Opis matematyczny

elementów i układów

liniowych

Równania różniczkowe,

transmitancja operatorowa i

widmowa, równania stanu,

charakterystyki częstotliwościowe

Opis matematyczny ciągłego elementu lub układu automatyki o
jednym wejściu i jednym wyjściu składa się w ogólnym
przypadku z dwóch części:
1. Równania

lub

wykresu

charakterystyki

statycznej,

określającego zależność wyjścia od wejścia w stanach
ustalonych,

2. Równania różniczkowego lub operatorowego, opisującego

własności statyczne i dynamiczne w otoczeniu wybranego na
charakterystyce statycznej punktu pracy.

Własności ciągłego elementu lub układu liniowego o

parametrach stałych (stacjonarnego) można opisać za pomocą
równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach,
którego postać ogólna jest następująca:

przy czym n≥m dla wszystkich elementów i układów
rzeczywistych. W równaniu tym przyjęto oznaczenia: y –
wielkość wyjściowa, x – wielkość wejściowa, t – czas, a

k

, b

l

–

współczyniki stałe (k=0, 1, ..., n; l=0, 1, ..., m).

x

b

dt

x

d

b

dt

x

d

b

y

a

dt

y

d

a

dt

y

d

a

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

0

1

1

1

...

...



























Z poprzedniego równania wynika charakterystyka
statyczna (w stanie ustalonym wszystkie pochodne są
równe zeru)

przy czym dla elementów linearyzowanych jest to
równanie stycznej linearyzującej.

Własności dynamiczne określa się zwykle na podstawie
przebiegów

y(t)

następujących

po

wprowadzeniu

określonego sygnału wejściowego x(t).

x

a

b

y

0

0



Transmitancja operatorowa i macierz

transmitancji

Transmitancję operatorową G(s) elementu lub układu
nazywamy stosunek transformaty wielkości wyjściowej
Y(s) do transformaty wielkości wejściowej X(s) przy
zerowych warunkach początkowych.

Transformując równanie różniczkowe opisujące własności
elementu lub układu liniowego (przedstawione wcześniej)
otrzymamy:

Ogólna zatem postać transmitancji operatorowej będzie
ilorazem dwóch wielomianów zmiennej zespolonej s

)

...

)(

(

)

...

)(

(

0

1

1

0

1

1

b

s

b

s

b

s

X

a

s

a

s

a

s

Y

m

m

m

m

n

n

n

n























)

(

)

(

)

(

s

X

s

Y

s

G



)

(

)

(

)

(

s

M

s

L

s

G



)

...

(

)

...

(

)

(

0

1

1

0

1

1

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m























przy czym n≥m.

Transmitancję tę zapisuje się często w postaci

gdzie:

0

1

1

0

1

1

...

)

(

...

)

(

a

s

a

s

a

s

M

b

s

b

s

b

s

L

n

n

n

n

m

m

m

m

























W przypadku elementów o wielu wejściach i wielu
wyjściach należy określić macierz transmitancji G(s)

)

(

)

(

)

(

gdzie

)

(

...

)

(

)

(

...

...

...

...

)

(

...

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

1

1

2

22

21

1

12

11

s

X

s

Y

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

i

i

ik

nm

n

n

m

m





























G

G(
s)

...

...

x

1

x

2

x

m

y

1

y

2

y

n

Odpowiedzi na wymuszenia w dziedzinie czasu

Na

podstawie

transmitancji

operatorowej

wyznacza

się

charakterystyki czasowe będące odpowiedzią układu na odpowiednie
wymuszenia. Do tych wymuszeń zaliczamy: impuls (deltę) Diraca,
skok jednostkowy, wymuszenie liniowe.
Pamiętając,

że

transmitancja

operatorowa

jest

stosunkiem

transformaty odpowiedzi do transformaty wymuszenia, znając
własności przekształcenia Laplace’a wyznaczamy odpowiednie
charakterystyki czasowe:
a) impulsową g(t) jako odpowiedź na impuls Diraca – X(s)=1
b) skokową h(t) jako odpowiedź na skok jednostkowy – X(s)=1/s
c) liniową jako odpowiedź na wymuszenie liniowe – X(s)=1/s

2

)]

(

)

(

[

)]

(

[

)

(

1

1

s

X

s

G

L

s

Y

L

t

y











Opis układów z wykorzystaniem równań

stanu

Stanem układu nazywa się najmniej liczny zbiór wielkości, który
należy określić w chwili t = t

0

, aby można było przewidzieć

jednoznacznie zachowanie się układu w każdej chwili t ≥ t

0

, dla

każdego sygnału wymuszającego należącego do danego zbioru
sygnałów wymuszających, przy założeniu, że wszystkie elementy
zbioru wymuszeń są znane dla t ≥ t

0

. Wielkości te są nazywane

zmiennymi lub współrzędnymi stanu. Wektor będący zbiorem n
zmiennych stanu nazywamy wektorem stanu.
Układ równań różniczkowych pierwszego rzędu, rozwiązanych
względem pierwszych pochodnych, nazywamy równaniem stanu.
Metoda analizy obwodu oparta na sformułowaniu, a następnie
rozwiązaniu układu równań różniczkowych pierwszego rzędu (równań
stanu) nazywamy metodą zmiennych stanu.
W teorii obwodów elektrycznych jako zmienne stanu najczęściej
przyjmuje się prądy i

1

,i

2

,... w cewkach i napięcia u

C1

,u

C2

... na

kondensatorach. Wybór zmiennych stanu nie jest jednak
jednoznaczny.
Liczba zmiennych stanu obwodu elektrycznego jest równa na ogół
liczbie elementów reaktancyjnych obwodu, tzn. liczbie cewek i
kondensatorów w obwodzie.
Dla obwodu zawierającego n zmiennych stanu można sformułować n
równań różniczkowych pierwszego rzędu lub jedno równanie
różniczkowe n-tego rzędu.

Oznaczmy:

• u(t) – wektor sygnałów sterujących (wymuszeń)

• y(t) – wektor sygnałów wyjściowych (odpowiedzi)

• x(t) – wektor współrzędnych (zmiennych) stanu

• A – macierz stanu

• B – macierz wejść

• C – macierz wyjść (odpowiedzi)

• D – macierz przejść (transmisyjna)

Równania stanu przyjmą postać:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

Du

t

Cx

t

y

t

Bu

t

Ax

t

x











Schemat blokowy układu opisanego równaniami stanu
przedstawia się następująco:

Jeżeli sygnały wejściowe nie oddziałują bezpośrednio na
wyjście, to macierz D jest macierzą zerową i połączenie z
wejścia na wyjście nie istnieje. W przypadku układów
jednowymiarowych wektory x(t), u(t) i y(t) stają się
sygnałami, macierze B i C stają się wektorami a macierz D
stałą wielkością.

Formułowanie równań stanu

Przystępując do analizy obwodu elektrycznego metodą zmiennych
stanu przede wszystkim wybieramy zmienne stanu, a następnie
formułujemy równania obwodu tak, aby miały one postać
znormalizowaną. Oznacza to, że po lewej stronie wystąpią tylko
pierwsze pochodne zmiennych stanu, a po prawej stronie same
zmienne oraz funkcje wymuszające. Współczynniki tych równań są
kombinacją parametrów obwodu.
W przypadku obwodów prostych, zawierających kilka elementów
reaktancyjnych (cewek i kondensatorów) oraz dla kilku wymuszeń
napięciowych i prądowych, stosujemy pierwsze i drugie prawo
Kirchhoffa dla wartości chwilowych. Metodę praw Kirchhoffa omówimy
na przykładzie obwodu pokazanego na rysunku poniżej.

Przyjmiemy, że stan początkowy obwodu jest zerowy i że w chwili t =
0 zamykamy jednocześnie łączniki W1 i W2. W obwodzie powstaje
stan nieustalony. Rozpatrywany obwód jest obwodem drugiego rzędu,
ma jedną cewkę i jeden kondensator.
Jako zmienne stanu wybieramy prąd i

1

w cewce o indukcyjności L i

napięcie u

c

na kondensatorze o pojemności C.

Oznaczamy

Zgodnie z prawami Kirchhoffa

Eliminujemy następnie te zmienne, które nie są zmiennymi stanu,
czyli prądy i

2

(t) oraz i

3

(t). Po uporządkowaniu otrzymamy

a po uwzględnieniu oznaczeń wstępnych

A w postaci macierzowej

Oznaczając:
pochodna wektora stanu wektor stanu wektor
wymuszeń











































)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

2

1

t

u

t

u

t

t

x

t

x

t

t

x

t

x

t

u

x

x







macierz układu macierz wymuszeń

Ostatecznie równanie przyjmie postać

Jest to równanie stanu. W przedstawiony sposób zawsze można
równania obwodu doprowadzić do postaci układu równań
różniczkowych i ująć jednym równaniem macierzowo-wektorowym. W
rozpatrywanym przykładzie nie wystąpiło równanie wyjścia, gdyż nie
poszukiwano innych wielkości poza zmiennymi stanu.

Transmitancja widmowa i charakterystyki

częstotliwościowe

Jeżeli na wejście elementu lub układu liniowego stabilnego
wprowadzone

zostaje

wymuszenie

sinusoidalne

o

stałej

częstotliwości, to na wyjściu, po zaniknięciu przebiegu przejściowego,
ustali się odpowiedź sinusoidalna o tej samej częstotliwości, ale w
ogólnym przypadku, o innej amplitudzie i fazie niż wymuszenie.
Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu
lub układu przy wszystkich częstotliwościach wymuszenia, podając
stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia oraz przesunięcie
fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem jako funkcje
częstotliwości.
Teoretyczną podstawę charakterystyk częstotliwościowych stanowi

transmitancja widmowa

, którą definiujemy następująco:

x

y

j

G

s

G

j

G

j

s







)

(

lub

)

(

)

(







gdzie jest wartością zespoloną składowej ustalonej odpowiedzi układu
wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym, a wartością zespoloną tego
wymuszenia.

y

x

y

xi

Podstawiając za parę odpowiadających sobie funkcji
harmonicznych zapisanych w postaci wykładniczej

otrzymamy

gdzie M()=A

2

()/A

1

() jest modułem charakterystyki

częstotliwościowej (stosunkiem amplitud odpowiedzi do
wymuszenia).
Wykres G(j) nazywa się charakterystyką amplitudowo – fazową lub
zespoloną

charakterystyką

częstotliwościową,

lub

wykresem

transmitancji widmowej lub hodografem.

)]

(

[

2

1

)

(

)

(



















t

j

t

j

e

A

y

e

A

x

)

(

1

)]

(

[

2

)

(

)

(

)

(

)

(





















j

t

j

t

j

e

M

e

A

e

A

j

G







Do

pozostałych

charakterystyk

częstotliwościowych,

oprócz

charakterystyki amplitudowo – fazowej zaliczamy:

- amplitudową charakterystykę częstotliwościową M(w) lub A(w)

- fazową charakterystykę częstotliwościową j(w)

- charakterystykę częstotliwościową części rzeczywistej transmitancji
widmowej P(w)

- charakterystykę częstotliwościową części urojonej transmitancji
widmowej Q(w)

Charakterystyki częstotliwościowe amplitudową i fazową
przedstawiane są zwykle we współrzędnych logarytmicznych i
nazywają się wówczas:

- L(w)=20 log A(w) – logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

- j(w) – logarytmiczna charakterystyka fazowa.

)

(

)

(

)

(

)]

(

[

)]

(

[

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2





















P

Q

arctg

Q

P

A

jQ

P

j

G











Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe

Dziękuję za

uwagę