WYBÓR MIĘDZY PRACĄ A
CZASEM WOLNYM.
PODAŻ JEDNOSTKI

Prof. dr hab. Grażyna Karmowska

oprac. na podst. T. Tokarskiego. Ekonomia matematyczna. PWE 2011

1

PREFERENCJE



Wybór konsumenta zależy od jego preferencji



Relacje preferencji:

oznacza, że klient lubi wiązkę towarową

y

co

najmniej tak jak

x

2

y

x 

~

WARUNKI RACJONALNOŚCI



Zupełności

- dla wszystkich

x

oraz

y

albo

albo



Przechodniości

- dla wszystkich

x, y, z

warunki oraz implikują



Konsument jest obojętny (indyferentny)
jeżeli

x ~ y

3

y

x 

~

x

y 

~

y

x 

~

z

x 

~

z

y 

~



Jeżeli , ale nie jest prawdą,
że , to mówimy, że

y

jest ściśle

preferowane (lub przekładane) nad

x

i

piszemy



Jeżeli nie zachodzi warunek przechodniości,
to można znaleźć takie wiązki

x, y, z

, dla

których zachodziłoby:
Wtedy konsument posiadający wiązkę

x

byłby gotów zmienić ją na

y

,

y

na

z

, a potem

z

na

x

.

4

y

x 

~

y

x~

y

x

x

z

y

x





 ~

~

ZBIÓR PREFERENCYJNY

5





y

x

x

S



~

:



WYBÓR MIĘDZY PRACĄ

A CZASEM WOLNYM

6

ZAŁOŻENIA MODELU

1.

Konsument (pracobiorca) dysponuje zasobem
czasu n>0, który może być przeznaczony na
pracę (l) albo wypoczynek (r): n=l+r

2.

Za jednostkę pracy uzyskuje płacę nominalną
w>0 niezależną od konsumenta. Poza tym
konsument dysponuje dochodami
pozapłacowymi m.

3.

Całe dochody nominalne wl+m uzyskiwane
przez konsumenta przeznaczone są na wydatki
na dobra konsumpcyjne w wielkości c>0 i cenie
p>0. Ograniczenie konsumenta ma postać:
pc=wl+m

Wydatki dochody

7

ZAŁOŻENIA C.D.

4.

Preferencje, co do konsumpcji c i czasu
wolnego r opisuje funkcja użyteczności
u(r,c).

Dla

Elastyczność:

względne preferencje w stosunku do

czasu wolnego i konsumpcji

8

)

1

;

0

(

,

)

,

(

2

1

2

1















c

r

c

r

u

u

2

1













































u

c

c

u

c

c

u

u

u

r

r

u

r

r

u

u

uc

ur

2

1

,





WNIOSKI



Przy wielkości zerowej konsumpcji lub czasu
wolnego:



Wzrost ilości czasu wolnego (konsumpcji)
przy stałej wielkości konsumpcji (czasu
wolnego) prowadzi do wzrostu realizowanej
przez konsumenta użyteczności:

9

0

0

)

0

,

(

0

0

0

)

,

0

(

0

2

1

2

1

























r

r

u

r

c

c

u

c

0

0

,

0

0

,

1

2

1

1

2

1

2

1









































c

r

c

r

c

r

c

r

c

u

r

u

WNIOSKI C.D.



Wzrost czasu wolnego (konsumpcji) prowadzi
do coraz mniejszych przyrostów
użyteczności:



Spełnione jest prawo malejącej użyteczności
krańcowej czasu wolnego i konsumpcji

10

0

)

1

(

0

,

0

)

1

(

0

,

2

2

2

2

2

1

1

2

2

1

2

1

















































c

r

c

r

c

r

c

r

2

2

c

u

r

u

OGRANICZENIE BUDŻETOWE

11

























l

c

p

m

p

w

p

m

l

p

w

c

m

wl

cp

e

pozapłacow

dochody

realne

realna

płaca

Płaca realna

- ilość jednostek typowego dobra

konsumpcyjnego którą może nabyć konsument za
płacę nominalną.

Realne dochody pozapłacowe

…..

PODAŻ PRACY KONSUMENTA



Funkcja użyteczności zależna od czasu pracy l w
przedziale [0;n].



Jej maksimum oznacza czas pracy, którą
konsument jest skłonny przeznaczyć na pracę.



Wyznacza również optimum czasu wolnego r
oraz konsumpcji c.

12

2

1

2

1

)

(

)

(

)

(

)

,

(



































l

l

n

l

u

l

c

l

n

r

dla

c

r

c

r

u

u

:

y

otrzymujem

BADANIE PRZEBIEGU FUNKCJI U

13

n

l

l

l

n

l

u

;

0

;

)

(

)

(

)

(

2

1

















0

)

(

)

(

)

(

)

0

(

)

0

(

)

0

(

2

1

2

1

2

1









































n

n

n

n

u

n

n

u

Na krańcach przedziału określoności:











































1

1

1

1

1

2

1

2

1

1

)

1

(

0

)

;

0

(

)

1

(

0

)

;

0

(

1

)

(

)

(

)

)(

1

(

)

(

2

1

2

1































































n

l

l

u

n

l

n

l

l

u

n

l

l

l

n

l

l

n

l

u

dla

Pochodna względem l:

WNIOSKI



Przy przeznaczeniu całego czasu na
wypoczynek, poziom realizowanej
użyteczności konsumpcji i czasu wolnego
wynosi:



W przedziale w którym pochodna u jest
dodatnia (funkcja rosnąca), wzrost ilości
czasu przeznaczonego na pracę prowadzi do
wzrostu użyteczności.



W przedziale w którym pochodna u jest
ujemna (funkcja malejąca), spada
użyteczność.



Przeznaczenie całego czasu na pracę
prowadzi do zerowej użyteczności.

14

0

2

1









n

PODAŻ PRACY ROZWAŻNEGO
KONSUMENTA

15









1

1

)

1

(





n

2

1







n

l

u

max{
u}

n









1

1

)

1

(







n

l

s

WNIOSKI



Podaż pracy konsumenta zależy od:



Płac realnych



Realnych dochodów pozapłacowych



Względnej preferencji czasu wolnego w stosunku
do konsumpcji

Ο

Jeśli konsument nie uzyskuje żadnych

dochodów pozapłacowych to jego
podaż pracy jest równa czyli
poświęca stałą część dostępnego zasobu
czasu na pracę. Ta część jest równa względnej
preferencji konsumpcji w stosunku do czasu
wolnego.

16





1



0





n

)

1

(

1





)

1

(

1













1

1

)

1

(





n

JEŚLI KONSUMENT UZYSKUJE DOCHODY
POZAPŁACOWE, TO:



Przy



podaż pracy jest tym wyższa,
im wyższe są płace realne,



im wyższy poziom dochodów
pozapłacowych, tym niższa jest

podaż pracy konsumenta,



Im mniej preferowany jest
czas wolny, w stosunku do
konsumpcji, tym wyższa jest
podaż pracy konsumenta.

17

0

0

0

)

1

(

1

2

1

1

1

































































n

l

l

l

n

l

s

s

s

s

0





RESERVATION WAGE – PŁACA
PROGOWA



Zależy od realnych dochodów pozapłacowych
konsumenta oraz względnej preferencji czasu
wolnego w stosunku do konsumpcji



Jeśli konsument nie uzyskuje dochodów
pozapłacowych, skłonny jest podjąć pracę
przy każdej dodatniej płacy realnej

18

n

n

n

l

s

)

1

(

)

1

(

0

)

1

(

0

1

1

1

1

1

1











































Im wyższe dochody
pozapłacowe, tym wyższa
płaca progowa,



Im bardziej preferuje czas
wolny w stosunku do
konsumpcji, tym wyższa
jest jego płaca progowa

19

0

)

1

(

)

1

(

)

1

(

2

1

1

1

1

1

1























n

n

n

























OPTYMALNA WIELKOŚĆ KONSUMPCJI
C*



zależy od tych samych czynników co podaż
pracy konsumenta

20

)

)(

1

(

)

1

(

)

1

(

1

*

1

1

*

1

1

*























































n

c

n

c

n

l

l

c

s

s

dla

FUNKCJA OPTYMALNEJ KONSUMPCJI



Dla każdego



Im wyższe realne dochody
pozapłacowe, tym wyższa
jest optymalna wielkość
konsumpcji,



Im wyższa płaca realna,
tym wyższy optymalny
poziom konsumpcji,



Wzrostowi względnej preferencji
konsumpcji względem czasu
wolnego, odpowiada spadek
optymalnej konsumpcji.

21

0





)

)(

1

(

1

*













n

c

0

)

(

0

)

1

(

0

1

*

1

*

1

*















































n

c

n

c

c

MODEL UOGÓLNIONY



Wnioski z modelu w którym konsument ma
dostęp do jednego dobra (usługi) można (w
znacznej mierze) uogólnić na model
konsumenta mającego dostęp do skończonej
liczby dóbr i usług konsumpcyjnych.

22