1. KINEMATYKA

Dr J. Nęcki – na podstawie

wykładów Prof.

Janczyszyna

Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej AGH

www.ftj.agh.edu.pl

Wstęp



Opis ruchu: ciało a punkt
materialny
(modele)



Ruch postępowy i obrotowy

(układy odniesienia)



Wielkości fizyczne i równania
służące do opisu ruchu
postępowego i obrotowego

(matematyka)



Przykłady

Ruch postępowy (a) i obrotowy

(b)

x’

y’

O

x’

y’

O

x’

y’

O

x

y

x’

y’

O

x’

y’

O

x’

y’

O

a)

b)

1. Znajdź dowody na ruch
- obrotowy Ziemi
-postępowy Ziemi

Opis ruchu



1. Ruch prostoliniowy

- jednostajny
- jednostajnie przyspieszony
- zmienny



2. Ruch obrotowy



3. Wektory



4. Ruch na płaszczyźnie

1. Ruch prostoliniowy



Ruch wzdłuż linii prostej –
jeden
stopień swobody



Prędkość i przyśpieszenie:

v

i

a



Wartości średnie i chwilowe

2. Podaj przykład ruchu z 2 i 3 stopniami swobody

P

v

s

P

a

s

Wartości

średnie i

chwilowe

Prędkość średnia (tempo zmian położenia):

x

x

1

x

2

t

2

t

1

Prędkość chwilowa:

Jednostka:

Dx

1

2

1

2

t

t

x

x

t

x

v













v

x

t

dx

dt

t













0

lim

1

]

[ 

v

s

m



Definicja:



Symbole:



f=f(x)- funkcja



x

- zmienna niezależna



lim

- wartość graniczna



Df, Dx

- przyrosty skończone



df, dx - różniczki

Pochodna funkcji

x

y = f
(x)

x

1

x

2

Dx

y

1

Df

y

2

x

f

dx

df

f

x













lim

0

'

Obliczanie pochodnej

Funkcja

Pochodna

Funkcja

Pochodna

a

0

xn

nxn-1

ax

ax lna

sinx

cosx

lnx

1/x

cosx

-sinx

f(x)g(x) f ‘(x)g(x)+ f(x)g’(x)

f[g(x)]

[df(x)/dg(x)]g’(x)

Przyśpieszenie średnie (tempo zmian prędkości):

Przyśpieszenie chwilowe:

Jednostka:

3. Zaproponuj nazwę tempa zmian przyspieszenia

1

2

1

2

t

t

v

v

t

v

a













dt

dv

t

v

a

t













lim

0

[ ]

a 1

2

s

m



Wielkości kątowe: przestrzeń
„alfa”- a



Prędkość i przyśpieszenie:

w

i

e



Średnie:



Chwilowe:

2. Ruch obrotowy

1

2

1

2

1

2

1

2

;

t

t

t

t

t

t









































dt

d

t

dt

d

t

t

t





































lim

lim

0

0

;

Wektory



Wektor a liczba

4.proszę podać odległość oraz wektor mojego
położenia względem siebie



Charakterystyki wektora

– wartość
– kierunek
– zwrot



Składowe wektora:



Współrzędne wektora:



Wersor - wektor jednostkowy:

r

)

,

,

(

z

y

x

r









( , , )

r i j k

  

r

r





)

,

,

(

z

y

x

r

z

x

y

z

x

y

r

Układ współrzędnych a

wektor

r r

x

y

z

= =

+

+



2

2

2

)

,

,

(

z

y

x

r









Działania na wektorach



Dodawanie i odejmowanie
wektorów



Iloczyn skalarny wektorów



Iloczyn wektorowy wektorów

Dodawanie i odejmowanie

wektorów

5.?

6.?



b

  

c a b
c

a

b

x

x

x

 

 

...................

a



b

  





c a b

a

b

c

a

b

x

x

x

  

  

 

( )

...................

a

Iloczyn skalarny



Wynikiem iloczynu skalarnego
jest liczba

   

 

a b a b

a b

c

· =

=

cos( , )

 

a b

· =a b

a b

a b

c

x x

y y

z z

+

+

=

Iloczyn wektorowy 1

7. Proszę narysować c



















i a b a b

j a b

a b

k a b

a b

y z

z y

z x

x z

x y

y x

(

)

(

)

(

)

 

a b

 









i

j

k

a

a

a

b

b

b

c

x

y

z

x

y

z

 

c

b

a

b

a

b

a





















)

,

sin(

c

b

a











Iloczyn wektorowy 2

a

P

a



b

c

Ruch na płaszczyźnie



1. Ruch krzywoliniowy - dwa
stopnie

swobody



2. Przemieszczenie a droga

8.Proszę podać przykład różnicy !



3. Prędkość i przyśpieszenia



4. Równania ruchu. Składanie
ruchów



5. Równanie toru

Ruch krzywoliniowy



Przemieszczenie -



Wektory
położenia -
i



Droga
krzywoliniowa -

y

x

O

D s

Ds

r

r

1

r

2

r

r

1

r

2

Prędkość



Prędkość zawsze styczna do toru

y

x

O







v

r

t

dr

dt

t













0

lim

r

1

r

1

v

2

r

Δ

3

r

Δ

r

2

Przyśpieszenia



Przyśpieszenie styczne



Przyśpieszenie normalne
(dośrodkowe)

x

y

O



a

t

a



a

n

v





a

dv

dt

v

t





r

r

v

a

n

ˆ

2







Przyśpieszenie całkowite

 











 



a

dv

dt

d

dt

vv

dv

dt

v v

dv

dt

a a

a a

a

a

t

n

t

n









 











;

2

2

Przykład 1



Rzut ukośny

y

O



a

t

g



a

n

Przykład 2



Ruch jednostajny po okręgu

a

s

r

v

1

v

2

a

n





v const

a

s

r

ds

dt

d

dt

r

dr

dt

v

r bo

dr

dt

t















0

0









Całka oznaczona



Problem: w ruchu prostoliniowym
o zmiennej prędkości - v=v(t)
-obliczyć przebytą drogę - x

....

....

x =
vt

x

i

x

2

x

1

x

3

t

1

t

2

x

x

x v

x

t

const

x

v t

i

i

i

i

n

i

i























;

;

1

Całka oznaczona cd.

t

v(t)

Dt

t

1

t

2

v

i

x

v t

dla n

t

dt a

x

v t dt

i

i

n

t

t



 





















1

1

2

( )

Obliczanie całek

9.Proszę podać 3 wielkości które są obliczane przy pomocy całek

Funkcja

Całka

Funkcja

Całka

1

x

xn

x n+1/(n+1)

ax

ax / lna

sinx

-cosx

1/x

ln/x/

cosx

sinx

Przykład



Droga w ruchu jednostajnie
zmiennym

a const

dv

dt

dv adt

dv

adt a dt

t

v

v

t

t

t

t





















'

'

';

0

0

0

0

0

Przykład cd.

2

;

2

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

2

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

t

a

t

v

s

s

t

a

t

v

s

dt

t

a

dt

v

dt

at

dt

v

ds

atdt

dt

v

ds

dt

ds

at

v

v

at

v

v

at

v

t

t

s
s

t

t

s

s

t

t

t

v
v















































Rozkładanie ruchów



Zamiast jednego
równania
wektorowego

dwa równania

skalarne



Złożenie ruchów

y

x

O

a

r

x

y

tg

y

x







2

2



 

r r t

 ( )

x x t i y y t





( )

( )

r

v

y

x

v

y

v

x

Przykład



Rzut ukośny

y

O

x

g

0

v

y

v

0



x

v

0



2

;

;

0

2

0

0

0

0

t

g

t

v

y

t

v

x

gt

v

v

v

v

g

a

a

y

x

y

x

y

x

y

x























const

const

Równania ruchu



We współrzędnych prostokątnych:



Np. ruch po okręgu:

)

(

;

)

(

;

)

(

t

a

a

t

v

v

t

r

r



















)

(

)

(

)

(

)

(

lub

)

(

lub

)

(

t

a

a

t

v

v

t

y

y

t

a

a

t

v

v

t

x

x

y

y

y

y

x

x

x

x













)

cos(

)

sin(

2

t

r

y

t

r

x

r

v

a

r

n















i

const

lub

const



Równanie toru



f(x,y)=0 lub y=f(x)



Np..:

– Ruch po okręgu

– Rzut ukośny (po paraboli)

r

x

y

2

2

2





y

v

v

x

gx

v

y

x

x





0

0

2

0

2

2

ZADANIE DOMOWE



Proszę opisać 1 dzień ze swojego
życia codziennego zaznaczając w
których momentach (min. 10)
macie styczność z fizyką



Należy podać opisy matematyczne
tych przypadków wraz z
obliczeniami ilościowymi