Dylatacja czasu

Załóżmy, że w rakiecie znajduje się przyrząd wysyłający impuls
światła z punktu A, który następnie odbity przez lustro Z, odległe od A
o d powraca do punktu A, gdzie jest rejestrowany (rysunek).

Czas t', jaki upływa między wysłaniem światła, a jego zarejestrowaniem

przez obserwatora będącego w rakiecie jest oczywiście równy t' = 2d/c.

W układzie nieruchomym czas t przelotu światła z punktu A do zwierciadła

i z powrotem do A:

2

2

2

d

t

V

S













 



c

d

t

V

t

2

2

2

2













 





2

2

2

2

1

'

1

2

c

V

t

c

V

c

d

t













lub po przekształceniu

Widać, że warunek stałości prędkości światła w różnych układach odniesienia
może być spełniony tylko wtedy, gdy czas pomiędzy dwoma zdarzeniami
obserwowanymi i mierzonymi w różnych układach odniesienia jest różny.

każdy obserwator stwierdzi, że poruszający się zegar idzie wolniej
niż identyczny zegar w spoczynku

To zjawisko dylatacji (wydłużenia) czasu jest własnością samego czasu i
dlatego spowolnieniu ulegają wszystkie procesy fizyczne, gdy są w ruchu.
Dotyczy to również reakcji chemicznych, np. biologicznego starzenia się.

Zjawisko to jest obserwowane także przez fizyków, którzy mierzą czas życia
rozpadających się cząstek, na przykład mezonów π. Kiedy cząstka porusza się
w układzie laboratoryjnym z prędkością bliską prędkości światła, jej czas życia
ulega wydłużeniu, co bez trudu można sprawdzić doświadczalnie.

Δt

0

- upływ czasu dla obserwatora w układzie nieruchomym,

Δt - upływ czasu w układzie poruszającym się z prędkością v,

czynnik Lorentza

,

v - względna prędkość ruchu układów
c -

prędkość światła

w próżni.

prędkość

jako %

prędkośc

i

światła

współc

zynnik

dylata

cji

różnic

a w

upływi

e

czasu

w %

0

1

0 %

1

1.0000

5

0.005 

%

10

1.005

0.5 %

50

1.15

15 %

70

1.40

40 %

90

2.29

129 %

95

3.20

220 %

99

7.08

608 %

99,998

158.11

15711 

%

100

Transformacja Lorentza

Szukamy ponownie (jak w przypadku transformacji Galileusza) wzorów

przekładających spostrzeżenia jednego obserwatora na obserwacje drugiego.

Chcemy znaleźć transformację współrzędnych, ale taką, w której obiekt

poruszający się z prędkością równą c w układzie nieruchomym (x, y, z, t),

również w układzie (x', y', z', t') poruszającym się z prędkością V wzdłuż osi x

będzie poruszać się z prędkością c.

Transformacja współrzędnych, która uwzględnia niezależność prędkości
światła od układu odniesienia ma postać:

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

'

'

'

1

1

'

































x

c

V

t

c

V

x

c

V

t

t

z

z

y

y

Vt

x

c

V

Vt

x

x

gdzie



 = V/c. Te równania noszą nazwę

transformacji Lorentza

.

Jednoczesność

Przyjmijmy, że według obserwatora w rakiecie poruszającej się wzdłuż osi x'

(czyli także wzdłuż osi x, bo zakładamy, te te osie są równoległe) pewne dwa

zdarzenia zachodzą równocześnie t' = t

2

' ‑ t

1

' = 0, ale w rożnych miejscach

x

2

' ‑ x

1

' = x'  0.

Sprawdźmy, czy te same zdarzanie są również jednoczesne dla obserwatora

w spoczynku.

Z transformacji Lorentza wynika, że

2

2

1

'















x

c

V

t

t

t

V

x

x













2

1

'



Łącząc oba powyższe równania otrzymujemy związek:

'

1

'

2

2

x

c

V

t

t















Po uwzględnieniu, że zdarzenia w układzie związanym z rakietą
są jednoczesne, t' = 0, otrzymamy ostatecznie

'

1

2

2

x

c

V

t











równoczesność zdarzeń nie jest bezwzględna,
w układzie nieruchomym te dwa zdarzenia nie są jednoczesne

Skrócenie długości

Rozpatrzmy przykład: w rakiecie poruszającej się z prędkością V,
wzdłuż osi x' , leży pręt o długości L'. Sprawdźmy, jaką długość tego pręta
zaobserwuje obserwator w układzie nieruchomym.

Pomiar długości pręta polega na zarejestrowaniu dwóch zjawisk zachodzących
równocześnie na końcach pręta (np. zapalenie się żarówek). Ponieważ żarówki
zapalają się na końcach pręta, to x' = L'. Ponadto, żarówki zapalają się w tym

samym czasie (dla obserwatora w układzie spoczywającym), to dodatkowo
t = 0.

Uwzględniając te warunki, na podstawie transformacji Lorentza otrzymujemy

x

L







2

1

1

'



2

1

'











L

L

x

pręt ma mniejszą długość

Stałość przedziału czasoprzestrzennego

y'

y

x'

x



Dodawanie prędkości

Z transformacji Lorentza wynika, że

2

1

'















t

V

x

x

2

2

1

'















x

c

V

t

t

Dzieląc te równania przez siebie otrzymujemy:

t

x

c

V

V

t

x

x

c

V

t

t

V

x

t

x

































2

2

1

'

'

po podstawieniu

'

'

'

t

x

U

x







t

x

U

x







2

1

'

c

VU

V

U

U

x

x

x







Równanie można rozwiązać ze względu na U

x

2

'

1

'

c

VU

V

U

U

x

x

x







Zależność masy od prędkości

Uwzględniając zależność masy od prędkości otrzymujemy

2

0

0

1

)

(

















c

m

Ft

m

Ft

t

V

Porównanie zależności prędkości ciała od czasu działania siły w mechanice
klasycznej i relatywistycznej jest pokazane na rysunku:

W przeciwieństwie do opisu klasycznego, z powyższej zależności wynika,
że cząstki nie da się przyspieszać w nieskończoność działając stałą siłą.

Równoważność masy i energii

Einstein pokazał, że zasada zachowania energii jest spełniona w mechanice
relatywistycznej pod warunkiem, że pomiędzy masą i całkowitą energią ciała
zachodzi związek

2

mc

E 

gdzie m zależy od prędkości ciała V

Równanie Einsteina opisuje równoważność masy i energii.

Wynika z niego, że ciało w spoczynku ma zawsze pewną energię związaną
z jego masa spoczynkową

2

0

0

c

m

E 

Energię kinetyczną ciała poruszającego się z prędkością V obliczamy
odejmując od energii całkowitej energię spoczynkową (nie związaną z ruchem)

2

0

2

0

2

0

)

(

c

m

m

c

m

mc

E

E

E

k













Mechanika relatywistyczna wiąże energię kinetyczną z przyrostem masy ciała.
Warto określić, jaką wartość przyjmuje energia całkowita, jeśli prędkość V jest
mała. Dla małego V równanie można przybliżyć (rozwijając w szereg) do postaci





















2

2

0

2

2

0

2

1

1

)

(

c

V

m

c

V

m

V

m

Podstawiając tę wartość do wyrażenia na energię całkowitą otrzymujemy

2

)

(

2

0

2

0

2

V

m

c

m

c

V

m

E







Pierwszy wyraz jest energią związaną z istnieniem samej masy (energia
spoczynkowa) natomiast drugi jest klasyczną energią kinetyczną związaną
z ruchem ciała.
Otrzymaliśmy rozwiązanie klasyczne jako graniczny przypadek
(dla małych prędkości) rozwiązania relatywistycznego.

jeżeli masa spoczynkowa cząstki zostanie zmniejszona o m,

to nastąpi wyzwolenie energii

Zasada zachowania energii

zderzenie niesprężyste

Punkt w czasoprzestrzeni nosi nazwę punktu świata, a zbiór punktów
opisujących przemieszczenia danego ciała w czasie i przestrzeni tworzy linię
świata. Linie te mieszczą się wewnątrz stożka zwanego stożkiem świetlnym
lub stożkiem Minkowskiego. Stożek ten opisany jest równaniem

Trajektorie wszystkich sygnałów, które rozchodzą się z danego punktu O
z prędkością światła znajdują się na powierzchni tego stożka. Wszystkie
trajektorie ruchów o prędkościach mniejszych mieszczą się wewnątrz stożka.
Stożek ten określa przeszłość i przyszłość zdarzenia O. Wszystko, co
w przeszłości mogło mieć wpływ na zdarzenie O mieści się w dolnej części
stożka. Wszystko, co może stanowić przyszłość tego zdarzenia mieści się
w części górnej. Wszystkie zdarzenia z obszaru "gdzie indziej" ani nie mogły
mieć wpływu na zdarzenie O w przeszłości, ani nie mogą mieć w przyszłości;
nie pozostają z tym zdarzeniem w żadnym stosunku przyczynowym.
Linia zielona, to linia świata relatywistycznej cząstki (poruszającej się
z prędkością v), czyli zbiór zdarzeń, polegających na znalezieniu się tej cząstki
w określonym miejscu w określonym czasie. Dla każdego takiego zdarzenia
można wyznaczyć stożek przyszłości i przeszłości.

Wiemy, że światło biegnie od Słońca do Ziemi około 8 min.

Obserwator znajduje się na Ziemi w wierzchołku stożka świata.

W chwili t = 0 Słońce jest w punkcie na osi l (czerwone koło) .

Aktualny stan Słońca jest niedostępny obserwacjom. Nawet

jeśliby Słońce znikło, to dowiemy się o tym dopiero po 8 minutach

od tego zdarzenia. Obraz Słońca widoczny na niebie to Słońce sprzed

8 minut (pomarańczowe koło na wykresie)