WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

W ZAKRESIE STRUKTURY ZJAWISK

• WPROWADZENIE
Aby móc uogólnić wyniki otrzymane w próbie na całą populację, próba musi być

losowa.

Próba losowa prosta
Ciąg n zmiennych losowych X

1

, X

2

,…,X

n

, które są niezależne i mają jednakowe

rozkłady, takie jak zmienna X w populacji.

Wnioskowanie o parametrach populacji na podstawie próby losowej bazuje na

pewnych funkcjach zmiennych losowych X

1

, X

2

,…,X

n

, które tworzą próbę.

Funkcje te nazywa się statystykami z próby.

Przykładami statystyk z próby są następujące funkcje:

Czyli średnia z próby i wariancja z próby.







n

i

i

X

n

X

1

1















n

i

i

X

X

n

S

1

2

2

1

1

Dysponując wynikami konkretnej próby, tj. ciągiem liczb x

1

, x

2

,…,x

n

, i

podstawiając do wzoru

Otrzymuje się realizację statystyki, czyli konkretną wartość średniej z

próby, którą oznacza się .

Powtarzanie procesu pobierania prób i obliczania na ich podstawie

realizacji statystyki prowadzi do otrzymania zbioru różnych
wartości średnich, który służy do ustalenia rozkładu średniej z
próby .

Rozkłady statystyk z próby







n

i

i

X

n

X

1

1

x

x

X

Gdybyśmy posiadali wiele n-elementowych próbek, to

histogram średnich z tych próbek przybliżałby tzw. rozkład
średniej z próby.

Przykład histogramu dla 1000 próbek (każda o liczności n =

150) przybliżającego rozkład średniej z próby przedstawia
wykres.

Jeśli zwiększymy liczebność każdej próbki, np. do n = 1000,

wówczas histogram średnich obliczonych z tych próbek
będzie bardziej ”skupiony” wokół średniej z populacji (tu
średnia z populacji= 0,32). Histogram poniżej wykonano
dla 1000 próbek.

• Załóżmy teraz, że n = 5000. Koncentracja średnich z próbek

wokół średniej z populacji jest tu jeszcze bardziej wyraźna.
W tym przypadku średnie dla większości próbek są bardzo
bliskie wartości średniej dla całej populacji (równej nadal
0,32).

Zauważymy, że wykreślona krzywa przypomina krzywą

gęstości rozkładu normalnego. Wykres ten ilustruje w
uproszczeniu sens centralnego twierdzenia granicznego
przedstawionego dalej.

Centralne

twierdzenie

graniczne

jest

ważnym

twierdzeniem rachunku prawdopodobieństwa. W skrócie
mówi ono, iż średniej arytmetycznej z próby dąży do
rozkładu normalnego N(μ ), gdy liczebność n próby
dąży do nieskończoności,

Dotychczasowe rozważania pokazują, że możliwe jest

przybliżanie rzeczywistych wartości pewnych wskaźników
(parametrów) populacji na podstawie próby losowej.

Prawdopodobieństwo ”trafienia” w prawdziwą wartość

parametru jest tym większe, im większa jest liczność n
próby.

Jeśli szukanym parametrem jest średnia określonej cechy w

populacji i jeśli dysponujemy dużą próbą (często wystarczy
n>=30), wówczas możemy odwołać się do własności
rozkładu normalnego, w celu wyznaczenia oszacowania
szukanej średniej.

n

/

