„...znajdowanie nowych 

pewników o charakterze 

oczywistości będzie zawsze 

najgłówniejszą dźwignią 

rozwoju matematyki.”

Hugo Steinhaus

PROPORCJONALNOŚĆ.

Proporcjonalność  to  coś,  czym  spotykasz  się 
każdego 

dnia. 

Modele 

matematyczne 

opisujące 

proporcjonalność 

prostą 

i 

proporcjonalność  odwrotną  pozwalają  szybko 
rozwiązywać  wiele  problemów  rachunkowych 
życia codziennego.

PROPORCJA.

Proporcją  nazywamy równość dwóch 

ilorazów (dwóch ułamków)

b ≠ 0 i d ≠ 0

W każdej proporcji iloczyn wyrazów 

skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów 

środkowych

a 

∙

 d 

=

 

b 

∙

 c

PROPORCJA.

PRZYKŁADY.
Rozwiąż równanie:

Jest  to  proporcja  (równość  dwóch  ułamków) 
a  więc  iloczyn  wyrazów  skrajnych  musi  być 
równy  iloczynowi  wyrazów  środkowych. 
Mnożymy  „na  krzyż”  i  zapisujemy  równość 
między iloczynami:
3 · (2 – 5x) = 5 · (2x – 1)
6 – 15x = 10x – 5
-15x – 10x = -5 – 6
-25x = -11 /: (-25)
x = 

WIELKOŚCI WPROST 

PROPORCJONALNE.

O dwóch wielkościach mówimy, że są 

wprost proporcjonalne, jeśli wraz ze 

wzrostem jednej, druga rośnie tyle samo 

razy.

PRZYKŁADY.
Liczba kupionych lizaków i kwota, którą 
należy za nie zapłacić – wraz ze wzrostem 
liczby kupionych lizaków, tyle samo razy 
wzrasta kwota, którą należy zapłacić.
Odległość na mapie i w terenie – im dłuższy 
odcinek  na  mapie,  tym  proporcjonalnie 
większa odległość w terenie.

PRZYKŁADY WIELKOŚCI 

WPROST PROPORCJONALNYCH.

Liczba  szklanek  i  objętość  wody,  którą 
możemy do nich wlać – gdy zwiększymy ilość 
szklanek  objętość  wody,  która  się  w  nich 
zmieści wzrośnie tyle samo razy.

Czas  jady  skuterem,  ze  stałą  prędkością  i 
przebyta  odległość  –  im  dłużej  jedziesz,  tym 
proporcjonalnie dłuższą trasę przebywasz.

Długość  promienia  i  długość  okręgu  –  jeśli 
zwiększymy  promień  okręgu,  jego  długość 
zwiększy się tyle samo razy.

PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA.

Zależność między dwiema wielkościami, 

których iloraz jest stały nazywamy 

proporcjonalnością prostą.

Liczbę a ≠ 0 nazywamy współczynnikiem 

proporcjonalności, a o wielkościach x i y 

mówimy, że są wprost proporcjonalne.

UWAGA.

Z  powyższej  definicji  wynika,  że  zależność 
między 

wielkościami 

wprost 

proporcjonalnymi  możemy  zapisać  przy 
pomocy wzoru y = ax. 

WYKRES PROPORCJONALNOŚCI 

PROSTEJ.

Skoro  znamy  wzór  opisujący  zależność 
między 

wielkościami 

wprost 

proporcjonalnymi,  możemy  też  zobaczyć  jak 
taka zależność wygląda. 
Oto wykres proporcjonalności prostej dla a = 
0,5.

y = 0,5x

PRZYKŁADOWE 

ZADANIA.

ZADANIE 1.
Sprawdź,  czy  wielkości  podane  w  tabelce  są 
wprost proporcjonalne.

Musimy  sprawdzić,  czy  iloraz  podanych 
wielkości  jest  stały,  liczymy  więc  y  :  x  dla 
każdej pary:
2 : 5 = 0,4
8 : 20 = 0,4
40 : 100 = 0,4
0,5 : 1,25 = 0,4
4 : 10 = 0,4

x

5

20

100

1,25

10

y

2

8

40

0,5

4

PRZYKŁADOWE 

ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Za każdym razem wychodzi ta sama liczba, a 
więc iloraz podanych wielkości jest stały – są 
wprost proporcjonalne. 

UWAGA.

Gdybyśmy  w  chociaż  jednym  dzieleniu 
otrzymali  inną  liczbę,  podane  wielkości  nie 
byłyby wprost proporcjonalne. 

Powyższe 

zadanie 

można 

rozwiązać 

wykonując dzielenie 
x : y – zasada jest taka sama, ale dzieląc y : 
x 

otrzymujemy 

współczynnik 

proporcjonalności,  w  tym  zadaniu  a  =  0,4 
(wzór wyglądałby tak: y = 0,4x).

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Uzupełnij  tabelkę  tak,  aby  podane  w  niej 
wielkości były wprost proporcjonalne.

Należy  wypełnić  tabelkę  tak,  aby  iloraz 
wielkości był stały. Zwróćmy najpierw uwagę 
na  kolumnę  w  której  podane  są  obie 
wartości, 

możemy 

z 

niej 

wyliczyć 

współczynnik proporcjonalności, wykonujemy 
działanie y : x
12 : 10 = 1,2

x

10

3

4

y

12

1,2

72

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2 – ciąg dalszy.
Wolne komórki tabeli należy wypełnić tak, 
aby 
y : x = 1,2

y : 3 = 1,2 / · 3
y = 3,6

1,2 : x = 1,2
x = 1

x

10

3

4

y

12

1,2

72

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
72 : x = 1,2
x = 72 : 1,2
x = 60

y : 4 = 1,2 / · 4
y = 4,8

Uzupełniona tabela powinna wyglądać tak:

x

10

3

1

60

4

y

12

3,6

1,2

72

4,8

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3.
Za 5 batonów zapłacono 6 zł 25 gr. Ile można 
kupić takich batonów za 10 zł? Jaka jest cena 
12 takich batonów?

Wielkości występujące w tym zadaniu są 
wprost proporcjonalne (jeśli kupimy więcej 
batonów zapłacimy za nie proporcjonalnie 
więcej), możemy więc do rozwiązania tego 
zadania użyć proporcji.

Oznaczmy: 
x – kwota jaką należy zapłacić za batony
y – ilość kupionych batonów

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Zapisujemy i rozwiązujemy proporcje zgodne 
z treścią zadania:

Za  10  zł  kupimy  8  batonów  a  12  takich 
batonów kosztuje 15 zł.

6,25y = 50 / : 6,25

y = 8

5x = 75 /: 5

x = 15

UWAGA.

Zawszę zwracaj uwagę z jakimi wielkościami 

masz do czynienia – wprost, czy odwrotnie 

proporcjonalnymi.

Proporcji możemy używać tylko do zadań, w 

których występują wielkości wprost 

proporcjonalne.