„...znajdowanie nowych

pewników o charakterze

oczywistości będzie zawsze

najgłówniejszą dźwignią

rozwoju matematyki.”

Hugo Steinhaus

PROPORCJONALNOŚĆ.

Proporcjonalność to coś, czym spotykasz się
każdego

dnia.

Modele

matematyczne

opisujące

proporcjonalność

prostą

i

proporcjonalność odwrotną pozwalają szybko
rozwiązywać wiele problemów rachunkowych
życia codziennego.

PROPORCJA.

Proporcją nazywamy równość dwóch

ilorazów (dwóch ułamków)

b ≠ 0 i d ≠ 0

W każdej proporcji iloczyn wyrazów

skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów

środkowych

a

∙

d

=

b

∙

c

PROPORCJA.

PRZYKŁADY.
Rozwiąż równanie:

Jest to proporcja (równość dwóch ułamków)
a więc iloczyn wyrazów skrajnych musi być
równy iloczynowi wyrazów środkowych.
Mnożymy „na krzyż” i zapisujemy równość
między iloczynami:
3 · (2 – 5x) = 5 · (2x – 1)
6 – 15x = 10x – 5
-15x – 10x = -5 – 6
-25x = -11 /: (-25)
x =

WIELKOŚCI WPROST

PROPORCJONALNE.

O dwóch wielkościach mówimy, że są

wprost proporcjonalne, jeśli wraz ze

wzrostem jednej, druga rośnie tyle samo

razy.

PRZYKŁADY.
Liczba kupionych lizaków i kwota, którą
należy za nie zapłacić – wraz ze wzrostem
liczby kupionych lizaków, tyle samo razy
wzrasta kwota, którą należy zapłacić.
Odległość na mapie i w terenie – im dłuższy
odcinek na mapie, tym proporcjonalnie
większa odległość w terenie.

PRZYKŁADY WIELKOŚCI

WPROST PROPORCJONALNYCH.

Liczba szklanek i objętość wody, którą
możemy do nich wlać – gdy zwiększymy ilość
szklanek objętość wody, która się w nich
zmieści wzrośnie tyle samo razy.

Czas jady skuterem, ze stałą prędkością i
przebyta odległość – im dłużej jedziesz, tym
proporcjonalnie dłuższą trasę przebywasz.

Długość promienia i długość okręgu – jeśli
zwiększymy promień okręgu, jego długość
zwiększy się tyle samo razy.

PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA.

Zależność między dwiema wielkościami,

których iloraz jest stały nazywamy

proporcjonalnością prostą.

Liczbę a ≠ 0 nazywamy współczynnikiem

proporcjonalności, a o wielkościach x i y

mówimy, że są wprost proporcjonalne.

UWAGA.

Z powyższej definicji wynika, że zależność
między

wielkościami

wprost

proporcjonalnymi możemy zapisać przy
pomocy wzoru y = ax.

WYKRES PROPORCJONALNOŚCI

PROSTEJ.

Skoro znamy wzór opisujący zależność
między

wielkościami

wprost

proporcjonalnymi, możemy też zobaczyć jak
taka zależność wygląda.
Oto wykres proporcjonalności prostej dla a =
0,5.

y = 0,5x

PRZYKŁADOWE

ZADANIA.

ZADANIE 1.
Sprawdź, czy wielkości podane w tabelce są
wprost proporcjonalne.

Musimy sprawdzić, czy iloraz podanych
wielkości jest stały, liczymy więc y : x dla
każdej pary:
2 : 5 = 0,4
8 : 20 = 0,4
40 : 100 = 0,4
0,5 : 1,25 = 0,4
4 : 10 = 0,4

x

5

20

100

1,25

10

y

2

8

40

0,5

4

PRZYKŁADOWE

ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Za każdym razem wychodzi ta sama liczba, a
więc iloraz podanych wielkości jest stały – są
wprost proporcjonalne.

UWAGA.

Gdybyśmy w chociaż jednym dzieleniu
otrzymali inną liczbę, podane wielkości nie
byłyby wprost proporcjonalne.

Powyższe

zadanie

można

rozwiązać

wykonując dzielenie
x : y – zasada jest taka sama, ale dzieląc y :
x

otrzymujemy

współczynnik

proporcjonalności, w tym zadaniu a = 0,4
(wzór wyglądałby tak: y = 0,4x).

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Uzupełnij tabelkę tak, aby podane w niej
wielkości były wprost proporcjonalne.

Należy wypełnić tabelkę tak, aby iloraz
wielkości był stały. Zwróćmy najpierw uwagę
na kolumnę w której podane są obie
wartości,

możemy

z

niej

wyliczyć

współczynnik proporcjonalności, wykonujemy
działanie y : x
12 : 10 = 1,2

x

10

3

4

y

12

1,2

72

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2 – ciąg dalszy.
Wolne komórki tabeli należy wypełnić tak,
aby
y : x = 1,2

y : 3 = 1,2 / · 3
y = 3,6

1,2 : x = 1,2
x = 1

x

10

3

4

y

12

1,2

72

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
72 : x = 1,2
x = 72 : 1,2
x = 60

y : 4 = 1,2 / · 4
y = 4,8

Uzupełniona tabela powinna wyglądać tak:

x

10

3

1

60

4

y

12

3,6

1,2

72

4,8

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3.
Za 5 batonów zapłacono 6 zł 25 gr. Ile można
kupić takich batonów za 10 zł? Jaka jest cena
12 takich batonów?

Wielkości występujące w tym zadaniu są
wprost proporcjonalne (jeśli kupimy więcej
batonów zapłacimy za nie proporcjonalnie
więcej), możemy więc do rozwiązania tego
zadania użyć proporcji.

Oznaczmy:
x – kwota jaką należy zapłacić za batony
y – ilość kupionych batonów

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Zapisujemy i rozwiązujemy proporcje zgodne
z treścią zadania:

Za 10 zł kupimy 8 batonów a 12 takich
batonów kosztuje 15 zł.

6,25y = 50 / : 6,25

y = 8

5x = 75 /: 5

x = 15

UWAGA.

Zawszę zwracaj uwagę z jakimi wielkościami

masz do czynienia – wprost, czy odwrotnie

proporcjonalnymi.

Proporcji możemy używać tylko do zadań, w

których występują wielkości wprost

proporcjonalne.