Stabilność układów

automatyki

Stabilność

Stabilność

układu jest cechą polegającą na

układu jest cechą polegającą na

samoczynnym powracaniu do stanu trwałej

samoczynnym powracaniu do stanu trwałej

równowagi po ustaniu działania zakłócenia,

równowagi po ustaniu działania zakłócenia,

które wytrąciło układ z tego stanu.

które wytrąciło układ z tego stanu.

Układ jest

Układ jest

stabilny asymptotycznie

stabilny asymptotycznie

, gdy po

, gdy po

zaniku zakłócenia układ powraca do tego

zaniku zakłócenia układ powraca do tego

samego stanu równowagi co zajmowany

samego stanu równowagi co zajmowany

poprzednio.

poprzednio.

Stabilność układów

automatyki

Analityczne sformułowanie warunków stabilności

Analityczne sformułowanie warunków stabilności

Należy więc zbadać rozwiązanie ogólne równania różniczkowego
jednorodnego

u

b

dt

du

b

dt

u

d

b

dt

u

d

dt

dy

dt

y

d

dt

y

d

m

m

m

m

m

n

n

n

n

0

1

1

1

1

m

0

1

1

1

1

-

n

n

...

b

y

a

+

a

+

...

+

a

a























0

y

a

+

a

+

...

+

a

a

0

1

1

1

1

-

n

n









dt

dy

dt

y

d

dt

y

d

n

n

n

n

Rozwiązanie jest suma dwóch rozwiązań:

Rozwiązanie jest suma dwóch rozwiązań:

Ogólnego y

Ogólnego y

0

0

(t)

(t)

Szczególnego y

Szczególnego y

s

s

(t)

(t)

Układ będzie stabilny gdy

Układ będzie stabilny gdy

0

)

(

lim

0







t

y

t

0

a

+

a

+

...

+

a

a

0

1

1

1

-

n

n







s

s

s

n

n

Równanie
charakterystyczne

Stabilność układów

automatyki

Pierwiastki równania charakterystycznego mogą przybierać

Pierwiastki równania charakterystycznego mogą przybierać

wartości: zerowe, rzeczywiste dodatnie lub ujemne, zespolone z

wartości: zerowe, rzeczywiste dodatnie lub ujemne, zespolone z

częścią rzeczywistą dodatnią, zerową lub ujemną

częścią rzeczywistą dodatnią, zerową lub ujemną

t

s

t

s

t

s

n

e

C

e

C

e

n

2

1

0

+

...

+

C

(t)

y

2

1





)

sin

cos

(

)

sin

cos

(

(t)

y

2

4

2

3

1

2

1

1

0

2

1

t

A

t

A

e

t

A

t

A

e

t

s

t

s



















Stabilność układów

automatyki

Definicja stabilności w sensie Lapunova

Definicja stabilności w sensie Lapunova

η

ε

x=0

x

1

x

2

-------stabilny
asymptotycznie
stabilny
…….niestabilny

x=
0

ε

η

Stabilność układów

automatyki

Kryteria stabilności układów liniowych

Kryteria stabilności układów liniowych

Kryterium stabilności nazywamy twierdzenia które

Kryterium stabilności nazywamy twierdzenia które

bez rozwiązywania równania charakterystycznego

bez rozwiązywania równania charakterystycznego

rozstrzygają problem stabilności.

rozstrzygają problem stabilności.

Rozpatrujemy dwie grupy kryteriów stabilności:

Rozpatrujemy dwie grupy kryteriów stabilności:

a) kryterium analityczne

a) kryterium analityczne

-

kryterium Hurwitza

kryterium Hurwitza

b) kryterium graficzne

b) kryterium graficzne

- kryterium Nyquista

- kryterium Nyquista

Stabilność układów

automatyki

Kryterium Hurwitza

Kryterium Hurwitza

Układ liniowy jest stabilny, jeżeli współczynniki (a

Układ liniowy jest stabilny, jeżeli współczynniki (a

0

0

, a

, a

1

1

, a

, a

n

n

) wielomianu

) wielomianu

charakterystycznego (równania charakterystycznego ) są jednakowych

charakterystycznego (równania charakterystycznego ) są jednakowych

znaków i są różne od zera.

znaków i są różne od zera.

2

3

3

2

4







s

s

s

1

2

2

3







s

s

s

--układ
niestabilny

--układ stabilny

n

n

n

n

a

s

a

s

a

s

a













1

1

1

0





































n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

H



















2

0

5

3

1

6

4

2

0

7

5

3

1

0

0

0

det 



H

H

n

Układ liniowy o wielomianie charakterystycznym o postaci
jest stabilny asymptotycznie jeżeli wszystkie kolejne minory główne
macierzy Hurwitza
są dodatnie, tzn. jest spełniony warunek

.

0

1

1



a

H

0

2

0

3

1

2

















a

a

a

a

H

0

0

3

1

4

2

0

5

3

1

3

























a

a

a

a

a

a

a

a

H

Stabilność układów

automatyki

Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista

Kryterium to ma bardzo duże znaczenie praktyczne ponieważ pozwala

Kryterium to ma bardzo duże znaczenie praktyczne ponieważ pozwala

rozstrzygnąć problem stabilności układu zamkniętego na podstawie

rozstrzygnąć problem stabilności układu zamkniętego na podstawie

charakterystyki amplitudowo- fazowej układu otwartego, którą można

charakterystyki amplitudowo- fazowej układu otwartego, którą można

uzyskać na drodze doświadczalnej.

uzyskać na drodze doświadczalnej.

.

Układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie przy założeniu, że układ
otwarty jest również stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy
charakterystyka amplitudowo- fazowa układu otwartego nie obejmuje
punktu -1.

Stabilność układów

automatyki

Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista

.

Stabilność układów

automatyki

Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista

.

Kryterium Hurwitza- przykład

Kryterium Hurwitza- przykład

Zbadać stabilność układu zamkniętego, jeżeli transmitancja układu otwartego

K(s) wynosi:

n

n

n

n

a

s

a

s

a

s

a













1

1

1

0





































n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

H



















2

0

5

3

1

6

4

2

0

7

5

3

1

0

0

K(s)

-

1

3

1

)

(

2

3









s

s

s

s

K

2

3

1

)

(

1

)

(

)

(

2

3













s

s

s

s

k

s

k

s

G

0

2

0

1

0

3

0

1

3

2

1

0

















a

a

a

a























2

3

0

0

1

1

0

2

3

H

0

1

1

1

2

3

1

1

2

3

det

)

det(

2





















H

0

2

2

3

0

0

1

1

0

2

3

det

)

det(

3



























H