Obliczenia statyczne masztów –

metoda dokładna

Autorzy:
Katarzyna Storonowicz
Piotr Wiesławski
Bartosz Wojewód

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA

Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Białystok 2013

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Za metodę dokładną uważa się obecnie metodę elementów

skończonych (MES) w jej wersji przemieszczeniowej. Jej

szczególną zaletą jest nie tylko możliwość uwzględnienia

dowolnej konfiguracji konstrukcji i obciążenia (w tym obliczania

ustrojów belkowo-cięgnowych, jakimi są maszty), ale również i to,

że można ją stosować do analizy statycznej i dynamicznej

konstrukcji oraz do analizy stateczności globalnej. Dokładność

metody rośnie w miarę zagęszczania podziału konstrukcji na

elementy skończone. Trzon masztu należy podzielić tak, aby

każde przęsło zawierało co najmniej dwa elementy skończone.

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Jeżeli weźmiemy pod uwagę dowolny j-ty element skończony

masztu, o początku l i końcu p, to pod wpływem

przemieszczeń jego końców oraz obciążeń na niego działających

możemy

napisać

zależność

pomiędzy

siłami

[F

j

]

a

przemieszczeniami węzłowymi

[r

j

]

w następującej postaci

macierzowej:

[F

j

] = [K

j

][r

j

]

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

gdzie:

[F

j

]=[F

lx

F

ly

F

lz

M

lx

M

ly

M

lz

F

px

F

py

F

pz

M

px

M

py

M

pz

]

T

u, v, w - przemieszczenia odpowiednio wzdłuż osi x, y, z

lokalnego układu współrzędnych,

f, c , y kąty obrotu przekroju odpowiednio wzdłuż osi x,

y, z lokalnego układu współrzędnych,

[K

j

]

- macierz sztywności elementu belkowego, o

rozmiarach 12x12, którą można zapisać w postaci sumy

macierzy sprężystej pręta zginanego

K

ej

i macierzy

geometrycznej

K

gj

,

uwzględniającej wpływ siły podłużnej na

sztywność pręta zginanego, czyli:

[K

j

] = [K

ej

] + [K

gj

]

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

przy czym:

[ ]

,

ll

lp

j

pl

pp j

K

K

K

K

K

�

�

=�

�

�

�

3

2

3

2

2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

[

]

,

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

z

z

y

y

ll j

x

y

y

z

z

j

EA

l

EJ

EJ

m

n

l

l

EJ

EJ

m

n

l

l

K

GJ

l

EJ

EJ

n

p

l

l

EJ

EJ

n

p

l

l

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

-

�

�

=�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

-

�

�

�

�

�

�

�

�

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

3

2

3

2

2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

[

]

[

]

,

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

z

z

y

y

T

lp j

pl j

x

y

y

z

z

j

EA

l

EJ

EJ

m

n

l

l

EJ

EJ

m

n

l

l

K

K

GJ

l

EJ

EJ

n

q

l

l

EJ

EJ

n

q

l

l

�

�

-

�

�

�

�

�

�

-

�

�

�

�

�

�

-

-

�

�

=

=�

�

�

�

-

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

-

�

�

�

�

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

3

2

3

2

2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

[

]

,

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

z

z

y

y

pp j

x

y

y

z

z

j

EA

l

EJ

EJ

m

n

l

l

EJ

EJ

m

n

l

l

K

GJ

l

EJ

EJ

n

p

l

l

EJ

EJ

n

p

l

l

�

�

�

�

�

�

�

�

-

�

�

�

�

�

�

�

�

=�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

-

�

�

�

�

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

W przypadku elementów skończonych odciągów, w których

występują siły rozciągające, należy w licznikach poniższych

wzorów zastąpić funkcje trygonometryczne odpowiednimi im

funkcjami hiperbolicznymi, a równanie:

(

)

2 1 cos

sin

u

M

u

u

h

=

-

-

należy zaś wzorem:

(

)

'

2

1

u

M

ch u

sh u

h

=

-

-

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

W metodzie elementów skończonych stosuje się prawoskrętny

układ współrzędnych, zarówno lokalny (x, y, z), odnoszący się

do poszczególnego elementu skończonego, jak i globalny (X, Y,

Z), odnoszący się do całej konstrukcji.

W układzie lokalnym oś x jest zawsze osią podłużną elementu,

zaczynającą się w punkcie l i skierowaną do punktu p, zaś osie y i

z są głównymi osiami centralnymi przekroju poprzecznego

danego elementu w punkcie l.

Składowe wektora przemieszczenia

[r

j

]

uważa się za dodatnie,

gdy mają zwroty zgodne z dodatnimi zwrotami przyjętego

lokalnego układu współrzędnych. Podobnie znakuje się składowe

wektora sił węzłowych

[F

j

].

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Przemieszczenia translacyjne węzła u, v, w są równoległe

odpowiednio do osi x, y, z. Podobnie w takiej samej kolejności

oznaczono przemieszczenia rotacyjne f, c , y .

W podmacierzach występuje sztywność przekroju na skręcanie

GJ

x

, która dotyczy tylko elementów skończonych trzonu. W

przypadku trzonu skratowanego mamy do czynienia z przekrojem

skrzynkowym quasi-zamkniętym.

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Moment bezwładności na skręcanie możemy obliczyć z drugiego

wzoru Bredta:

gdzie:

Ω - oznacza podwójne pole ograniczone liniami

środkowymi przekroju o boku a

s - jest współrzędną skierowaną wzdłuż obwodu

przekroju trzonu

t(s) - oznacza za stępczą grubość ścianki przekroju

trzonu, zależną od współrzędnej s

2

4

( )

x

s

J

ds

t s

W

=

�

�

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Zastępczą grubość ścianki wyznacza się na podstawie

porównania jej objętości z objętością prętów kraty, ale bez

rozpórek, które nie biorą udziału w przenoszeniu momentu

skręcającego. W przypadku trzonu trójkątnego o długości boku

trójkąta a i długości przedziału kraty b, gdy pole przekroju

pojedynczego pasa wynosi

A

l

zaś pole przekroju krzyżulca wynosi

A

d

, otrzymujemy:

2

2

1

1

d

a

b

t

A A

a

b

�

�

+

=

+

�

�

�

�

�

�

2

3

4

a

W=

( )

ds

a

t s

t

=

�

�

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Składowe macierze, sprężystości

[K

e

]

i geometryczną

[K

g

]

, we

wzorze uzyskuje się z podmacierzy, po rozwinięciu jej wyrazów w

szeregi Taylora w otoczeniu N = 0, tzn. w otoczeniu u = 0.

Macierz sprężystości zależy tylko od geometrii elementu

skończonego, macierz geometryczna zależy natomiast, oprócz

geometrii, od siły podłużnej N.

Taka postać zapisu ogólnej macierzy sztywności

[K

j

]

jest bardzo

przydatna do analizy stateczności konstrukcji.

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Macierz sztywności skończonego elementu cięgna otrzymuje się

przez wstawienie do macierzy sztywności elementu belkowego

EJ

x

=EJ

y

=EJ

z

=0. Sprężysta macierz sztywności zależy tylko od EA/l,

a geometryczna od N/l.

Jeżeli znane są macierze sztywności wszystkich elementów

skończonych, wyrażone w lokalnych układach współrzędnych

poszczególnych elementów, to następnym etapem obliczeń,

zwanym etapem agregacji lokalnych macierzy sztywności, jest

zbudowanie macierzy sztywności

[K]

całego ustroju w globalnym

układzie współrzędnych. Odbywa się to za pomocą macierzy

transformacji, zależnej tylko od kątów zawartych między osiami

układu lokalnego i układu globalnego.

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Ostatecznie otrzymuje się następującą zależność macierzową

pomiędzy siłami węzłowymi a przemieszczeniami węzłowymi:

w której:

[r]

- wektor przemieszczeń węzłowych całego ustroju,

[F]

- wektor węzłowych obciążeń zewnętrznych.

[ ][ ] [ ]

=

K r

F

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Wprowadzanie sił naciągu wstępnego odciągów można uzyskać

jednym z kilku możliwych sposobów. Może to być np. założenie

spadku temperatury cięgien o takie ΔT, aby uzyskać założoną siłę

wstępną S

0

= (EA)

l

e

T,l

ΔT (wskaźnik l oznacza tutaj linę).

Rozwiązanie wcześniejszego układu równań jednym ze sposobów

iteracyjnych, czyli znalezienie składowych wektora przemieszczeń

[r]

, umożliwia wyznaczenie sił węzłowych we wszystkich

elementach skończonych ustroju.

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

STATECZNOŚĆ TRZONU

Metoda parametrów początkowych

Metoda ta jest też nazywana metodą macierzy przeniesienia.

Rozwiązanie zadania rozpoczyna się od obliczenia stycznych

współczynników sprężystości podpór w kierunku poprzecznym C

t,y

przy działaniu wiatru „na odciąg" z kierunku I.

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Oś odkształconą każdego przęsła trzonu w chwili wyboczenia

opisuje różniczkowe równanie równowagi, którego rozwiązaniem

jest funkcja:

y=C

1

sin(kz)+ C

2

cos(kz)+C

3

(kz)+C

4

Cztery stałe całkowania C

j

(j = 1, 2, 3, 4) w każdym przęśle należy

wyznaczyć z warunków brzegowych. Jeżeli maszt ma n przęseł, a

tym samym n podpór sprężystych, to ogólna liczba stałych

całkowania wynosi 4n. Liczba stałych całkowania ulega

zmniejszeniu o 2(n-l), jeżeli wykorzystamy warunki ciągłości

konstrukcji, zapisane dla ostatniego równania. Liczba stałych

całkowania ulega znacznej redukcji (do 2), jeżeli zastosujemy

metodę parametrów początkowych.

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Warunki brzegowe na lewym końcu pierwszego przęsła

(przemieszczenie y

1l

kąt obrotu przekroju 

1,l

moment zginający

M

1,l

siłę poprzeczną Q

1,l

) można wyrazić za pomocą tylko dwóch

parametrów początkowych przy podparciu przegubowym 

0

i Q

0

-

następująco:

1,

1,

0

1,

0

1,

[ ]

l

l

l

l

y

M

Q

Q

j

j

� �

� �

� �

� �= � �

� �

� �

� �

� �

H

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

gdzie macierz H ma postać:

Warunki brzegowe na prawym końcu pierwszego przęsła można

wyrazić za pomocą warunków brzegowych na lewym końcu,

korzystając z macierzy przeniesienia A

1

:

0 0
1 0

[ ]

0 0
0 1

�

�

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

�

H

1,

1,

0

1

1,

0

1,

[ ][ ]

p

p

p

p

y

y

M

Q

Q

j

�

�

�

�

� �

�

�=

� �

�

�

� �

�

�

�

�

�

�

A H

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

sin

cos

1 sin

1

cos

1

0

cos

sin

[ ]

sin

0

sin

cos

0

0

0

1

x

x

x x

k

N

k N

k

x

x

x

N

N

N

x

x

x

k

x

-

-

�

�

�

�

�

�

-

�

�

-

�

�

=�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

A

1

1

1

N

k

EJ

=

1 1

x kl

=

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Warunki brzegowe na lewej podporze przęsła drugiego można

wyrazić za pomocą dwóch parametrów początkowych, gdy

zastosuje się związki z warunków brzegowych na prawym

końcu pierwszego przęsła. Następnie należy powtarzać algorytm

przechodzenia z lewego końca do prawego w każdym

przęśle oraz przejścia przez podpory sprężyste.

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Na prawym końcu n-tego (ostatniego) przęsła warunki brzegowe

są następujące:

Warunki można zapisać za pomocą warunków brzegowych na

lewym końcu n-tego przęsła i macierzy końcowej K przy czym:

,

,

,

,

0 ;

0

n p

n p

n y n p

M

Q

C y

=

+

=

,

0

0 1 0

[ ]

0 0 1

n y

C

�

�

=�

�

�

�

K

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Po zapisaniu wszystkich warunków brzegowych za pomocą

parametrów początkowych y

0

i 

0

otrzymamy układ dwóch

równań jednorodnych ze względu na te dwie niewiadome.

Niezerowe rozwiązanie układu równań, istnieje wtedy, gdy

wyznacznik główny macierzy współczynników przy niewiadomych

jest równy zeru. Równanie wyznacznikowe ma postać:

1

1

2

2

1

1

det [ ][ ][ ][ ][ ]...[

][

][ ][ ][ ] 0

n

n

n

n

-

-

=

H A B A B

A

B

A B K

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Z rozwinięcia wyznacznika otrzymuje się równanie wiekowe, które

w tym przypadku jest równaniem przestępnym, gdyż niewiadoma

x występuje jako argument funkcji trygonometrycznych. Z

technicznego punktu widzenia interesuje nas najmniejszy

pierwiastek dodatni niewiadomej X, na podstawie którego

obliczamy

współczynniki

długości

wyboczeniowych

poszczególnych przęseł trzonu, korzystając ze wzorów:

,1

l

x

p

m =

,

l j

j

r x

p

m =

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Siłę krytyczną N

1,kr

dla przęsła pierwszego według wzorów:

Na tej podstawie oblicza się smukłość sprowadzoną pierwszego

przęsła trzonu:

1

1

1

N

k

EJ

=

1 1

x kl

=

2

1

1,

2

1

kr

x EJ

N

l

=

1,

1,15

RC

kr

N

N

l =

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Podczas rozwiązywania równania wyznacznikowego należy:

1. W macierzach [A

j

] (j = 2, 3, ..., n) niewiadome iloczyny k

j

l

j

należy wyrazić poprzez niewiadomą x = k

1

l

1

korzystając ze

wzorów:

1

1 1

1

1

N

x kl

l

EJ

=

=

j j

j

k l

r x

=

1

1

1

j

j

j

j

N

l

EJ

r

N

l

EJ

=

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

2. Podczas mnożenia dwóch kolejnych macierzy należy

zastosować inny sposób niż to jest przyjęte w algebrze liniowej.

Jeżeli wynikiem mnożenia macierzy [A] przez macierz [B] jest

macierz [C], to w celu otrzymania elementu c w i-tej kolumnie i j-

tym wierszu należy pomnożyć pierwszy element i-tej kolumny

macierzy [A] przez pierwszy element j-tego wiersza macierzy [B],

następnie należy dodać iloczyn drugiego elementu i-tej kolumny

macierzy [A] przez drugi element j-tego wiersza macierzy [B] itd.,

aż do wyczerpania wszystkich elementów i-tej kolumny macierzy

[A] i wszystkich elementów j-tego wiersza macierzy

[B].

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Praktyczne skorzystanie z opisanej metody przy większej liczbie

przęseł niż dwa wymaga opracowania odpowiedniego programu

komputerowego. Autorski program prof. Rykaluka o nazwie

MASZTY wykorzystuje niektóre segmenty pakietu „Mathematica„ i

jest pomocny w tego typu obliczeniach.

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Na utratę stateczności trzonu są narażone przede wszystkim

maszty trójkątne podczas działania wiatru z kierunku I („na

odciąg"). Następuje wtedy mocny spadek sztywności podpór w

kierunku prostopadłym do płaszczyzny działania wiatru wskutek

luzowa-

nia się dwóch odciągów zawietrznych.

Faktycznie więc bada się stateczność

ustroju płaskiego, po uprzednim

wyznaczeniu początkowych sztywności

podpór sprężystych C

t,y

.

STATECZNOŚĆ TRZONU

Metoda elementów skończonych

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Algorytm wyznaczania sztywności

2,

2,

2,

/

k

k

k

C

S

s

=D

D

Sztywność tą wyznacza się poszukując w stanie obciążenia

wiatrem masztu poziomych przemieszczeń trzonu v

y,j

w kierunku

osi y, od przyłożonych sił poziomych W

j

o takich wartościach, aby

przemieszczenie wynosiło około 0,001 h

j

, (h

j

jest odległością j-tej

podpory od przegubu centralnego).

Na podstawie obliczonego przemieszczenia v

yj

i obliczonych

zmian sił w linach ΔS

2,k

oblicza się wydłużenie (skrócenie)

ich cięciw Δs

2,k

oraz sztywności odciągów na kierunkach ich

cięciw.

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Następnie poszukuje się sztywność:

gdzie drugi wskaźnik oznacza numer odciągu drugiego

(zawietrznego).

,

2,1

2,2

0,75(

)

t y

C

C

C

=

+

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Dla płaskiego prętowego elementu skończonego ścisła macierz

sztywności przyjmuje postać:

2

[

]

2

2

2

4

j

j

EJ

l

a b a b

a

a b a b

a

a

a

ab

+

-

-

�

�

� ��

�

=

-

+

-

� ��

�

� ��

�

-

-

�

�

K

W macierzy wprowadzono następujące oznaczenia:

2

sin

cos

sin

j

j

j

j

j

n

n

a

n

n

n

-

=

-

j

j

tg

n

b

n

=

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Macierz uproszczoną zapisuje się w postaci:

gdzie: x - mnożnik sił podłużnych w przęsłach trzonu, dający

obciążenie krytyczne, przy którym nastąpi wyboczenie

,

,

[ ] [

]

[

]

j

e j

g j

x

=

+

K

K

K

Rozwiązanie równania jest możliwe tylko dla określonych wartości

parametru , które nazywamy wartościami własnymi, dla których

wyznacznik macierzy sztywności jest równy zero, czyli:

det[

] 0

e

g

x

+

=

K

K

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

2

2

,

3

2

2

12

6

12

6

6

(4

)

6

(2

)

1

[

]

12

6

12

6

1

6

(2

)

6

(4

)

j

j

j

j

j

j

j

j

e j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

l

l

l

l

l

l

EJ

l

l

l

l

l

l

l

k

k

k

k

k

-

�

�

�

�

+

-

� ��

�

=

� ��

�

-

-

-

+ � �

�

�

-

-

+

�

�

�

�

K

gdzie:

- współczynnik kształtu przekroju poprzecznego

g

1

- współczynnik podatności na ścinanie przekroju pręta

złożonego

1

2

12

j

EJ

l

g

k

�

�

=�

�

�

�

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

2

,

2

2

[

]

g

g

g

g

g

g

g

g

g j

g

g

g

g

j

g

g

g

g

a l

b l

a

b l

b l

c l

b l d l

N

a l

b l

a

b l

l

b l d l

b l c l

-

�

�

�

�

-

� ��

�

=� ��

�

-

-

-

� �

�

�

-

-

�

�

�

�

K

,

2

72 120(1

)

...,

60(1

)

j

j

g j

j

a

k k

k

+

+

=-

-

+

2

,

2

6 30

...,

60(1

)

j

g j

j

b

k

k

+

=-

-

+

,

2

8 (10 20 )

...,

60(1

)

j

j

g j

j

c

k k

k

+

+

=-

-

+

,

2

2 10 (1

)

...,

60(1

)

j

j

g j

j

d

k

k

k

+

-

=+

+

+

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Dzięki zapisowi macierzy uproszczonej możemy tak samo

analizować konstrukcję obciążoną poziomo w kierunku osi x, ale

przy różnych wartościach sił podłużnych w trzonie. W kierunku osi

y nie jest przyłożone żadne obciążenie poziome. Zależność

przyjmuje postać:

[

][ ] 0

e

g

y

x

+

=

K

K r

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Z rozwinięcia wyznacznika otrzymujemy równanie algebraiczne

ze względu na parametr . Najmniejsza dodatnia

wartość tego parametru umożliwia obliczenie obciążenia

krytycznego

N

j,kr

,

a

następnie

współczynnika

długości

wyboczeniowej każdego przęsła μ

j

oraz smukłości względnej trzonu

j

j

kr

j

EJ

l

N

p

m

� �

=

� �

� �

1,

1,15

RC

kr

N

N

l =

Obliczenia statyczne masztów – metoda dokładna

Współcześnie

maszty

oblicza

się

z

zastosowaniem

zaawansowanych programów komputerowych uwzględniających

nieliniowość geometryczną. Można tu wymienić takie programy

jak ROBOT, ABAQUS, LUSAS, COSMOS.

Literatura

[1] Kazimierz Rykaluk, Konstrukcje stalowe. Kominy, wieże, maszty., 2005
Wrocław

Dziękujemy za uwagę