Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

1

Dla dowolnego wejścia u(t) określonego w przedziale [t

0

,t]

uzyskaliśmy opis pełnej odpowiedzi obiektu

 





 











d

e

b

u

e

y

t

y

t

a

t

t

t

t

a











0

0

0

Rozważaliśmy w dziedzinie czasu zachowanie się w przedziale
czasu od t

0

do t obiektu dynamicznego opisywanego równaniem

różniczkowym

 

 

 

0

0

y

t

y

t

u

b

t

y

a

dt

dy











Obiekt

u(t)

y(t)

(1a)

(1b)

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

2

Dokonamy przejścia do dziedziny zmiennej zespolonej s

Załóżmy, że zarówno funkcja u(t) – wejście, jak i y(t) – wyjście,
spełnia warunki pozwalające poddać je przekształceniu
Laplace’a

 

 

 

t

y

L

s

Y



 

 

 

t

u

L

s

U



Poddając transformacji Laplace’a obydwie strony (1a) i
uwzględniając znajomość (1b) otrzymamy

   

 

 

s

U

b

s

Y

a

y

s

sY







0

 













t

y

dt

d

L

 





t

y

a

L

 





t

u

b

L

(2)

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

3

Rozwiązując (2) ze względu na Y(s)

   

 

 

s

U

b

s

Y

a

y

s

sY







0



    

 

s

U

b

y

s

Y

a

s







0

         

s

U

a

s

y

a

s

s

Y









b

0

1

Składowa

swobodna

odpowiedzi

Składowa

wymuszona

odpowiedzi

Składowa swobodna:

 

 





 

 





















a

s

y

L

s

Y

L

t

y

t

u

ZI

0

1

0

1

Składowa wymuszona:

 

 





 

 





















s

U

a

s

b

L

s

Y

L

t

y

y

ZS

1

0

0

1

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

4

Transformata Laplace’a składowej wymuszonej:

         

s

U

s

G

s

U

a

s

b

s

Y

ZS









gdzie,

   

 

 

s

U

s

Y

a

s

b

s

G

ZS







- transmitancja obiektu

dynamicznego

I definicja transmitancji obiektu

dynamicznego

Transmitancją obiektu dynamicznego (liniowego, stacjonarnego)
nazywamy

stosunek

transformaty

Laplace’a

składowej

wymuszonej odpowiedzi tego obiektu na wymuszenie do
transformaty Laplace’a tego wymuszenia
lub inaczej:

Transmitancją obiektu dynamicznego (liniowego, stacjonarnego)
nazywamy stosunek transformaty Laplace’a odpowiedzi tego
obiektu na wymuszenie uzyskanej przy zerowym warunku
początkowym, do transformaty Laplace’a tego wymuszenia

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

5

(ii) G(s) – nie ma stałej wartości, lecz jest funkcją zmiennej s

   

 

 

s

U

s

Y

a

s

b

s

G

ZS







Transmitancja obiektu dynamicznego – na przykładzie obiektu
rzędu pierwszego, np. czwórnika RC, dwójnika RL

(i) G(s) – wzmocnienie dynamiczne obiektu w dziedzinie s

Właściwości:

(iii) G(s) – nie zależy od sygnału wejściowego – jest zatem

charakterystyką obiektu

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

6

 Transmitancja obiektu

opisuje dynamikę obiektu w

dziedzinie zmiennej zespolonej s

 Odpowiedź impulsowa obiektu

opisuje dynamikę obiektu w

dziedzinie czasu t

 

   

s

U

s

G

s

Y

ZS





Związek pomiędzy nimi?

Transformata Laplace’a impulsu jednostkowego:

   

 

 

 

1









s

U

t

u

L

t

t

u



 

   

   

 

 

s

G

t

L

s

G

s

Y

t

t

u

ZS











Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

7

Otrzymaliśmy:

 

 





s

G

L

t

g

1





Składowa

wymuszona

odpowiedzi na

impuls

jednostkowy

 

 

 

t

g

L

s

G



lu

b

Transmitancja

obiektu

dynamicznego

II definicja transmitancji obiektu

dynamicznego

Transmitancją obiektu dynamicznego (liniowego, stacjonarnego)
nazywamy transformatę Laplace’a składowej wymuszonej
odpowiedzi

tego

obiektu

na

wymuszenie

impulsem

jednostkowym

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

8

W rozważanym przykładzie – obiekt pierwszego

rzędu

 





0

t

t

a

ZS

e

S

b

t

y









- odpowiedź dla i

intensywności S

  



0

t

t

t

u







Dla t

0

= 0 i S = 1:

 

t

a

ZS

e

b

t

y







Otrzymamy:





a

s

b

e

b

L

t

a









(porównać z wynikami z poprzednich

slajdów)

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

9

Przykład 1 – czwórnik RC

 

 

 

0

1

1

0









t

u

t

u

RC

t

u

RC

dt

du

C

we

C

C

 

 

 

s

U

RC

s

U

RC

s

sU

we

C

C

1

1







 

 

 

RCs

RC

s

RC

s

U

s

U

s

G

we

C















 







1

1

1

1

u

we

(t)

u

R

(t)

u

C

(t)

i

R

(t)

i

obc

(t)

u

wy

(t)

i

C

(t)

R

C

t=0

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

10

u

we

(t)

u

R

(t)

u

L

(t)

i

R

(t)

i

L

(t)

R

L

t=0

Przykład 2 – dwójnik RL

 

 

 

t

u

L

1

t

i

L

R

dt

t

di

we

L

L







 

0

0 

L

i

 

 

 

s

U

L

s

I

L

R

s

sI

we

L

L

1







 

 

 

s

R

L

R

L

R

s

L

s

U

s

I

s

G

we

L















 







1

1

1

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

11

Odpowiedź wymuszona na sygnał skokowy o amplitudzie

t

 

t

u

0

t

0

U

s

U

 





0

1

t

t

U

t

u















s

t

e

s

U

t

t

U

L

0

0

1









dla t

0

=0:

 





s

U

t

U

L



1

Odpowiedź wymuszona w dziedzinie s:

 

   

s

t

ZS

e

s

U

a

s

b

s

U

s

G

s

Y

0









Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

12

Odpowiedź wymuszona w dziedzinie t:

 

 























































s

t

s

t

ZS

ZS

e

a

s

s

L

U

b

e

s

U

a

s

b

L

s

Y

L

t

y

0

0

1

1

1

1





































a

s

B

s

A

L

a

s

s

L

1

1

1





























































a

A

B

a

A

Aa

B

A

Aa

s

B

A

Bs

a

s

A

1

1

1

0

1

1

Zastosujemy dla znalezienia L

-1

metodę rozkładu na ułamki

proste:

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

13

 

















0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

t

t

a

s

t

s

t

s

t

ZS

e

t

t

U

a

b

e

a

s

s

L

U

a

b

e

a

s

a

s

a

L

U

b

e

a

s

s

L

U

b

t

y















































































































1

Stąd:

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

14

Parametry transmitancji obiektu rzędu pierwszego inercyjnego

Wielkość

 

 

a

b

wartosc

ustalona

t

u

wartosc

ustalona

t

y

K

ZS











nazywamy

statycznym

współczynnikiem

wzmocnienia

dla rozważanego
przykładu

t

 

t

y

ZS

0

t

0

U

a

b



 













0

0

t

t

a

ZS

e

t

t

U

a

b

t

y













1

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

15

1

1

1













RC

RC

a

b

K

R

L

R

L

a

b

K

1

1













Przykład 1 – czwórnik
RC

Przykład 2 – dwójnik RL

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

16

Określanie wzmocnienia statycznego – wykorzystanie
transmitancji

Obiekt

 

t

u

 

t

y

 

t

u

0

t

A

 

t

y

0

t

ust

y

A

y

K

ust





- wzmocnienie
statyczne

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

17

Transmitancja pozwala łatwo wyznaczyć K

 

   

s

U

s

G

s

Y





Dla wymuszenia skokowego o amplitudzie A:

Odpowiedź operatorowa obiektu

 

s

A

s

U



 

 

s

A

s

G

s

Y





Skorzystamy z twierdzenia o wartości granicznej w dziedzinie
czasu

 

 

s

sY

t

y

y

s

t

ust

0

lim

lim











Zatem:

 

 

 

s

G

A

s

G

s

A

s

s

sY

y

s

s

s

ust

0

0

0

lim

lim

lim













Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

18

oraz

 

s

G

A

y

K

s

ust

0

lim







Przykład 3

Wyznaczyć wzmocnienie statyczne obiektu o transmitancji

 

2

6

12

5

3

3

6

10

2

4















s

s

s

s

s

s

s

G

W dziedzinie czasu opis równaniem różniczkowym:

 

 

 

2

6

12

5

3

3

6

10

2

4















s

s

s

s

s

s

s

U

s

Y

s

G

 

 

 

 

 

 

 

 

s

U

s

s

U

s

s

U

s

s

U

s

Y

s

s

Y

s

s

Y

s

s

Y

5

3

2

6

12

2

4

3

6

10



























 

 

 

 

 

 

 

 

t

u

dt

t

du

dt

t

u

d

dt

t

u

d

t

y

dt

t

dy

dt

t

y

d

dt

t

y

d

5

3

2

6

12

2

2

4

4

3

3

6

6

10

10















Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

19

W dziedzinie czasu należałoby teraz rozwiązać równanie
różniczkowe dla wymuszenia

 

 

t

A

t

u

1





Mając y(t) należałoby obliczyć

 

t

y

t 



lim

i ostatecznie wyznaczyć K

Korzystając z transmitancji:

 

2

5

2

6

12

5

3

lim

lim

3

6

10

2

4

0

0























s

s

s

s

s

s

s

G

K

s

s

Dla np. A = 3 odpowiedź ustalona:

2

15

3

2

5











A

K

y

ust

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

20

Przedstawmy

odpowiedź

wymuszoną:

 











tg

a

U

a

b

U

b

e

a

U

a

b

t

y

dt

d

t

t

t

t

a

t

t

ZS

























1

0

0

0

 













0

0

t

t

a

ZS

e

t

t

U

a

b

t

y













1

t

 

t

y

ZS

0

t

0

U

a

b



 









0

;

1

0

t

t

e

U

a

b

t

y

t

t

a

ZS













Policzmy:



T

a





1



a

T

1





Wielkość

dla rozważanego
przykładu

- nazywamy stałą
czasową
bezwładności
(inercji)

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

21

Podsumowanie:

W automatyce wyróżniamy pewne tzw. człony elementarne
liniowe i stacjonarne, stanowiące części obiektu sterowanego lub
układu sterującego charakteryzujące się określoną transmitancją
operatorową

Poznaliśmy już jeden z takich członów:

Przykład 1 – czwórnik RC

u

we

(t)

u

R

(t)

u

C

(t)

i

R

(t)

i

obc

(t)

u

wy

(t)

i

C

(t)

R

C

t=0

u

we

(t)

u

R

(t)

u

L

(t)

i

R

(t)

i

L

(t)

R

L

t=0

Przykład 2 – dwójnik RL

 

 

 

RCs

s

U

s

U

s

G

we

C







1

1

 

 

 

s

R

L

R

s

U

s

I

s

G

we

L







1

1

Podstawy automatyki 2012/2013

Transmitancja obiektu dynamicznego



Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.

inż.

Katedra Inżynierii Systemów
Sterowania

22

Standardowa postać transmitancji tych układów:

 

 

 

s

T

K

s

U

s

Y

s

G

b







1

Parametry:

K

b

T

- współczynnik wzmocnienia
statycznego

- stała czasowa bezwładności

Nazwa członu:

Człon inercyjny pierwszego rzędu

Inne człony poznamy w dalszej części wykładu !