FALE w ośrodkach sprężystych

Okazuje  się,  że  proces  przekazywania  drgań  z  jednego
punktu  do  drugiego  jest  zjawiskiem  charakterystycznym
nie tylko dla ośrodków sprężystych, ale  również dla pola
elektromagnetycznego.

Drgania

pola

elektromagnetycznego

wytwarzają

falę

elektromagnetyczną. W tym przypadku zmieniającymi się
wielkościami są pola: elektryczne i magnetyczne.
Charakterystyczną cechą takiego zaburzenia jest fakt, że
może ono propagować się również w próżni.

Na podstawie licznych obserwacji fizycznych

możemy powiedzieć, że

fale to nic innego jak

rozchodzące się w przestrzeni zaburzenia stanu
materii lub pola

Wspólną cechą wszystkich zjawisk

falowych  jest  zdolność  przenoszenia  przez  falę  energii,
przy  czym  w  procesie  tym  występuje  w  sposób  ciągły
okresowa  zamiana  energii  jednego  rodzaju  na  drugi
rodzaj

. Np. w przypadku fal sprężystych mamy ciągłą

zamianę  energii  kinetycznej  cząstek  materii  na  energię
potencjalną,  a  w  przypadku  fal  elektromagnetycznych
energia  pola  elektrycznego  przechodzi  w  energię  pola
magnetycznego i na odwrót.

Funkcja falowa. Rodzaje fal

Wiemy już, że ruch falowy polega na rozchodzeniu

się

zaburzenia

pewnej

wielkości

fizycznej

charakteryzującej stan ośrodka. Do opisu tego zaburzenia
będziemy posługiwać się wielkością , która zależeć

będzie od położenia i czasu.

(6.41)

Funkcja (x,y,z,t,) to funkcja falowa opisująca

rozchodzącą się w ośrodku falę.

W przypadku propagacji fali w cieczy lub gazie 

będzie opisywało zmiany gęstości lub ciśnienia w ośrodku
spowodowane przejściem fali.

przypadku

ciał

stałych



będzie

przemieszczeniem atomów z położenia równowagi.

Dla fali elektromagnetycznej jako funkcję 

przyjmuje się natężenie pola elektrycznego lub
magnetycznego.











Jeśli funkcja  jest skalarem, to odpowiednia fala

nazywa się skalarną

, jeśli jest wektorem, to mówimy o

fali wektorowej.

Przykładem fali skalarnej jest fala

akustyczna w gazie,

natomiast fali wektorowej – fala

elektromagnetyczna.

Zajmiemy się najpierw opisem takiej fali, dla której

 zależy tylko od jednej współrzędnej x i od czasu t

 









d r o g a , k tó r ą p r z e b y ł a f a l a w c z a s i e t





s i n ( t - k x )





s i n t



Falę taką nazywamy falą płaską. Dobrym

przykładem fali płaskiej może być fala akustyczna
wytworzona przez tłok o dużej średnicy drgający w
kierunku prostopadłym do swojej płaszczyzny.

Znajdziemy teraz postać funkcji falowej  fali

płaskiej. Załóżmy, że źródło fali wykonuje ruch
harmoniczny wokół punktu

oraz, że w chwili

początkowej

(rys.6.11). Możemy więc zapisać

(6.42)

gdzie  i 

są odpowiednio częstością i amplitudą drgań.

Zaburzenie ośrodka wywołane ruchem tłoka przemieści
się w przestrzeni i po czasie t

znajdzie się w punkcie o

współrzędnej x. Drgania w tym punkcie będą opóźnione
w stosunku do drgań źródła o wielkość

x 





sin

















Przyjmując, że amplituda drgań nie zmienia się,

funkcja (x,t) będzie miała postać

(6.43)

możemy zapisać w postaci

(6.44)

gdzie



jest

prędkością rozchodzenia się (propagacji) fali,

a ściślej prędkością przemieszczania się określonej fazy
fali, czyli

prędkością fazową.

 





sin















Prędkość fazową będziemy nazywali dalej

prędkością fali.

Uwzględniając więc (6.44), zależność

(6.43) będzie miała postać

 





























sin

Ponieważ ,

więc

2





(6.45)

 































sin

gdzie

jest długością fali, czyli odległością,

na jaką przemieści się zaburzenie w czasie jednego
okresu T. Wprowadźmy jeszcze pojęcie liczby falowej k
zdefiniowanej jako

Zatem równanie (6.46) przyjmie postać

(6.47)

Zależności (6.45-6.47) przedstawiają funkcje fali

płaskiej.

Argument funkcji sinus nazywamy fazą

fali.

Zbiór punktów w przestrzeni, w których faza

ma taką samą wartość, nazywamy

powierzchnią

falową lub czołem fali











 





sin











Dla

fali

płaskiej

określonej

wzorem

(6.47)

powierzchniami falowymi będą płaszczyzny

(rys.6.12). Powierzchni falowych jest nieskończenie

wiele. Zauważmy, że z warunku stałości fazy możemy
wyznaczyć wyprowadzoną wcześniej prędkość fazową, a
mianowicie

(6.48)

lub

(6.49)

Stąd

(6.50)

const

x 

const







const



























Dotychczas mówiliśmy o zależności przestrzenno-
czasowej funkcji  opisującej zaburzenie ośrodka,

natomiast

nie

określiliśmy,

jaki

jest

kierunek

przemieszczenie się zaburzenia czy drgań cząstek
ośrodka.

W związku z kierunkiem, w jakim odbywają się

drgania, fale dzielimy na:

podłużne

– gdy kierunek drgań jest równoległy do

kierunku

propagacji

fali,

poprzeczne

– gdy kierunek drgań jest prostopadły do

kierunku propagacji fali (rys.6.14).









s i n t

a )

b )

k i e r u n e k p r o p a g a c j i

f a l i

Naprężenie wywołane w pręcie siłą F wynosi

=F/S.

wyniku

naprężenia

następuje

względne

odkształcenie pręta

l/l

Związek  pomiędzy  naprężeniem  i  odkształceniem
określa tzw. prawo Hooka, które mówi ,że w granicach
sprężystości  odkształcenie  ciał  jest  proporcjonalne  do
naprężenia  ze  współczynnikiem  proporcjonalności
charakterystycznym  dla  danego  materiału  zwanym
modułem Younga E, czyli

=E

(13)

Siłę F możemy wyrazić jako

(14)







 l

Dzięki sprężystym własnościom ośrodka, w czasie t

zaburzenie dotrze w ruchu falowym na odległość l od
czoła pręta, czyli prędkość rozchodzenia się zaburzenia

(15)

a masa objęta zaburzeniem

m=lS (16)

W wyniku działania naprężenia prędkość cząstek pręta

wzrośnie od zera do

v=lt(17)
Podstawiając (14), (16) i (17) do (12) otrzymamy

(18)





ES t



Skąd wynika, że E/v=v czyli v

= E/ skąd prędkość

rozchodzenia się zaburzenia liniowego w pręcie jest
równa

(19)

Jeżeli działanie siły wywołuje, nie zmiany długości
pręta,

lecz

odkształcenie

objętościowe

lub

postaciowe to prędkości fal sprężystych będą
określone wzorami

(20)

W  ośrodkach  gazowych,  w  stałej  temperaturze,  moduł
sprężystości  objętościowej  jest  równy  ciśnieniu    K=p.
Jeśli brak jest wymiany ciepła z otoczeniem (przemiany
adiabatyczne)  wówczas  K=  c  gdzie  =C

. W

powietrzu =1.4, =1.293 kg.m

-3

przy ciśnieniu

p=1013 hPa v=331.5 m/s.









lub

6.9 Równanie różniczkowe ruchu falowego

Funkcja

(x,t)

(6.47)

opisująca

zaburzenia

wywołane  przejściem  fali  spełnia  pewne  równanie, które
nazywamy  różniczkowym  równaniem  ruchu  fali.  Aby
znaleźć  postać  tego  równania,  obliczamy  drugie
pochodne funkcji (x,t) względem t oraz względem x.

(6.51)

(6.52)

Mnożąc obustronnie równanie (6.51) przez k

, natomiast

(6.52) przez 

, możemy porównać lewe strony tych

równań

(6.53)































sin



























sin





















Ponieważ

, więc





































Jest to równanie różniczkowe ruchu fali

płaskiej propagującej się wzdłuż osi x z
prędkością fazową 

. Rozwiązaniami równania (6.54)

są omawiane już wcześniej funkcje falowe (6.47).

Czyli, znając postać równania ruchu falowego danego
rodzaju, jesteśmy w stanie (rozwiązując równanie
ruch) wyznaczyć funkcje falowe  opisujące

rozchodzenie się danego rodzaju fali w danym
ośrodku. Jeżeli 

i 

są rozwiązaniami różniczkowego

równania fali to funkcja

gdzie 

i 

są dowolnymi stałymi, jest także

rozwiązaniem równania fali, a więc  reprezentuje

również falę, która może rozchodzić się w tym
ośrodku.

Fakt ten nosi nazwę zasady superpozycji.















 





sin











Zasada superpozycji

Jeśli w ośrodku propagują się dwie fale, to
wypadkowe zaburzenia ośrodka jest równe sumie
zaburzeń wywołanych przez poszczególne fale.

6.10. Interferencja fal

Interferencją

fal

nazywamy

zjawisko

nakładania się (superpozycji) dwóch lub więcej fal
o tych samych długościach, a więc o tych samych
pulsacjach.

Rozważmy dwie fale biegnące z taką samą

prędkością w tym samym kierunku o równych
amplitudach, lecz o różniących się fazach. Niech
równania tych fal mają postać

(6.55)

(6.56)





sin





















sin





















W danym punkcie przestrzeni fale te wywołują drgania
równoległe o różnicy faz

Wypadkowe drgania można wyrazić równaniem

















sin



























cos

sin





























 



















cos

sin















sin

(6.57)

gdzie

cos







Fala wypadkowa  dana

równaniem (6.57) ma więc tę samą
pulsację  co fale składowe 

i 

ale inną amplitudę A















sin

Fala wypadkowa  dana równaniem (6.57) ma więc tę

samą pulsację  co fale składowe 

i 

ale inną

amplitudę A, równą

Gdy fazy fal są zgodne (tzn.
), to amplituda fali wypadkowej wynosi 2A;

mówimy wówczas, że fale się wzmacniają.

Gdy fazy fal są przeciwne (tzn.
), to amplituda fali wypadkowej jest równa

zeru; mówimy wówczas, że fale się wygłuszają.

cos





,...













,...













6.11. Fale stojące

Fala wytworzona w ciele o skończonych

rozmiarach  odbija  się  od  granicy  tego  ciała:  np.  fala
wytworzona  na  napiętej  strunie  odbija  się  od  obu
punktów  unieruchomienia  struny.  Fala  odbita  porusza
się  w  kierunku  przeciwnym  niż  fala  padająca  i
superpozycja  tych  dwóch  fal  (fali  padającej  i  odbitej)
daje w wyniku falę wypadkową, zwaną falą stojącą.

Załóżmy, że rozchodząca się w ciele fala jest falą

harmoniczną i że odbija się ona od granic tego ciała bez
strat, tzn. fala odbita ma taką samą amplitudę, co fala
padająca. Fale te można opisać równaniami:

 















sin

 















sin

fala biegnie w kierunku dodatnim
0x i

fala biegnie w kierunku ujemnym
osi 0x.

Stąd fala wypadkowa ma postać

 











 

























sin

 



















cos

sin

 

sin

cos

















fala wypadkowa ma postać

Jest to równanie fali stojącej

Równanie fali stojącej o postaci (6.58) możemy

zapisać

(6.59)

 

sin









(6.58
)

gdzie amplituda

(6.60)

 











cos

 











cos

W przypadku fali stojącej wszystkie cząstki

ośrodka (np. struny) wykonują drgania harmoniczne
w tej samej fazie.

W fali biegnącej (czyli fali o funkcji falowej danej

równaniem (6.45) lub (6.47)) amplitudy cząstek
drgających są jednakowe,

dla fali stojącej natomiast

charakterystyczne jest to, że amplitudy drgań
cząstek zależą od ich położeń

Ze wzoru (6.59) można wywnioskować, że

amplituda drgań, dana wyrażeniem (6.60), przybiera
wartość maksymalną 2

w punktach, w których

a wartość minimalną (równą zeru) w punktach, w których

,...









,...









węzły

strzałki

Punkty o maksymalnej amplitudzie drgań są

nazywane strzałkami, a punkty w których amplituda
drgań jest równa zeru, czyli punkty nie wykonujące
drgań, są nazywane węzłami.

Ponieważ zachodzi związek

strzałki znajdują się w punktach

a węzły w punktach

Widać stąd, że węzły i strzałki są położone na przemian
oraz, że odległości między kolejnymi węzłami lub
kolejnymi strzałkami wynoszą pół długości fali.







,...







,...





 ( x ,t )

w ę z e ł w ę z e ł w ę z e ł w ę z e ł



s t r z a ł k a s tr z a ł k a

t + T

Fala stojąca
przedstawiona w
postaci szeregu
„chwilowych
fotografii” wychylenia
punktów z położenia
równowagi dla trzech
chwil:



Dla chwili

(dla której wszystkie punkty
mają zerowe wychylenie),
strzałkami

oznaczono

prędkości cząstek.

t 

Fala stojąca jest szczególnym przypadkiem fali,

takiej,

której

energia

drgań

nie

jest

przenoszona, lecz trwale zmagazynowana w
poszczególnych punktach ośrodka

Ruch taki można

rozpatrywać jako drganie ośrodka jako całości.

Nazywamy go jednak falą stojącą, ponieważ powstaje
w wyniku nałożenia się dwóch fal biegnących w
przeciwnych kierunkach.

Odbicie fali od granicy ośrodka może zachodzić

dwojako: ze zmianą fazy i bez zmiany fazy.

Np.

gdy koniec struny jest unieruchomiony, przy

odbiciu fali jej faza zmienia się skokowo o 

. Fale

padająca i odbita znoszą się wzajemnie w tym punkcie
i

w miejscu zamocowania powstaje węzeł

Odmiennie wygląda sprawa w przypadku,

gdy koniec

struny jest swobodny

, np. zakończony pierścieniem

mogącym przesuwać się na poprzecznie umieszczonym
pręcie. W tym przypadku

odbicie fali następuje bez

zmiany fazy i na końcu struny powstaje strzałka.

Prędkość grupowa fal

Jeżeli w ośrodku biegnie kilka fal o bliskich

wartościach  i k, to w rezultacie superpozycji tych fal

fala  wypadkowa może  propagować  się  z  inną
prędkością  niż  prędkość  fazowa  każdej  z  fal
składowych.      Rozważmy  dwie  fale  biegnące  w  tym
samym kierunku

y’=Ysin(’t -k’x) i y’’=Ysin(’’t -k’’x)

(27)

Fala wypadkowa

= y’+y’’ =2Ysin /2 cos /2

(28)

gdzie

(29)

Załóżmy, że

’=+, ’’=-, k’=k+k, k’’ =k - k

(30)



 





 





 



 













;

k k x

Podstawiając (30) do (29) a następnie do (28) otrzymamy

=2Ycos(t-kx)sin(t -kx) = B sin(t -kx)

(31)

Amplituda fali wypadkowej B będzie maksymalna gdy
t-kx=0. To maximum będzie wędrować w kierunku

osi x. Jego ruch określa równanie

(32)

Jak widać ruch paczki falowej złożonej z kilku fal będzie
ruchem jednostajnym z prędkością v

zwaną prędkością

grupową, która w granicy jest równa

(33)

t v t











Paczka falowa propagująca się z
prędkością grupową

Zależność pomiędzy prędkością grupową a wcześniej
określoną fazową u jest







Z ww. związku wynika, że

może być mniejsze jak

i większe od u w zależności od znaku

W ośrodkach niedyspersyjnych

i prędkość

grupowa jest równa prędkości fazowej. W teorii
względności udowadnia się, że prędkość grupowa

, podczas gdy dla prędkości fazowej nie

ma ograniczenia.

Najbardziej charakterystyczny przykład rozchodzenia się
fali z prędkością grupową to przechodzenie światła przez
dielektryk.

Drugie  bardzo  ważne  zastosowanie  pojęcia  prędkości
grupowej związane jest z mechaniką kwantową, w której
cząstkom  przypisuje  się  paczki  falowe.  Prędkość  cząstki
jest zgodna z prędkością grupową paczki falowej, a nie z
prędkościami  oddzielnych  składowych,  które  zwykle
różnią się od siebie.









Efekt Dopplera

Powszechnie znanym efektem związanym z ruchem

falowym jest tzw.

efekt Dopplera polegający na

zmianie częstości  wynikającej z względnego ruchu

źródła i obserwatora

Na początek rozważymy ten efekt dla fal w

ośrodkach sprężystych . Efekt Dopplera w ośrodkach
sprężystych związany jest z ruchem źródła i obserwatora
względem ośrodka, stąd różny mechanizm zmiany
częstotliwości w przypadku zbliżania się obserwatora do
źródła (rys. 10.10a) i źródła do obserwatora (rys. 10.10b).





Efekt Dopplera w ośrodkach sprężystych
rozpatrywany  w  układzie  nieruchomym
względem  ośrodka;  a)  spowodowany
ruchem  obserwatora  przy  czym  źródło
pozostaje w spoczynku;

Oznaczenia: Z-źródło, O-obserwator, v

prędkość

źródła,

-prędkość

obserwatora, v

-prędkość dźwięku w

ośrodku,-długość fali



Efekt

Dopplera

ośrodkach

sprężystych rozpatrywany w układzie
nieruchomym względem ośrodka; b)
spowodowany ruchem źródła przy czym
obserwator pozostaje w spoczynku.

Oznaczenia: Z-źródło, O-obserwator, v

prędkość

źródła,

-prędkość

obserwatora, v

-prędkość dźwięku w

ośrodku,-długość fali

T v

Z Z

O O

Rys. 10.11. Schemat pomocniczy do wyjaśnienia efektu Dopplera.
Oznaczenia: Z-źródło, O-obserwator, v

-prędkość źródła, v

-prędkość

obserwatora,okres sygnału wysyłanego, T‘-okres sygnału

odbieranego przez obserwatora, v

-prędkość dźwięku w ośrodku, t

-czas przebycia przez sygnał drogi ZO, t

- czas przebycia przez

sygnał drogi Z

T v

Z Z

O O

Zgodnie z oznaczeniami na rys. 10.11. pierwszy

sygnał dociera do obserwatora po czasie t

potrzebnym

na przebycie drogi ZO=v

. Drugi sygnał wysłany po

okresie T z nowego położenia Z

(ZZ

T) dociera do

obserwatora O znajdującego się w nowym położeniu O

(OO

T’) po czasie t

przebywając drogę Z

= v

Zgodnie z powyższym

=ZZ

=ZO+OO

co można wyrazić za pomocą równości

T+ v

= v

+ v

T’

lub

- t

)= v

T’- v

(34)

Uwzględniając, że

+T’= t

+T skąd t

- t

= T’-T

na podstawie (10.34) otrzymamy

(T’

- T)= v

T’- v

skąd

(35)

Wprowadzając do (35) częstotliwość =1/T i ’=1/T’

otrzymamy

(36)

v v
v v








-prędkość źródła, v

-prędkość obserwatora,

-prędkość dźwięku w ośrodku,

Fale dźwiękowe - Akustyka

Falami

dźwiękowymi

lub

akustycznymi

nazywamy podłużne fale sprężyste, mogące
rozchodzące się w ciałach stałych, cieczach i
gazach.

Zakres częstotliwości tych fal obejmuje

przedział od około 20 Hz do 20 kHz.

Fale o mniejszych częstotliwościach

(poniżej 20 Hz)

nazywamy infradźwiękami

, a fale o częstotliwościach

większych niż słyszalne – ultradźwiękami.

Fale infradźwiękowe są zwykle generowane przez
źródła o wielkich masach, np. podłużne fale sejsmiczne.

Ultradźwięki

są

wytwarzane

przez

specjalne

generatory dużej częstotliwości i mają różne znaczenie
praktyczne, np. w defektoskopach, hydrolokacji i
medycynie.

Fale dźwiękowe okresowe dzielimy na

tony i

dźwięki złożone

Tony

wywołują zmiany ciśnienia w

ośrodku o przebiegu drgań harmonicznych prostych.

Dźwięki złożone

powstają w wyniku wzajemnego

nakładania się różnych drgań harmonicznych.

Dźwięki charakteryzujemy wysokością, barwą i
natężeniem

Wysokość dźwięku rośnie ze

wzrostem częstotliwości.

Barwa dźwięku jest związana z zawartością wielu

drgań o różnych przebiegach i częstotliwościach.

Natężenie dźwięku zależy od wielkości amplitudy

fali

Jeżeli amplituda fali dźwiękowej nie jest zbyt duża, to
prędkość dźwięku nie zależy od częstotliwości. W tabeli
8.1 zebrano prędkości dźwięku w kilku materiałach.

Ośrodek

Prędkość (m/s)

Powietrze (20 C)

Wodór

Woda

Żelazo

Aluminium

Guma

340

1286

1450

5130

5100

2 x

W a r s tw a

p o w ie tr z a

 x

 m

D r g a ją c a p ły ta o p o w ie r z c h n i A

Rozważymy

falę

dźwiękową

harmoniczną

rozchodzącą

się

wzdłuż osi x (patrz rys.). Załóżmy,
że

cienka

płaska

płyta

powierzchni A wykonuje drgania z
amplitudą x

i częstotliwością



2.

Przekazuje ona energię warstwie
powietrza

masie



Maksymalna energia kinetyczna
tej warstwy powietrza wynosi





















czyli

gdzie



jest gęstością powietrza.

Prędkość przekazywania energii do każdej kolejnej
warstwy o grubości



x można obliczyć dzieląc (8.98)

przez t

Tak więc moc P przekazywana w dodatnim kierunku osi
x przez drgającą płytę wynosi

















Natężenie fali jest definiowane jako moc na
jednostkę powierzchni

; czyli z ostatniego równania

mamy

(8.100)

Natężenie fali jest więc proporcjonalne do
kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości.





Natężenie najsłabszego słyszalnego dźwięku

wynosi 10

–12

W/m

, a najsilniejszego – 1 W/m

. Wobec tak

szerokich granic natężeń dźwięku, które ucho ludzkie
może odbierać, przyjęto natężenie najsłabszego dźwięku
I

= 10

–12

W/m

za natężenie odniesienia i wszystkie inne

wartości natężenia porównuje się z I

w skali

logarytmicznej.

0 . 0 2 0 . 0 5 0 . 1 0 . 2 0 . 5 1 2 5 1 0 2 0

1 0

- 1

1 0

- 5

1 0

- 9

1 0

- 1 3

ść

(

)

C z e s to tliw o ś ć ( k H z )

P r ó g

s ły s z a ln o ś c i

G r a n ic a b ó lu

Rys. 8.25. Czułość ucha i granica bólu.

Document Outline