Mechanika I (10)

background image

T11. Kinematyka punktu

materialnego

Opis ruchu punktu materialnego.

Składanie ruchów.

Prędkość i przyspieszenie.

Równania ruchu punktu

materialnego.

Przyspieszenie dośrodkowe i

styczne.

Prędkość i przyspieszenie kątowe.

Szczególne przypadki ruchu

punktu
materialnego.

Prędkość i przyspieszenie w ruchu

względnym

background image

Kinematyka

– dział mechaniki zajmujący się

opisem ruchu ciał materialnych, bez wnikania w
przyczynę ruchu.

Dynamika

– dział mechaniki zajmujący się opisem

ruchu ciał materialnych pod wpływem sił
działających na te ciała.

Kinematyka i dynamika dostarczają nam narzędzi
obliczeniowych do przewidywania, jak w czasie
zmieniają swoje

położenie w przestrzeni

ciała

poddane działaniu sił.

background image

Opis ruchu punktu
materialnego

Położenie punktu

w przestrzeni w chwili czasu t

charakteryzujemy za pomocą wektora, zwanego
promieniem wodzącym, poprowadzonego z początku
wybranego układu współrzędnych

0

Punktem

materialnym

nazywamy

ciało

materialne o wymiarach pomijalnie małych w
porównaniu z wielkością obszaru przestrzeni, w
którym ruch tego ciała rozpatrujemy.

x

y

z

( )

r t

r

( )

y t

( )

x t

( )

z t

( ( ), ( ), ( ))

r x t y t z t

r

background image

Opis ruchu punktu
materialnego

Trajektorią punktu

nazywamy miejsce geometryczne

położeń

punktu

materialnego

w

kolejnych

momentach czasu. Trajektorię punktu zadają trzy
funkcje x(t), y(t), z(t).

Torem punktu

nazywamy krzywą geometryczną, o

kształcie trajektorii punktu.

0

x

y

z

( )

r t

r

( )

y t

( )

x t

( )

z t

background image

Składanie
ruchów

0

x

y

z

z

1

y

1

x

1

0

1

Przy tej samej orientacji przestrzennej osi układu
współrzędnych:

( )

r t

r

0

( )

r t

r

1

( )

r t

r

1

0

( )

( )

( )

r t

r t

r t

=

+

r

r

r

(

)

1

0

1

0

1

0

( )

( ), ( )

( ), ( )

( )

r x t

x t y t

y t z t

z t

+

+

+

r

background image

Składanie
ruchów

x

y

x

1

y

1

0

Epicykloid
a w

1

= 5

w

0

(

)

(

)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

( )

cos

,

( )

sin

(0)

arctg

(0)

x t

r

t

y t

r

t

y

x

w

j

w

j

j

=

+

=

+

=

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

( )

cos

cos

( )

sin

sin

x t

r

t

r

t

y t

r

t

r

t

w

j

w

j

w

j

w

j

=

+

+

+

=

+

+

+

background image

Składanie
ruchów

Ruch względem układu nieruchomego nazywamy

ruchem bezwzględnym

. Ruch względem układu

ruchomego nazywamy

ruchem względnym

.

0

x

y

z

z

1

y

1

x

1

0

1

( )

r t

r

0

( )

r t

r

1

( )

r t

r

1

0

( )

( )

( )

r t

r t

r t

=

+

r

r

r

background image

Prędkość i
przyspieszenie

0

x

y

z

A

B

( )

r t

r

( )

y t

( )

x t

( )

z t

(

)

r t

t

+D

r

r

D

r

(

)

( )

r t

t

r t

r

+D =

+D

r

r

r

(

)

( )

r r t

t

r t

D =

+D -

r r

r

background image

Prędkość i
przyspieszenie

s(t) – droga przebyta przez punkt materialny do
punktu A
s
(t+Dt) - droga przebyta przez punkt materialny do
punktu B

Średnia prędkość na odcinku toru
AB

:

Chwilowa prędkość w punkcie toru
A

:

(

)

( )

AB

s t

t

s t

u

t

+D -

=

D

0

(

)

( )

lim

t

s t

t

s t

ds

u

t

dt

D �

+D -

=

=

D

( )

( )

0

t

s t

u

d

t t

=

background image

Prędkość i
przyspieszenie

Prędkością

punktu

materialnego

nazywamy

granicę do której dąży stosunek wektora przyrostu
promienia wodzącego do przyrostu czasu, gdy
przyrost czasu dąży do zera. Prędkość jest
wektorem o kierunku i zwrocie zgodnym z
kierunkiem

i

zwrotem

wektora

przyrostu

promienia wodzącego.

Dla scharakteryzowania zmiany położenia punktu
materialnego wprowadza się pojęcie prędkości
jako wektora

0

0

(

)

( )

lim

lim

t

t

r

r t

t

r t

dr

u

t

t

dt

D �

D �

D

+D -

=

=

=

D

D

r

r

r

r

r

background image

Prędkość i
przyspieszenie

Składowe wektora prędkości wyrażają się jako
pochodne po czasie składowych promienia
wodzącego

( )

( )

( )

( )

r t

i x t

j y t

k z t

=

+

+

r

r

r

r

0

0

0

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

lim

lim

lim

t

t

t

x t

t

x t

y t

t

y t

z t

t

z t

u i

j

k

t

t

t

D �

D �

D �

+D -

+D -

+D -

=

+

+

D

D

D

r

r

r

r

dx

dy

dz

u i

j

k

dt

dt

dt

=

+

+

r

r

r

r

,

,

x

y

z

dx

dy

dz

u

u

u

dt

dt

dt

=

=

=

background image

Prędkość i
przyspieszenie

Wektor przyrostu promienia wiodącego stanowi
sieczną toru. W granicy staje się styczny do toru.
Wektor prędkości ma ten sam kierunek co wektor
przyrostu promienia, zatem

jest styczny do toru

.

Dla odpowiednio małych Dt :

zatem:

Prędkość chwilowa równa jest wartości wektora
prędkości.

2

2

2

s

r

x

y

z

D @D = D +D +D

r

0

0

0

lim

lim

lim

t

t

t

r

s

r

u

u

t

t

t

D �

D �

D �

D

D

D

=

=

=

=

D

D

D

r

r

r

2

2

2

x

y

z

u

u

u

u

=

+ +

background image

Prędkość i
przyspieszenie

0

x

y

z

A

B

( )

u t

r

( )

y t

( )

x t

( )

z t

(

)

u t

t

+D

r

background image

Prędkość i
przyspieszenie

Średnie przyspieszenie na odcinku
toru AB

:

Chwilowe przyspieszenie w punkcie
toru A

:

(

)

( )

AB

u t

t u t

a

t

+D -

=

D

0

(

)

( )

lim

s

t

u t

t u t

du

a

t

dt

D �

+D -

=

=

D

( )

( )

( )

0

0

t

s

u t

u

a

d

t t

-

=

background image

Prędkość i
przyspieszenie

0

x

y

z

A

B

hodograf prędkości

tor punktu

Hodografem prędkości

nazywamy miejsce geometryczne

końców wektora prędkości dla różnych chwil czasu, gdy
początek wektora prędkości jest ustalony w początku układu
współrzędnych

( )

u t

r

(

)

u t

t

+D

r

( )

u t

r

(

)

( )

u u t

t u t

D =

+D -

r r

r

u

D

r

background image

Prędkość i
przyspieszenie

Przyspieszeniem punktu materialnego

nazywamy

granicę do której dąży stosunek wektora przyrostu
prędkości do przyrostu czasu, gdy przyrost czasu
dąży do zera. Przyspieszenie jest wektorem o
kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i
zwrotem wektora przyrostu prędkości.

Dla scharakteryzowania zmiany wartości i
kierunku wektora prędkości wprowadza się
przyspieszenie jako wielkość wektorową

0

0

(

)

( )

lim

lim

t

t

u

u t

t u t

du

a

t

t

dt

D �

D �

D

+D -

=

=

=

D

D

r

r

r

r

r

background image

Równania ruchu punktu
materialnego

Warunek początkowy:

( )

( )

,

dr

du

u t

a t

dt

dt

=

=

r

r

r

r

( )

( )

( )

( )

( )

( )

,

,

,

,

x

y

z

y

x

z

x

y

z

dx

dy

dz

u t

u t

u t

dt

dt

dt

du

du

du

a t

a t

a t

dt

dt

dt

=

=

=

=

=

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

0

0

0

,

0

,

0

0

,

0

,

0

x

x

y

y

z

z

x

x

y

y

z

z

u

u

u

u

u

u

=

=

=

=

=

=

background image

Równania ruchu punktu
materialnego

Warunek początkowy:

d dr

du

dt dt

dt

� �=

� �

� �

r

r

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

,

,

x

y

z

d x

d y

d z

a t

a t

a t

dt

dt

dt

=

=

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

0

0

0

,

0

,

0

0

,

0

,

0

x

y

z

x

x

y

y

z

z

dx

dy

dz

u

u

u

dt

dt

dt

=

=

=

=

=

=

( )

2

2

d r

a t

dt

=

r

r

background image

Przyspieszenie dośrodkowe i
styczne

A

B

C

D

Trójkąt BCD jest trójkątem równoramiennym,
zatem

:

r

przyrost prędkości związany ze zmianą
kierunku wektora prędkości

przyrost prędkości związany ze zmianą
długości wektora prędkości

Przybliżamy odcinek toru AB łukiem okręgu o
promieniu r

r (t)

promień krzywizny toru

( )

u t

r

(

)

u t

t

+D

r

( )

u t

D

r

(

)

2 ( )sin

/ 2

( )

n

u

u t

u t

a

a

D

=

D

@

D

r

( )

s

u t

D

r

( )

n

u t

D

r

a

D

( )

n

u t

D

r

( )

s

u t

D

r

a

D

AB

s

u

t

r a

D = D =

D

background image

Wprowadzamy wielkość wektorową zdefiniowaną
wzorem:

Gdy Dt dąży do zera, dąży do zera również kąt Da. Zatem
wektor przyrostu prędkości Du

n

staje się prostopadły do

wektora prędkości, z czego wynika, że:

Przyspieszenie dośrodkowe i
styczne

( )

AB

n

u

t

u

u t

r

D

D =

r

0

0

lim

lim ( )

n

AB

t

t

u

u

u t

t

r

D �

D �

D

=

D

r

0

lim

n

n

t

u

a

t

D �

D

=

D

r

r

( )

n

AB

u

u

u t

t

r

D

=

D

r

2

n

u

a

r

=

r

n

a

u

^

r

r

background image

A

B

r

Ponieważ wektor wielkości skierowany jest w
stronę środka krzywizny toru, wielkość tą
nazywamy

przyspieszeniem dośrodkowym

.

Wielkość nazywamy

przyspieszeniem

stycznym

. Długość tego wektora równa jest

pochodnej po czasie długości wektora prędkości
(czyli prędkości chwilowej).

Przyspieszenie dośrodkowe i
styczne

( )

u t

r

(

)

u t

t

+D

r

( )

u t

D

r

n

a

r

( )

s

u t

D

r

( )

n

u t

D

r

( )

n

a t

r

0

lim

s

s

t

u

a

t

D �

D

=

D

r

r

s

u

u

D =D

r

s

du

a

dt

=

( )

s

a t

r

( )

a t

r

s

a

r

background image

0

x

y

z

A

B

Prędkość i przyspieszenie
kątowe

Chwilowa prędkość
kątowa:

Średnia prędkość
kątowa:

0

1

a

D

0

lim

t

t

a

w

D �

D

=

D

AB

t

a

w

D

=

D

( )

t

r

r

(

)

t

t

r +D

r

background image

Prędkość i przyspieszenie
kątowe

A

B

C

0

1

( )

t

r

(

)

t

t

r +D

a

D

u

r

r

u

a

r

( )

u t

r

0

0

( )

lim

lim

( ) ( )

t

t

AC

t

u

t

t

t

t

a

r

a

r

w

D �

D �

D

=

=

=

D

D

(

)

0

( )

lim

t

t

t

t

d

u

t

dt

r

r

r

r

D �

+D -

=

=

D

2

2

2

2

2

d

u

u

u

dt

r

a

r

r w

� �

=

+

=

+

� �

� �

gdy

const u

r

r w

=

=

background image

0

x

y

z

A

Prędkość i przyspieszenie
kątowe

Chwilowa prędkość kątowa charakteryzuje ruch w płaszczyźnie
wyznaczonej przez wektor promienia i wektor prędkości. Aby
scharakteryzować położenie tej płaszczyzny wystarczy podać
punkt, przez który przechodzi (punkt 0

1

), i wektor do którego

jest prostopadła. Dlatego wprowadza się prędkość kątową jako
wielkość wektorową.

0

1

( )

t

w

r

( )

t

r

r

( )

u t

r

background image

Prędkość i przyspieszenie
kątowe

Prędkością kątową

nazywamy wielkość wektorową o wartości

równej chwilowej prędkości kątowej, o kierunku prostopadłym
do płaszczyzny utworzonej przez wektor promienia wodzącego i
wektor

prędkości,

o zwrocie określonym regułą śruby prawoskrętnej.

0

1

( )

t

r

r

( )

u t

r

( )

t

w

r

background image

0

x

y

z

Prędkość i przyspieszenie
kątowe

hodograf

prędkości

kątowej

Przyspieszeniem kątowym

nazywamy granicę do

której dąży stosunek wektora przyrostu prędkości
kątowej do przyrostu czasu, gdy przyrost czasu
dąży do zera. Przyspieszenie kątowe jest
wektorem o kierunku i zwrocie zgodnym z
kierunkiem i zwrotem wektora przyrostu prędkości
kątowej.

( )

t

w

r

(

)

t

t

w +D

r

w

D

r

0

lim

t

d

t

dt

w

w

e

D �

D

=

=

D

r

r

r

background image

Szczególne przypadki ruchu punktu
materialnego

Ruch płaski:

Ruchem płaskim

nazywamy ruch, którego tor leży

w jednej płaszczyźnie.
Ruch prostoliniowy i ruch po okręgu są
szczególnymi przypadkami ruchu płaskiego

x

y

( )

u t

r

y

u

x

u

background image

Szczególne przypadki ruchu punktu
materialnego

g

y

x

0

y

0

Dane:
wyjściowe położenie punktu
x

0

, y

0

wartość prędkości
początkowej u

0

kąt rzutu

a

przyspieszenie grawitacyjne g

Szukane:
funkcje opisujące trajektorię
punktu x(t), y(t)

0

u

r

a

background image

Szczególne przypadki ruchu punktu
materialnego

( ),

( ),

0,

y

x

x

y

du

du

dx

dy

u t

u t

g

dt

dt

dt

dt

=

=

=

=-

0

0

0

( )

(0) 0

t

t

x

x

x

du

dt

dt

u t u

dt

=

-

=

0

( )

(0)

cos

x

x

u t

u

u

a

=

=

0

0

( )

(0)

t

t

y

y

y

du

dt

gdt

u t u

gt

dt

=-

-

=-

0

( )

(0)

sin

y

y

u t

u

gt u

gt

a

=

-

=

-

0

0

0

0

cos

( )

(0)

cos

t

t

dx

dt

u

dt

x t

x

u t

dt

a

a

=

-

=

0

0

( )

cos

x t

x u t

a

= +

(

)

2

1

0

0

2

0

0

sin

( )

(0)

sin

t

t

dy

dt

u

gt dt

y t

y

u t

gt

dt

a

a

=

-

-

=

-

2

1

0

0

2

( )

sin

y t

y u t

gt

a

= +

-

background image

Prędkość i przyspieszenie w ruchu
względnym

0

x

y

z

z

1

y

1

x

1

0

1

A

( )

r t

r

0

( )

r t

r

1

( )

r t

r

1

0

( )

( )

( )

r t

r t

r t

=

+

r

r

r

0

1

1

0

( )

( )

( )

dr

dr

dr

u t

u t u t

dt

dt

dt

=

=

+

=

+

r

r

r

r

r

r

background image

Prędkość i przyspieszenie w ruchu
względnym

Wniosek:

Prędkość w ruchu bezwzględnym (

prędkość

bezwzględna

) równa jest sumie prędkości punktu

materialnego, w przypadku gdyby pozostawał
nieruchomy

względem

ruchomego

układu

współrzędnych (

prędkość unoszenia

), i prędkości

punktu względem układu ruchomego (

prędkość

względna

).

prędkość bezwzględna

=

prędkość unoszenia

+

prędkość względna

background image

Prędkość i przyspieszenie w ruchu
względnym

0

x

y

z

z

1

y

1

x

1

0

1

Prędkość
unoszenia:

Prędkość
bezwzględna:

0

( )

u t

r

1

( )

r t

r

( )

t

w

r

1

( )

( )

t r t

w

r

r

0

1

( )

( )

( )

e

u t

u

t r t

w

= +

r

r

r

r

0

1

1

( )

( )

( )

( )

u t

u

t r t

u t

w

= +

+

r

r

r

r

r

1

( )

u t

r

background image

Prędkość i przyspieszenie w ruchu
względnym

z

1

y

1

x

1

0

1

przyrost promienia wodzącego
w układzie ruchomym

przyrost promienia wodzącego
w układzie nieruchomym

przyrost promienia wodzącego
na skutek obrotu układu
ruchomego

1

( )

r t

r

1

(

)

r t

t

+D

r

1

( )

w

r t

D

r

1

( )

r t

D

r

1

( )

r

r t

D

r

1

( )

w

r t

D

r

1

( )

r t

D

r

1

( )

r

r t

D

r

background image

Prędkość i przyspieszenie w ruchu
względnym

z

1

y

1

x

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

lim

lim

lim

w

r

t

t

t

r

dr

r

r

u

r

dt

t

t

t

w

D �

D �

D �

D

D

D

=

=

+

= + �

D

D

D

r

r

r

r

r

r

r

1

( )

r t

r

1

(

)

r t

t

+D

r

1

( )

w

r t

D

r

1

( )

r t

D

r

1

( )

r

r t

D

r

background image

Prędkość i przyspieszenie w ruchu
względnym

0

x

y

z

z

1

y

1

x

1

0

1

( )

a t

r

0

( )

a t

r

1

( )

a t

r

0

1

1

0

( )

( )

du

du du

a t

a t

dt

dt

dt

=

+

=

+

r

r

r

r

r

background image

Prędkość i przyspieszenie w ruchu
względnym

0

x

y

z

z

1

y

1

x

1

0

1

0

( )

u t

r

1

( )

r t

r

( )

t

w

r

1

( )

( )

t r t

w

r

r

1

e

du

du

du

dt

dt

dt

=

+

r

r

r

1

( )

u t

r

background image

Prędkość i przyspieszenie w ruchu
względnym

Gdy

0

1

1

( )

( )

e

du

du

d

dr

r t

t

dt

dt

dt

dt

w

w

=

+

+

r

r

r

r

r

r

(

)

0

1

1

1

( )

( )

( )

( )

( )

e

du

a

r t

t

u t

t r t

dt

e

w

w

= + �

+

+

r

r

r

r

r

r

r

r

(

)

0

1

1

1

( )

( )

( )

( )

( )

e

du

a

r t

t

t r t

t u

dt

e

w

w

w

= + �

+

+

r

r

r

r

r

r

r

r

r

(

)

0

1

1

( )

( )

( )

( )

( )

e

e

du

a

t r t

t

t r t

a

dt

e

w

w

= +

+

=

r

r

r

r

r

r

r

r

1

( ) 0

u t =

r

1

( )

( )

( )

e

e

du

a t

t u t

dt

w

=

+

r

r

r

r

background image

Prędkość i przyspieszenie w ruchu
względnym

z

1

y

1

x

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

lim

lim

lim

w

r

t

t

t

u

du

u

u

a

u

dt

t

t

t

w

D �

D �

D �

D

D

D

=

=

+

= + �

D

D

D

r

r

r

r

r

r

r

1

( )

u t

r

1

(

)

u t

t

+D

r

1

( )

w

u t

D

r

1

( )

u t

D

r

1

( )

r

u t

D

r

1

1

2

e

a a

a

u

w

= + +

r

r

r

r

r

background image

Prędkość i przyspieszenie w ruchu
względnym

Dodatkowe przyspieszenie punktu materialnego,
wynikające z obrotu układu ruchomego nazywamy

przyspieszeniem Coriolisa

1

2 ( )

( )

c

a

t u t

w

=

r

r

r

1

2 ( ) ( )sin

c

a

t u t

w

a

=

background image

Dziękuję za uwagę


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Mechanika1 10
mechanika, 10+, Ćwiczenie 10
2) MECHANIKA 10 str 01 03 2012
Zespół Szkół Mechanicznych 10
2) MECHANIKA 10 str 01 03 2012
Zadania M6 09.10.2012, mechanika i budowa maszyn, politechnika, polibuda, matma, matma
Mechanika Gruntów Pytania i Odpowiedzi 6 10
Mechanika płynów dzienne energetyka 30h Wyklad 10
[14 10 2014] Pytania Mechanika Budowli
Cw 10 NASZE3, PW Transport, Gadżety i pomoce PW CD2, MECHANIKA, Mechanika~1!!!
pn 29 11 10, pn 6 12 10(fragment) narządy pierwotne, listki zarodkowe, mechanizmy rozwoju zarodkax
10 klasyczna granica mechaniki kwantowej
Mechanika - Statyka, cwiczeniastatyka3, Ćwiczenia statyka 3
3.10 Definicja rytmow biologicznych, Definicja rytmów biologicznych, ich rodzaje i mechanizmy synchr
3.10 Definicja rytmow biologicznych, Definicja rytmów biologicznych, ich rodzaje i mechanizmy synchr
Mechanika - zestaw 10, Dynamika II
Mechanika Gruntów Pytania i Odpowiedzi 1 10
Mechanika techniczna(10)

więcej podobnych podstron