Podstawy krystalografii

Michał Sobczak

Sieć + Baza = Struktura

krystaliczna

Sieć – regularny układ

punktów zdefiniowany
przez podstawowe
wektory translacji sieci.
Abstrakcja
matematyczna.

Baza atomowa –

atomy lub cząsteczki
przypisane do
węzłów sieci.

Wektory translacji sieci

Podstawowe wektory translacji definiują

sieć w taki sposób, że ułożenie atomów wygląda
tak samo z punku jak i z punktu .

T

a

u

a

u

a

u

r

r























3

3

2

2

1

1

'

3

2

1

,

,

a

a

a







'

r

r

Gdzie są dowolnymi liczbami całkowitymi.

3

2

1

,

,

u

u

u

jest wektorem translacji sieci.
Mówimy, że kryształ jest niezmienniczy
ze względu na translację.

T



Komórka elementarna

Najmniejszy obszar sieci przestrzennej

wyodrębniony przez sześć płaszczyzn parami
równoległych, mający kształt
równoległościanu.

Równoległościa
n zdefiniowany
jest
przez
podstawowe
wektory
translacji.

Komórka elementarna

Komórka Wignera-Seitza – schemat

wyodrębniania komórki elementarnej.

1. Łączymy liniami węzeł ze

wszystkimi sąsiadami

2. Pośrodku lini prowadzimy

proste prostopadłe.

Sieci Bravais

Złożenie 7 systemów krystalograficznych oraz 4

sposobów centrowania teoretycznie daje 28 sieci
Bravais, w rzeczywistości występuje 14.

Układ

Centrowa

ń

Krawędzie i kąty

Trójskośny

1

a  b  c,       90º

Jednoskośny

2

a  b  c,  = 90º 


Rombowy

4

a  b  c,  =  =  =

90º

Tetragonalny

2

a = b  c,  =  =  =

90º

Regularny

3

a = b = c,  =  =  =

90º

Romboedryczn

y (trygonalny)

1

a = b  c,  =  = 90º, 

= 120º

a = b = c,  =  =  

90º

Heksagonalny

1

a = b  c,  =  = 90º,
= 120º

Sieci Bravais 2D

Ukośnokątna a

1

a

2

,

90º

Kwadratowa a

1

=a

2

,

=90º

Prostokątna a

1

a

2

,

=90º

Sześciokątna a

1

=a

2

,

=120º

Prostokątna centrowana a

1

 a

2

,

  90º

Komórka umowna

Minimalny obszar mający pełną symetrię sieci, którym

można wypełnić przestrzeń dokonując translacji.

prosta

przestrzennie

ściennie
(prymitywna) centrowana

centrowana

Kierunki sieciowe

Kierunki obliczamy tak jak współrzędne wektora i sprowadzamy je

do liczb całkowitych

Płaszczyzny sieciowe

Płaszczyzna sieciowa – płaszczyzna na której leżą co najmniej 3 węzły sieci nie leżące

na jednej prostej. W związku z tym płaszczyzn w krysztale jest nieskończenie wiele.

Płaszczyzny równoległe tworzą rodzinę identycznych płaszczyzn sieciowych.

Wskaźniki Millera

Płaszczyzna lub rodzina płaszczyzn jest określona przez 3 liczby

całkowite hkl zwane wskaźnikami Millera.

Sieć ma stałe a, b, c, płaszczyzna przecina
osie w odległościach 3a, 2b, 2c
to wskaźniki Millera wynoszą
(2,3,3) – odwrotności odległości
pomnożone przez najmniejszy
wspólny mianownik.

Sieć odwrotna

Jeżeli , są podstawowymi wektorami sieci krystalicznej,

to podstawowe wektory sieci odwrotnej ,są zdefiniowane:

3

2

1

3

2

1

a

a

a

a

a

2π

b





















3

2

1

1

3

2

a

a

a

a

a

2π

b





















3

2

1

2

1

3

a

a

a

a

a

2π

b





















3

2

1

,

,

a

a

a







3

2

1

,

,

b

b

b







Sieć odwrotna 2D

Jeżeli , są podstawowymi wektorami sieci dwuwymiarowej,

to podstawowe wektory sieci odwrotnej ,są zdefiniowane:

nˆ

a

a

nˆ

a

2π

b

2

1

2

1

















nˆ

a

a

a

nˆ

2π

b

2

1

1

2

















2

1

,a

a 



2

1

,b

b





Gdzie, jest jednostkowym wektorem

prostopadłym do powierzchni.

nˆ

Strefa Brillouina

W sieci odwrotnej podobnie jak w sieci prostej, definiuje się komórkę elementarną.

Komórkę elementarną sieci odwrotnej nazywamy pierwsza strefą Brillouina. Konstrukcja

pierwszej strefy jest identyczna z konstrukcją komórki Wignera-Seitza sieci prostej.

Kolejne strefy Brillouina

sc

I

II

III

fcc

bcc

Rozkład sąsiadów

Rozkład sąsiadów dla
sieci sc

Rozkład sąsiadów

Rozkład sąsiadów dla
sieci bcc

Rozkład sąsiadów

Rozkład sąsiadów dla
sieci fcc

Definicja sumy strukturalnej

Suma strukturalna jest to suma po

odpowiednich sąsiadach leżących w danej
płaszczyźnie sieciowej, określona jest wzorem:

gdzie:

• - wektor falowy równoległy do płaszczyzny o
określonej orientacji powierzchniowej,

• - wektor położenia rzutu odpowiedniego
sąsiada leżącego w płaszczyźnie l’=l+n wybranego
węzła z płaszczyzny l,

• indeks górny N dotyczy drugich sąsiadów.

||

k



 













'

'

||

||

exp

l

j

l

N

n

j

k

i

k









'

l

j



Koniec

Dziękuję za uwagę.