej strunie odbija się od obu
punktów unieruchomienia struny. Fala odbita porusza
się w kierunku przeciwnym niż fala padająca i
superpozycja tych dwóch fal (fali padającej i odbitej)
daje w wyniku falę wypadkową, zwaną falą stojącą.

Załóżmy, że rozchodząca się w ciele fala jest falą

harmoniczną i że odbija się ona od granic tego ciała bez
strat, tzn. fala odbita ma taką samą amplitudę, co fala
padająca. Fale te można opisać równaniami:

 

























x

t

sin

t

,

x

0

1

 

























x

t

sin

t

,

x

0

2

fala biegnie w kierunku dodatnim
0x i

fala biegnie w kierunku ujemnym
osi 0x.

Stąd fala wypadkowa ma postać

27

 

 

 

t

,

x

t

,

x

t

,

x

2

1











 

























































x

t

sin

x

t

sin

t

,

x

0

 





























x

cos

t

sin

2

t

,

x

0

 

t

sin

x

cos

2

t

,

x

0



























fala wypadkowa ma postać

Jest to równanie fali stojącej

.

Równanie fali stojącej o postaci (6.58) możemy

zapisać

(6.59)

 

 

t

sin

x

A

t

,

x









(6.58
)

gdzie amplituda

(6.60)

 





















x

cos

2

x

A

0

28

 





















x

cos

2

x

A

0

W przypadku fali stojącej wszystkie cząstki

ośrodka (np. struny) wykonują drgania harmoniczne
w tej samej fazie.

W fali biegnącej (czyli fali o funkcji falowej danej

równaniem (6.45) lub (6.47)) amplitudy cząstek
drgających są jednakowe,

dla fali stojącej natomiast

charakterystyczne jest to, że amplitudy drgań
cząstek zależą od ich położeń

.

Ze wzoru (6.59) można wywnioskować, że

amplituda drgań, dana wyrażeniem (6.60), przybiera
wartość maksymalną 2

0

w punktach, w których

a wartość minimalną (równą zeru) w punktach, w których

,...

3

,

2

,

,

0

kx

x















,...

2

5

,

2

3

,

2

kx

x















węzły

strzałki

29

Punkty o maksymalnej amplitudzie drgań są

nazywane strzałkami, a punkty w których amplituda
drgań jest równa zeru, czyli punkty nie wykonujące
drgań, są nazywane węzłami.

Ponieważ zachodzi związek

,

strzałki znajdują się w punktach

a węzły w punktach

Widać stąd, że węzły i strzałki są położone na przemian
oraz, że odległości między kolejnymi węzłami lub
kolejnymi strzałkami wynoszą pół długości fali.







2

k

,...

2

3

,

2

,

0

x









,...

4

5

,

4

3

,

4

x









30

 ( x ,t )

w ę z e ł w ę z e ł w ę z e ł w ę z e ł

x

x

x



2



2



2

s t r z a ł k a s tr z a ł k a

t

t + T

2

t + T

4

Fala stojąca
przedstawiona w
postaci szeregu
„chwilowych
fotografii” wychylenia
punktów z położenia
równowagi dla trzech
chwil:

2

T

t

i

4

T

t

,

t





Dla chwili

(dla której wszystkie punkty
mają zerowe wychylenie),
strzałkami

oznaczono

prędkości cząstek.

4

T

t 

31

Fala stojąca jest szczególnym przypadkiem fali,

takiej,

w

której

energia

drgań

nie

jest

przenoszona, lecz trwale zmagazynowana w
poszczególnych punktach ośrodka

.

Ruch taki można

rozpatrywać jako drganie ośrodka jako całości.

Nazywamy go jednak falą stojącą, ponieważ powstaje
w wyniku nałożenia się dwóch fal biegnących w
przeciwnych kierunkach.

Odbicie fali od granicy ośrodka może zachodzić

dwojako: ze zmianą fazy i bez zmiany fazy.

Np.

gdy koniec struny jest unieruchomiony, przy

odbiciu fali jej faza zmienia się skokowo o 

. Fale

padająca i odbita znoszą się wzajemnie w tym punkcie
i

w miejscu zamocowania powstaje węzeł

.

Odmiennie wygląda sprawa w przypadku,

gdy koniec

struny jest swobodny

, np. zakończony pierścieniem

mogącym przesuwać się na poprzecznie umieszczonym
pręcie. W tym przypadku

odbicie fali następuje bez

zmiany fazy i na końcu struny powstaje strzałka.

32

33

Prędkość grupowa fal

Jeżeli w ośrodku biegnie kilka fal o bliskich

wartościach  i k, to w rezultacie superpozycji tych fal

fala wypadkowa może propagować się z inną
prędkością niż prędkość fazowa każdej z fal
składowych.     Rozważmy dwie fale biegnące w tym
samym kierunku

 

y’=Ysin(’t -k’x) i y’’=Ysin(’’t -k’’x)

(27)

Fala wypadkowa

y

w

= y’+y’’ =2Ysin /2 cos /2

(28)

gdzie

(29)

Załóżmy, że

’=+, ’’=-, k’=k+k, k’’ =k - k

(30)



 





 





 



 

















,

,,

,

,,

,

,,

,

,,

;

t

k k x

t

k k x

2

2

Podstawiając (30) do (29) a następnie do (28) otrzymamy

34

y

w

=2Ycos(t-kx)sin(t -kx) = B sin(t -kx)

(31) 

Amplituda fali wypadkowej B będzie maksymalna gdy
t-kx=0. To maximum będzie wędrować w kierunku

osi x. Jego ruch określa równanie

(32)

Jak widać ruch paczki falowej złożonej z kilku fal będzie
ruchem jednostajnym z prędkością v

g

zwaną prędkością

grupową, która w granicy jest równa

(33)

x

k

t v t

g









v

d

dk

g





V

g

Paczka falowa propagująca się z
prędkością grupową

35

Zależność pomiędzy prędkością grupową a wcześniej
określoną fazową u jest





d

du

u

v

g





Z ww. związku wynika, że

może być mniejsze jak

i większe od u w zależności od znaku

.

W ośrodkach niedyspersyjnych

i prędkość

grupowa jest równa prędkości fazowej. W teorii
względności udowadnia się, że prędkość grupowa

, podczas gdy dla prędkości fazowej nie

ma ograniczenia.

Najbardziej charakterystyczny przykład rozchodzenia się
fali z prędkością grupową to przechodzenie światła przez
dielektryk.

Drugie bardzo ważne zastosowanie pojęcia prędkości
grupowej związane jest z mechaniką kwantową, w której
cząstkom przypisuje się paczki falowe. Prędkość cząstki
jest zgodna z prędkością grupową paczki falowej, a nie z
prędkościami oddzielnych składowych, które zwykle
różnią się od siebie.

g

v



d

/

du

0





d

/

du

c

v

g



36

Efekt Dopplera

37

Efekt Dopplera

Powszechnie znanym efektem związanym z ruchem

falowym jest tzw.

efekt Dopplera polegający na

zmianie częstości  wynikającej z względnego ruchu

źródła i obserwatora

.

Na początek rozważymy ten efekt dla fal w

ośrodkach sprężystych . Efekt Dopplera w ośrodkach
sprężystych związany jest z ruchem źródła i obserwatora
względem ośrodka, stąd różny mechanizm zmiany
częstotliwości w przypadku zbliżania się obserwatora do
źródła (rys. 10.10a) i źródła do obserwatora (rys. 10.10b).

a)

v

O



Z



v

g

O

Efekt Dopplera w ośrodkach sprężystych
rozpatrywany w układzie nieruchomym
względem ośrodka; a) spowodowany
ruchem obserwatora przy czym źródło
pozostaje w spoczynku;

Oznaczenia: Z-źródło, O-obserwator, v

z

-

prędkość

źródła,

v

o

-prędkość

obserwatora, v

g

-prędkość dźwięku w

ośrodku,-długość fali

38

b)

v

z

Z



v

g

O

Efekt

Dopplera

w

ośrodkach

sprężystych rozpatrywany w układzie
nieruchomym względem ośrodka; b)
spowodowany ruchem źródła przy czym
obserwator pozostaje w spoczynku.

Oznaczenia: Z-źródło, O-obserwator, v

z

-

prędkość

źródła,

v

o

-prędkość

obserwatora, v

g

-prędkość dźwięku w

ośrodku,-długość fali

v

z

T v

g

t

2

v

o

T

Z Z

1

O O

1

v

g

t

1

Rys. 10.11. Schemat pomocniczy do wyjaśnienia efektu Dopplera.
Oznaczenia: Z-źródło, O-obserwator, v

z

-prędkość źródła, v

o

-prędkość

obserwatora,okres sygnału wysyłanego, T‘-okres sygnału

odbieranego przez obserwatora, v

g

-prędkość dźwięku w ośrodku, t

1

-czas przebycia przez sygnał drogi ZO, t

2

- czas przebycia przez

sygnał drogi Z

1

O

1

39

v

z

T v

g

t

2

v

o

T

Z Z

1

O O

1

v

g

t

1

Zgodnie z oznaczeniami na rys. 10.11. pierwszy

sygnał dociera do obserwatora po czasie t

1

potrzebnym

na przebycie drogi ZO=v

g

t

1

. Drugi sygnał wysłany po

okresie T z nowego położenia Z

1

(ZZ

1

=v

z

T) dociera do

obserwatora O znajdującego się w nowym położeniu O

1

(OO

1

=v

o

T’) po czasie t

2

przebywając drogę Z

1

O

1

= v

g

t

2

.

Zgodnie z powyższym

ZO

1

=ZZ

1

+Z

1

O

1

=ZO+OO

1

 co można wyrazić za pomocą równości

v

z

T+ v

g

t

2

= v

g

t

1

+ v

o

T’

lub

v

g

(t

2

- t

1

)= v

o

T’- v

z

T

(34)

40

Uwzględniając, że

t

1

+T’= t

2

+T skąd t

2

- t

1

= T’-T

na podstawie (10.34) otrzymamy

v

g

(T’

- T)= v

o

T’- v

z

T

skąd

(35)

 

Wprowadzając do (35) częstotliwość =1/T i ’=1/T’

otrzymamy

(36)

T

T

v v
v v

g

z

g

o

,

=

-

-





,






v

v

v

v

g

o

g

z

v

z

-prędkość źródła, v

o

-prędkość obserwatora,

v

g

-prędkość dźwięku w ośrodku,

41

Fale dźwiękowe - Akustyka

 

Falami

dźwiękowymi

lub

akustycznymi

nazywamy podłużne fale sprężyste, mogące
rozchodzące się w ciałach stałych, cieczach i
gazach.

Zakres częstotliwości tych fal obejmuje

przedział od około 20 Hz do 20 kHz.

Fale o mniejszych częstotliwościach

(poniżej 20 Hz)

nazywamy infradźwiękami

, a fale o częstotliwościach

większych niż słyszalne – ultradźwiękami.

Fale infradźwiękowe są zwykle generowane przez
źródła o wielkich masach, np. podłużne fale sejsmiczne.

Ultradźwięki

są

wytwarzane

przez

specjalne

generatory dużej częstotliwości i mają różne znaczenie
praktyczne, np. w defektoskopach, hydrolokacji i
medycynie.

42

Fale dźwiękowe okresowe dzielimy na

tony i

dźwięki złożone

.

Tony

wywołują zmiany ciśnienia w

ośrodku o przebiegu drgań harmonicznych prostych.

Dźwięki złożone

powstają w wyniku wzajemnego

nakładania się różnych drgań harmonicznych.

Dźwięki charakteryzujemy wysokością, barwą i
natężeniem

.

Wysokość dźwięku rośnie ze

wzrostem częstotliwości.

Barwa dźwięku jest związana z zawartością wielu

drgań o różnych przebiegach i częstotliwościach.

Natężenie dźwięku zależy od wielkości amplitudy

fali

Jeżeli amplituda fali dźwiękowej nie jest zbyt duża, to
prędkość dźwięku nie zależy od częstotliwości. W tabeli
8.1 zebrano prędkości dźwięku w kilku materiałach.

43

44

45

Ośrodek

Prędkość (m/s)

Powietrze (20 C)

Wodór

Woda

Żelazo

Aluminium

Guma

340

1286

1450

5130

5100

54

2 x

o

W a r s tw a

p o w ie tr z a

 x

 m

D r g a ją c a p ły ta o p o w ie r z c h n i A

Rozważymy

falę

dźwiękową

harmoniczną

rozchodzącą

się

wzdłuż osi x (patrz rys.). Załóżmy,
że

cienka

płaska

płyta

o

powierzchni A wykonuje drgania z
amplitudą x

o

i częstotliwością



2.

Przekazuje ona energię warstwie
powietrza

o

masie



m.

Maksymalna energia kinetyczna
tej warstwy powietrza wynosi

46

2

2

2

2

1

2

1

o

o

x

m

mv













2

2

2

1

o

x

x

A

E











czyli

gdzie



jest gęstością powietrza.

Prędkość przekazywania energii do każdej kolejnej
warstwy o grubości



x można obliczyć dzieląc (8.98)

przez t

Tak więc moc P przekazywana w dodatnim kierunku osi
x przez drgającą płytę wynosi

2

2

2

1

o

x

t

x

A

t

E















u

x

A

P

o

2

2

2

1







47

Natężenie fali jest definiowane jako moc na
jednostkę powierzchni

; czyli z ostatniego równania

mamy

(8.100)

Natężenie fali jest więc proporcjonalne do
kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości.

u

x

I

o

2

2

2

1





Natężenie najsłabszego słyszalnego dźwięku

wynosi 10

–12

W/m

2

, a najsilniejszego – 1 W/m

2

. Wobec tak

szerokich granic natężeń dźwięku, które ucho ludzkie
może odbierać, przyjęto natężenie najsłabszego dźwięku
I

o

= 10

–12

W/m

2

za natężenie odniesienia i wszystkie inne

wartości natężenia porównuje się z I

o

w skali

logarytmicznej.

48

0 . 0 2 0 . 0 5 0 . 1 0 . 2 0 . 5 1 2 5 1 0 2 0

1 0

- 1

1 0

- 5

1 0

- 9

1 0

- 1 3

In

te

ns

yw

no

ść

(

W

/m

)

2

C z e s to tliw o ś ć ( k H z )

P r ó g

s ły s z a ln o ś c i

G r a n ic a b ó lu

Rys. 8.25. Czułość ucha i granica bólu.

49

Poziomem natężenia dźwięku nazywamy wielkość

(8.101)

wyrażaną w decybelach (dB). Ze wzoru (8.101) wynika,
że najsłabszy słyszalny dźwięk ma zerowy poziom
natężenia,

dźwięk o natężeniu 100 razy większym ma poziom 20 dB,

a najsilniejszy dźwięk o natężeniu 1 W/m

2

(typowy

koncert rockowy) ma poziom natężenia 120 dB.

Gdy głośność przekracza 120–135 dB, ucho nie odczuwa
już wrażenia dźwięku lecz bólu

.

Jak widać z rys. 8.25, ucho jest najbardziej wrażliwe dla
tonów o częstotliwości około 3500 Hz.

o

I

I

lg

L 10



///

50