Laboratorium Kinematyki i Dynamiki
Wydział Inżynierii Mechanicznej

Uniwersytet Technologiczno Przyrodniczy
Bydgoszcz

Ćwiczenie 5

Metody doświadczalne wyznaczania masowych momentów bezwładności

• 5.2.1. Metoda ruchu obrotowego

• 5.2.2. Metoda wahadła fizycznego

Zespół 2

Radosław Chyliński

Remigiusz Rybicki

Tomasz Wesołowski

Piotr Wiśniewski

1. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodami praktycznymi wyznaczania masowych momentów bezwładności metodą wahadła fizycznego i określaniem ruchu obrotowego dla brył, u których wyznaczanie analityczne byłoby zbyt skomplikowane, np. koło zębate itp.

1. Opis metody ruchu obrotowego

Jedna z metod wyznaczania momentów polega na wykorzystaniu ruchu obrotowego. Zastosujemy dla bryły obrotowej (rys.1), której moment bezwładności I₀ jest nieznany, odpowiednie równanie ruchu

ԐI₀ = $\sum_{i = 1}^{n}M_{0i}$

Rys. 1. Schemat ruchu obrotowego bryły

Przecinając myślowo nieważką i nierozciągliwą nić, na której zawieszono ciężar G, dostaniemy dwa ciała poruszające się ruchami elementarnymi. Badane ciało porusza się ruchem obrotowym – opisanym równaniem:

[?]  • I₀ = S •  r − M_t

Gdzie:

Ԑ - przyspieszenie kątowe ruchu obrotowego

S – napięcie w linie

M_t – moment tarcia

Ciężarek porusza się ruchem postępowym:

p $\frac{G}{g}$ = G – S

Gdzie:

p - przyspieszenie ciężarka

Jeśli uwzględnimy, że

p = Ԑ • r

oraz założymy, że ruch ciężarka jest jednostajny, to

h = $\frac{\text{pt}^{2}}{2}$

a po podstawieniu poprzednich wzorów ostatecznie otrzymamy

I₀ = $\frac{\frac{1}{2h}\ \left( G_{1} - \ G_{2} \right) - \ \frac{1}{g}\ (\frac{G_{1}}{t_{1}^{2}} - \ \frac{G_{2}}{t_{2}^{2}})}{\frac{1}{t_{1}^{2}} - \ \frac{1}{t_{2}^{2}}}\ r^{2}$

1. Opis metody wahadła fizycznego

Badana bryła musi zostać zawieszona na poziomej osi, która nie przechodzi przez jej środek masy.

Rys. 2. Schemat wahadła fizycznego

Wychylamy bryłę z położenia równowagi i pozostawiamy ją samą sobie. Równanie ruchu wahadła fizycznego będzie miało postać:

I₀ ϕ + Q e sinϕ = 0

Dla małych kątów dopuszczalne jest przybliżenie: sinφ = φ, po uwzględnieniu tej zależności otrzymamy:

ϕ +  ω²  •  ϕ = 0

Gdzie:

$\omega = \ \sqrt{\frac{Q\ \bullet e}{I_{0}}}$ - częstość kołowa ruchu drgającego

Korzystając z zależności:

$$T_{\ } = \ \frac{2\ \bullet \pi}{\omega}$$

i dokonując prostych przekształceń otrzymamy:

$$I_{0\ } = \ \frac{T^{2}\ \bullet Q\ \bullet e}{{4\pi}^{2}}$$

1. Algorytm obliczeń

Ad. 5.2.1.

Dla wyznaczenia masowego momentu bezwładności przyjmujemy błąd bezwzględny, który obliczany jest zależnością, oraz błąd względny, który spowodowany jest złym pomiarem wielkości h, t₁ oraz t₂.

• Błąd bezwzględny:

$${I}_{0} = \sqrt{({a_{1} \bullet h)}^{2} + ({a_{2} \bullet {t}_{1})}^{2} + ({a_{3} \bullet {t}_{2})}^{2}}$$

gdzie :

$$a_{1} = \frac{\delta I_{0}}{\text{δh}} = - \frac{\frac{r^{2}(G_{1} - G_{2})}{{2h}^{2}}}{\frac{l}{{t_{1}}^{2}} - \frac{l}{{t_{2}}^{2}}}$$

$$a_{2} = \frac{\delta I_{0}}{\delta t_{1}} = \ \frac{{2r}^{2}\left( G_{1}{- G}_{2} \right) \bullet (\frac{1}{2h} - \frac{1}{{\text{gt}_{2}}^{2}})}{{t_{1}}^{3}({\frac{l}{{t_{1}}^{2}} - \frac{l}{{t_{2}}^{2}})}^{2}}$$

$$a_{3} = \frac{\delta I_{0}}{\delta t_{2}} = \ \frac{{2r}^{2}\left( G_{1}{- G}_{2} \right) \bullet ( - \frac{1}{2h} + \frac{1}{{\text{gt}_{1}}^{2}})}{{t_{2}}^{3}({\frac{l}{{t_{1}}^{2}} - \frac{l}{{t_{2}}^{2}})}^{2}}$$

TRZEBA JESZCZE POPODSTAWIAĆ I WYLICZYĆ, ALE TO W PUNKCIE 5 - OBLICZENIA

Ad. 5.2.2.
Masowy moment bezwładności bryły jest różnicą momentu bezwładności bryły z wahadłem i momentu bezładności wahadła:

I_b =  I_wb  −  I_w

I_b – moment bezładności bryły,

I_wb – moment bezwładności bryły z wahadłem,

I_w – moment bezwładności wahadła.

• Błąd bezwzględny:

$I_{0} = \ \sqrt{\left( a_{1}\ \bullet \ Q \right)^{2} + \ \left( a_{2}\ \bullet \ l \right)^{2} + \ \left( a_{3}\ \bullet \ T_{\text{wb}} \right)^{2} + \ \left( a_{4}\ \bullet \ T_{w} \right)^{2}}$

gdzie:

$$a_{1} = \ \frac{\delta I_{0}}{\text{δP}} = \ \frac{1}{{4\pi}^{2}}\ \left( {T_{\text{wb}}}^{2}\ \ {T_{w}}^{2} \right)$$

$$a_{2} = \ \frac{\delta I_{0}}{\text{δl}} = \ \frac{Q}{{4\pi}^{2}}\ \left( {T_{\text{wb}}}^{2}\ \ {T_{w}}^{2} \right)$$

$$a_{3} = \ \frac{\delta I_{0}}{\delta T_{\text{wb}}} = \ \frac{\left( T_{\text{wb}} \bullet Q \bullet l \right)}{{2\pi}^{2}}$$

$$a_{4} = \ \frac{\delta I_{0}}{\delta T_{w}} = \ \frac{\left( T_{w} \bullet Q \bullet l \right)}{{2\pi}^{2}}$$

• Błąd względny:

$$\text{δI}_{0} = \frac{{I}_{0}}{I_{0}} \bullet 100\%$$

1. Obliczenia

5.2.1

5.2.2

Po podstawieniu:

ΔQ = 0,1 N

Δl = 0,001 m

ΔT_wb = 0,1 s

ΔT_w = 0,1 s

T_wśr = 1,289 s

Q = 2 N

e = 0,41 m

Dla krążka T_wbśr = 1.312

I_wb=$\frac{{T_{\text{wb}sr}}^{2} \bullet \ Q\ \bullet e}{{4\pi}^{2}}$ = $\frac{{1,312}^{2} \bullet 2\ \bullet 0,41}{39,4384} = 0,03579\ {kg \bullet m}^{2}$

I_w=$\frac{{T_{wsr}}^{2} \bullet \ Q\ \bullet e}{{4\pi}^{2}}$ = $\frac{{1,289}^{2} \bullet 2\ \bullet 0,41}{39,4384} = 0,03454\ {\text{kg} \bullet m}^{2}$

I_b =  I_wb  −  I_w = 0, 03579 − 0, 03454 = 0, 00125 kg • m²

$$a_{1} = \ \frac{1}{39,4384}\left( {1,312}^{2} - \ {1,289}^{2} \right) = 0,0015\ {m \bullet s}^{2}$$

$$a_{2} = \ \frac{2}{39,4384}\ \left( {1,312}^{2} - \ {1,289}^{2} \right) = \ 0,003\ m \bullet s^{2}$$

$$a_{3} = \ \frac{1,312\ \bullet 2\ \bullet 0,41}{19,7192} = 0,055\ s \bullet N \bullet m$$

$$a_{4} = \ \frac{1,289\ \bullet 2 \bullet 0,41}{19,7192} = 0,054\ s \bullet N \bullet m$$

${I}_{0} = \ \sqrt{{(0,0015 \bullet 0,1)}^{2} + {(0,003 \bullet 0,001)}^{2} + {(0,055 \bullet 0,1)}^{2} + {(0,054 \bullet 0,1)}^{2}}$ = 0,0077 kg • m²

Dla koła zębatego T_wbśr = 1,413

$$a_{1} = \ \frac{1}{39,4384}\left( {1,413}^{2} - \ {1,289}^{2} \right) = 0,0084\ {m \bullet s}^{2}$$

$$a_{2} = \ \frac{2}{39,4384}\left( {1,413}^{2} - \ {1,289}^{2} \right) = 0,017\ {m \bullet s}^{2}$$

$$a_{3} = \ \frac{1,413\ \bullet 2\ \bullet 0,41}{19,7192} = 0,058\ s \bullet N \bullet m$$

$$a_{4} = \ \frac{1,289\ \bullet 2 \bullet 0,41}{19,7192} = 0,054\ s \bullet N \bullet m$$

${I}_{0} = \ \sqrt{{(0,0084 \bullet 0,1)}^{2} + {(0,017 \bullet 0,001)}^{2} + {(0,058 \bullet 0,1)}^{2} + {(0,054 \bullet 0,1)}^{2}}$ = 0,0079 kg • m²

Wzór na moment bezwładności bryły z wahadłem:

$$I_{\text{wb}} = \ \frac{T_{\text{wb}}^{2}\ \bullet \ Q_{\text{wb}}\ \bullet \ e_{\text{wb}}}{{4\pi}^{2}}$$

Wzór na moment bezwładności wahadła:

$$I_{w} = \ \frac{T_{w}^{2}\ \bullet \ Q_{w}\ \bullet \ e_{w}}{{4\pi}^{2}}$$

Określenie środka ciężkości:

$$e_{\text{wb}} = \ \ \frac{Q_{w}\ \bullet \ e_{w}}{Q_{\text{wb}}}$$

1. Tabele pomiarów

Tabela 1. Wyniki pomiarów i obliczeń dla metody ruchu obrotowego

	Części stanowiska	Części stanowiska + krążek	Części stanowiska + koło zębate
h [mm]	1000	1000	1000
G1 [N]	0	0,1	0,1
G2 [N]	0,1	0,2	0,2
t1 [s]	0,75	0,69	0,59
t2 [s]	0,57	0,61	0,61
Momenty bezwładności I0 [kgm^2]
	zmierzone	obliczone
Stanowisko
Krążek
Koło zębate

Tabela 2. Wyniki pomiarów i obliczeń dla metody wahadła fizycznego

Ciężar Q = 2 [N] Długość l = 0,41 [m]
Twbk [s]
Rzeczywisty
1,32
1,308
1,316
Masowy moment bezwładności Ib = [kgm^2]

WNIOSKI I SPOSTRZEŻENIA.

Porównując ze sobą wyniki otrzymane z pomiarów tych samych brył stwierdzamy, że różnią się od siebie.

Pomiar momentu bezwładności krążka i koła zębatego za pomocą wahadła fizycznego jest obarczony dużym błędem. Być może przyczyną tego stanu rzeczy jest technika, nieumiejętne posługiwanie się lub sposób pomiaru czasu. Istotny jest błąd podczas synchronizacji oka ze stoperem, niestety nie można idealnie włączać i wyłączać stopera w momencie wychylenia się wahadła. A więc przyjęcie założenia, iż sinφ ≈ φ w naszym ćwiczeniu prowadzi do błędu, ponieważ ta zależność jest tylko i wyłącznie prawdziwa dla kątów bliskich zeru natomiast w ćwiczeniu wychylaliśmy wahadło o kąt bliski 45^o

Reasumując; Mówiąc o bryłach o kształtach prostych dokładne wyniki można otrzymać na drodze obliczeń analitycznych, ponieważ są obarczone mniejszym błędem. Jednakże dla brył o skomplikowanych kształtach (tj. badane koło zębate), rozsądniej zastosować którąś z metod przedstawionych w sprawozdaniu, gdyż obliczanie analityczne byłoby zbyt trudne i skomplikowane.