Dokładność statyczna

Wymaganie dokładności w stanie ustalonym, której miarą jest uchyb

ustalony:

jest jednym z podstawowych wymagań stawianych układowi regulacji.

Uchyb zależy od wielkości wymuszającej i wartości zadanej wielkości

regulowanej.

Układ automatyki: a) schemat blokowy, b) przebieg w(t) i y(t)
,

   





t

w

t

y

e

t

ust









lim

Dokładność statyczna

• Ponieważ rozpatrywany jest układem liniowym, a sygnały x(t) i

w(t) są wzajemnie niezależne, to ich wpływ na uchyb statyczny

można rozpatrywać oddzielnie, czyli:

• gdzie:

• Exust – odchylenie wywołane wymuszeniem x (uchyb nadążania)

• Ewust – odchylenie wywołane zmianą wartości wielkości zadanej

w (uchyb zakłóceniowy).

• Warunki na uchyby ustalone formułuje się oddzielnie dla i

.

• gdzie:

• e1, e2 - dopuszczalne wartości odchyleń statycznych wywołane

odpowiednio zmianami x i w.

• O wartości uchybu statycznego decyduje dynamika

rozpatrywanego układu. Zastanówmy się, jak kształtuje się uchyb

ustalony w zależności od właściwości transmitancji operatorowej

układu.

wust

xust

ust

e

e

e





ust

x

e

ust

w

e

1

max

100

e

w

e

o

o

ust

w



2

max

100

e

y

e

o

o

ust

x



Jakość dynamiczna

• Oceny własności dynamicznych układów regulacji dokonuje się na

podstawie:

• 1) odpowiedzi układu na wymuszanie skokowe (przebiegu

przejściowego),

• 2) charakterystyk częstotliwościowych.
• Przebieg wielkości regulowanej i uchybu regulacji , po wymuszeniu

skokowym sygnałem x(t) pokazano na rysunku.

Wskaźniki jakości

• Przebieg odpowiedzi skokowej charakteryzują następujące wskaźniki:

•

– czas regulacji - jest to czas od chwili wprowadzenia

wymuszenia do chwili, gdy uchyb zmaleje poniżej dopuszczalnej

wartości , którą zwykle przyjmuje się równą 5% wartości początkowej

. Czas regulacji jest określony czasem trwania stanu przejściowego.

•

– czas narastania - jest to czas potrzebny, aby charakterystyka

skokowa osiągnęła od 10% do 90% wartości ustalonej.

• – przeregulowanie,

•

• gdzie:

• e0 – początkowa maksymalna wartość uchybu przejściowego,

• e1 – największa wartość uchybu o znaku przeciwnym niż e0.

• Przeregulowanie χ można uważać za miarę zapasu stabilności

układu. Dla układów znajdujących się na granicy stabilności

. W przemysłowych układach automatyki

przeregulowanie zawiera się w granicach od 0 do 40%.

• Całkowe wskaźniki jakości

o

o

e

e

100

0

1





r

T

n

T





%

100

1

0







e

e

Skalowanie obiektu

• Punktem wyjścia przy projektowaniu układów regulacji jest

modelowanie i analiza dynamiki obiektu. Jak już wiemy ten sam

obiekt możemy modelować na wiele sposobów. Jeśli układ jest liniowy

lub zlinearyzowany w pewnym punkcie pracy, to może to być model

operatorowy lub w przestrzeni stanu.

• Pierwszym etapem analizy obiektu sterowania jest skalowanie. Jest

ono bardzo ważne w praktycznych aplikacjach, tak samo jak analiza

modelu i projektowanie regulatora. W przypadku skalowanego

obiektu łatwiej podawać zmianę jakości układu przy zastosowaniu

różnych regulatorów. Również niektóre metody sterowania wymagają

skalowania obiektu. Ponadto współczesne sterowniki

mikroprocesorowe (cyfrowe) muszą mieć skalowane sygnały

wejściowe. Aby skalować układ należy znać wielkość zaburzenia lub

zmianę sygnału odniesienia, wymaganą wielkość sygnału

wejściowego oraz wymagane odchylenie od sygnału wyjściowego. Na

potrzeby skalowania model liniowy obiektu powinien być opisany

równaniem:

• gdzie znak „۸” jest użyty w celu pokazania, że zmienna jest

wielkością nie skalowaną.

z

d

G

u

G

y















w

y

e











Skalowanie-cd

• Praktycznym podejściem do skalowania jest stworzenie zmiennej o

wartości mniejszej od 1. Można to uzyskiwać dzieląc zmienną przez

maksymalną wartość oczekiwaną lub maksymalną dozwoloną zmianę.

Dla zakłócenia i sygnału wejściowego, użyjemy zmienną skalowaną:

• ,

• gdzie:

• - największa oczekiwana zmiana zakłócenia;

• - największa dopuszczalna zmiana sygnału wejściowego.

• Maksymalna odchyłka od wartości nominalnej zostałaby dobrana po

przeanalizowaniu maksymalnej akceptowanej wartości lub

dopuszczalnej zmiany funkcji w czasie.

•

Zmienne , , są jednakowymi sygnałami fizycznymi z

takimi samymi współczynnikami skalowania. Dwie możliwości są

dopuszczalne:

• - największy dopuszczalny uchyb;

• - największa akceptowalna zmiana wartości odniesienia.

• Jednocześnie głównym punktem widzenia w układach sterowania jest

minimalizacja wartości uchybu . Dopuszczalne jest skalowanie z

uwzględnieniem maksymalnego uchybu:

• W celu sformalizowania procedury skalowania dla układu MIMO

zostanie wprowadzony wektor skalowania:

,

/

max

d

d

d







max

/u

u

u







max

d



max

u



y

e

r

max

e

max

r

e

,

/

,

/

,

/

max

max

max

e

e

e

e

r

r

e

y

y



















max

max

max

max

,

,

,

r

D

d

D

u

D

e

D

r

d

u

e

















Skalowanie-cd

• Dla układów MIMO zmienne , , i mogą mieć różne

wartości maksymalne, w tym przypadku Dd , Dr, Du , De , są

diagonalnymi macierzami skalowania. Zapewnione jest na

przykład, że wszystkie uchyby (wyjścia) są wartościami o

porównywalnej wielkości.

•

Zmienne skalowane używane w układach sterowania, to:

• Podstawiając równanie (11.20) do równania (11.16)

otrzymamy:

• oraz wprowadzając transformatę funkcji skalowanej:

• ,

•
• otrzymujemy model o następujących wartościach skalowania:

•

dˆ

rˆ

uˆ

eˆ

,

1

d

D

d

d







,

1

u

D

u

u







,

1

y

D

y

e







,

1

e

D

e

e







w

D

w

e



1





,

d

D

G

u

D

G

y

D

u

d

u

e









w

D

y

D

e

D

e

e

e





d

d

e

d

u

e

D

G

D

G

D

G

D

G





1

1

,









;

d

G

Gu

y

d





w

y

e





Układ zamknięty

• Obiekt sterowania generuje odpowiedź y(s) w określony sposób w zależności od

reakcji obiektu na sygnał wejściowy u(s) (rys.11.5). Zadaniem regulatora K(s)

jest dokonanie zmiany parametru u(s) w zależności od sygnału uchybu e(s).

Problemem układów sterowania jest zmiana parametru u(s), w taki sposób aby

wyjście układu Y(s) nadążało za sygnałem wejściowym w(s). a maksymalnie

ignorowało zakłócenia d(s). W ten sposób dążymy do uzyskania niewielkiego

sygnału uchybu e(s)=y(s)-w(s). Algorytm regulacji sygnału u(s) bazuje na

dostępnej informacji z regulatora K(s). Aby zaprojektować właściwie regulator

K(s) należy posiadać informację na temat oczekiwanych zakłóceń, sygnału

odniesienia oraz informację o obiekcie sterowania G(s) i modelu zakłóceń Gd(s).

• Do analizy przyjmiemy model liniowy o następującym równaniu:

G

d

(s)

K(s)

G(s)

y(s)

u(s)

d(s)

+

+

+

-

w(s)

y(s)

 

   

   

s

d

s

G

s

u

s

G

s

y

d





Odporna stabilność i jakość

• Istotnym źródłem trudności jest to, że modele obiektu sterowania G(s) i

zakłócenia Gd(s) mogą być nieścisłe lub mogą zmieniać się w czasie. W

szczególności, niedokładność w opisie transmitancji układu G(s) może

powodować problemy, ponieważ obiekt sterowania może mieć wpływ na

pętlę sprzężenia zwrotnego. W celu rozwiązania tego problemu zostanie

sprecyzowany model niepewności. Na przykład, zamiast pojedynczego

modelu G(s) można analizować zachowanie modelu Gp(s)=G(s)+E(s), z

uwzględnieniem zmian "niepewności" lub "zakłóceń" E(s), które mogą

być nieznane. W wielu przypadkach używane są specjalne funkcje w(s)

do wyrażenia E(s)=w(s)



, gdzie rozmiary



są mniejsze lub równe 1.

Podczas analizy układów wykorzystujemy następujące pojęcia:

• - stabilność nominalna układu (ang. nominal stability) – układ nominalny

jest stabilny bez modelu niepewności.

• - jakość nominalna układu (ang. nominal performance) – osiągi układu

nominalnego są zadowalające bez modelu niepewności.

• - stabilność odporna układu (ang. robust stability) – układ jest stabilny

dla wszystkich zakłóceń obiektu o nominalnych parametrach modelu z

uwzględnieniem modelu niepewności.

• - jakość odporna układu (ang. robust performance) – układ osiąga

satysfakcjonujące wyniki dla wszystkich zakłóceń obiektu o

nominalnych parametrach modelu z uwzględnieniem modelu

niepewności.

Definicje układów:

• Układ G(s) jest ściśle właściwy (ang. strictly proper), jeżeli: G(s)  0 przy

s

 ;

• Układ jest średnio właściwy (ang. semi-proper) lub właściwy (ang. bi-

proper), jeżeli: G(s)

 D0 przy s ;

• Układ G(s), który jest ściśle lub średnio właściwy jest właściwy;
• Układ G(s) jest niewłaściwy (ang. improper), jeżeli G(s)   przy s  .

Funkcje wraźliwości

• Wprowadzając zakłócenie pomiarowe n, sygnał wyjściowy opisuje zależność ym=y+n,

gdzie ym jest mierzonym sygnałem wyjściowym. Uwzględniając te zależności układ

sterowania opisują następujące zależności:

•
• oraz:

• .

• Łącząc powyższe równania otrzymujemy:

•
• W związku z tym układ ze sprzężeniem opisują równania:

• Z kolei sygnał sterujący obiektem regulacji opisuje zależność:

•
• W równaniach zostały użyte następujące transmitancje, charakteryzujące właściwości

dynamiczne układu zamkniętego:

• L=GK- transmitancja układu otwartego;

• S=(I+GK)-1=(I+L)-1- funkcja wrażliwości;

• T=(I+GK)-1GK=(I+L)-1L- komplementarna funkcja wrażliwości.

• Należy zauważyć, że S jest funkcją przejścia układu zamkniętego pomiędzy

zakłóceniem a wyjściem, natomiast T jest funkcją przejścia pomiędzy sygnałem

zadanym a wyjściem. Termin wrażliwość komplementarna wynika z faktu, że funkcje te

spełniają związek:

• S+T=I,

• czyli dopełniają się do jedności (macierzy jednostkowej), co łatwo wykazać przez

podstawienie wyrażeń na te funkcje.

 

 

d

s

G

u

s

G

y

d





 























m

y

n

y

w

s

K

u





d

G

n

y

w

GK

y

d













GKn

d

G

GKw

y

GK

I

d





















n

GK

GK

I

d

G

GK

I

w

GK

GK

I

y

T

d

S

T



 



 



 

 





 



 



1

1

1



















Tn

d

SG

Sw

w

y

e

d













KSn

d

KSG

KSw

u

d







Funkcje wrażliwości układu

zamkniętego

• Funkcje wrażliwości pozwalają, na przykład, ocenić wrażliwość transmitancji układu

zamkniętego na zmianę parametrów układu otwartego. Aby to pokazać założymy, że

mamy układ (SISO), a ponadto pominiemy szum pomiarowy i wymuszenia.

• Mamy następującą funkcję przejścia pomiędzy wielkością zadaną a wielkością

mierzoną:

• .

•
• Z kolei funkcja przejścia pomiędzy sygnałem uchybu i sygnałem mierzonym

ma postać:

•
• Wrażliwość funkcji przejścia układu zamkniętego będziemy badać różniczkując

cząstkowo funkcję przejścia układu zamkniętego względem dowolnego parametru p:

• Przechodząc do wariacji, mamy:

• Jeśli przyrównamy wariację funkcji przejścia do samej funkcji, to znajdziemy związek

pomiędzy zmianą funkcji układu zamkniętego a zmianą funkcji układu otwartego:

• W powyższym wzorze widać w sposób oczywisty, że funkcję S(s) można nazwać

funkcją wrażliwości, gdyż określa wrażliwość funkcji przejścia układu zamkniętego

na zmiany parametrów układu otwartego.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

s

s

s

s

s

s

L

I

L

w

y

T

G

z









.

)

(

1

1

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

s

s

s

s

s

s

s

s

L

T

w

y

w

w

e

S















.

)

1

(

1

2

p

p













L

L

G

z

.

)

1

(

1

2

L

L

G

z









.

)

1

(

1

L

L

S

L

L

L

G

G

z

z













Porównanie kryteriów jakości

• Celem projektowania układu sterowania jest, obok

zapewnienia stabilności, uzyskanie układu

zamkniętego o odpowiedniej jakości działania. Tę jakość

działania ocenia się poprzez odpowiednie kryteria

nałożone na charakterystyki czasowe lub

częstotliwościowe układu otwartego lub układu

zamkniętego. Zazwyczaj kryteria stabilności i jakości

układu prowadzą projektanta w dwóch przeciwnych

kierunkach. Dlatego jest istotnym podczas

projektowaniu układu znalezienia kompromisu

pomiędzy wszystkimi wymaganiami.

• Kryteria jakości opieramy na:

• - Parametrach odpowiedzi układu na skok jednostkowy;

• - Parametrach charakterystyk częstotliwościowych

układu otwartego;

• - Parametrach charakterystyk częstotliwościowych

układu zamkniętego.

Czasowe kryteria jakości

• Wśród kryteriów związanych z odpowiedzią układu na skok

jednostkowy możemy wyróżnić:

• - Czas podniesienia (Tn) – jest to czas po którym odpowiedź

układu osiągnie po raz pierwszy 90% jej końcowej wartości.

• - Czas regulacji (Tr) – jest to czas po którym odpowiedź

pozostaje w przedziale 5% jej ostatecznej (ustalonej)

wartości.

• - Przeregulowanie – jest to stosunek maksymalnej wartości

odpowiedzi do jej wartości ustalonej. W typowych układach

powinien wynosić 1.2 (20%) lub mniej.

• - Stopień tłumienia – jest to stosunek drugiego względem

pierwszego maksymalnego wychylenia. W typowych układach

powinien wynosić 0.3 lub mniej.

• - Błąd ustalony – jest to różnica pomiędzy wartością zadaną a

wartością wyjściową układu dla ich ustalonych wartości.

• Czas podniesienia i czas regulacji są miernikami prędkości

odpowiedzi układu, natomiast przeregulowanie, stopień

tłumienia i błąd ustalony są miernikami jakości odpowiedzi.

Kryteria oparte na normach

• Ponadto często oceniamy jakość układu zamkniętego przez

normy nałożone na uchyb regulacji: e(t)=y(t)-w(t). Może to być

na przykład całka z kwadratu uchybu lub pierwiastek z tej całki,

który jest 2-normą (euklidesową):

• .

Zauważmy że w przypadku tego kryterium uwzględniamy

zarówno prędkość jak i jakość odpowiedzi układu zamkniętego.

Inną zaletą 2-normy jest łatwa optymalizacja układu przez

numeryczne obliczanie minimum tego kryterium w funkcji

parametrów regulatora. Można również brać pod uwagę w

rozważaniach wielkość sygnałów wejściowych przez

wprowadzenie kryterium w postaci:

• gdzie Q, R są stałymi dodatnimi. To podejście jest podobne do

LQR – liniowego kwadratowego sterowania optymalnego, lecz w

LQR na wejściu (wielkość zadana – w(t)) rozpatruje się zazwyczaj

impuls a nie skok.

dt

t

e

t

e

2

0

2

)

(

)

(







dt

t

u

R

t

e

Q

J





















0

2

2

)

(

)

(

Zapas modułu

• W oparciu o charakterystyki układu otwartego budujemy kryteria zapasu

wzmocnienia i zapasu fazy. W tym celu wykreślamy charakterystyki

częstotliwościowe Bodego dla L(j

).

• Zapas modułu M jest definiowany jako:

•

gdzie fazowa częstotliwość przecięcia odpowiada częstotliwości, dla której

wykres Nyquista funkcji L(j) przecina ujemną gałąź osi rzeczywistej pomiędzy

punktami 0 i –1, gdzie mamy:

L(j180)=-180o.

• Gdy mamy więcej niż jednokrotne przecięcie tego poziomu przez charakterystykę

fazową, to największa z wartości |L(j180)| brana jest pod uwagę. Na wykresie

Bodego z logarytmiczną skalą modułu |L| przyjmujemy zapas modułu jako

odwrotność pionowej odległości od poziomu 0 [dB],. ∆M jest współczynnikiem, o

który można podnieść wzmocnienie układu otwartego |L(j)| aby znaleźć się na

granicy stabilności układu zamkniętego. Tym samym GM jest zabezpieczeniem

przed niepewnością wzmocnienia układu. Zazwyczaj wymagamy, aby GM>2. Jeśli

wykres Nyquista przekroczy ujemną gałąź osi rzeczywistej pomiędzy –1 i , to

wzmocnienie, które redukuje zapas modułu można podobnie zdefiniować na

podstawie najmniejszej wartości |L(j180)| .

180

1

(

)

M

L jw

D =

180



Zapas fazy

• Zapas fazy może być definiowany jako:

• PM=L(jc) +180o

• gdzie częstotliwość przecięcia c ma miejsce wówczas, gdy |

L(j)| przecina po raz pierwszy poziom 0 [dB], to znaczy, gdy:

• |L(jc)| = 1.

• Zapas fazy określa, ile należy dodać opóźnienia fazowego do

charakterystyki L(s), aby dla częstotliwości –180o układ

zamknięty znalazł się na granicy stabilności. Zazwyczaj

wymagamy, aby PM był większy niż 30o. Zapas fazy

zabezpiecza przed niepewnością opóźnień czasowych. Jeśli

dodamy opóźnienie czasowe:

• to układ staje się niestabilny. Należy zwrócić uwagę na spójność

układu jednostek. Jeśli c jest w rad/s to i PM musi być w

radianach. Należy zauważyć, że jeśli będziemy obniżać wartość

c ( a tym samym skracać pasmo przenoszenia układu

zamkniętego), to układ będzie w stanie tolerować większe

opóźnienie czasowe.

c

PM





/

max



Kryteria układu zamkniętego

• Dla charakterystyk układu zamkniętego wprowadzimy

kryteria maksymalnych wartości funkcji wrażliwości i funkcji

komplementarnej wrażliwości. Zdefiniujemy je następująco:

• Można zauważyć, że: są tak

zwaną normą H,. W typowych układach wymaga się aby MS

było mniejsze niż 2 (6 [dB]) a MT było mniejsze niż 1.25 (2

[dB]). Większe wartości tych wskaźników świadczą, że układ

charakteryzuje się niską jakością oraz gorszą odpornością na

zmiany parametrów. Ponieważ zachodzi S+T=1, to dla

dowolnej częstotliwości mamy:

• ||S|-|T|||S+T|=1

• a tym samym MS i MT mogą wzajemnie różnić się co najwyżej

o wartość 1. Tym samym duże wartości MS pojawiają się

wtedy i tylko wtedy, gdy MT jest duże. Dla układów stabilnych

zazwyczaj mamy MS > MT lecz nie jest to regułą.









T

M

S

M

T

S





max

,

max

,

)

(

max

,

)

(

max









j

T

M

j

S

M

T

s





Związki pomiędzy kryteriami

• Pomiędzy kryteriami MS, MT oraz zapasem modułu i fazy

istnieją ścisłe relacje:. Na przykład dla danego MS zachodzi:

• Z powyższych zależności wynika, że dla Ms=2 mamy

zagwarantowane, że GM≥2, a PM≥29o.Podobnie dla danego

MT otrzymamy:

• Ponownie, dla MT=2 mamy zapewnione, że GM≥1.5, a

PM≥29o.

• Podsumowując, jeśli przyjmiemy i utrzymamy ograniczenia na

wartości maksymalne funkcji wrażliwości |S(jω)| lub funkcji

komplementarnej wrażliwości |T(jω)|, to badanie zapasu

modułu i fazy okazuje się niepotrzebne. Na przykład przy

zapewnieniu, że: Ms<2 mamy natychmiast GM>2 i PM>30o.

 

rad

M

M

PM

M

M

GM

s

s

s

s

1

2

1

arcsin

2

~

,

1





















 

rad

M

M

PM

M

GM

T

T

T

1

2

1

arcsin

2

~

,

1

1



















