TEORIA STEROWNIA

Zajęcia nr 9

Liniowe równania różniczkowe zwyczajne o stałych współczynnikach jako podstawowy model układu dynamicznego. Modele równoważne podstawowemu.

TRANSFORMATA LAPLACE'A

Przekształcenie Laplace'a jest operatorem przekształcającym sygnał x(t) na pewną funkcję zespoloną X(s) zgodnie ze wzorem:

Dziedzinę funkcji X(s) (L-transformaty) tworzą te wartości zmiennej zespolonej s, dla których całka we wzorze jest zbieżna.

Warunki zbieżności całki z transformatą Laplace'a

Istnieje zawsze funkcja, która majoryzuje czyli ogranicza wykładniczo funkcję f(t): istnieje takie M oraz d, że dla każdego t > 0 zachodzi zależność:

WŁASNOŚCI

Liniowość

Transformata pochodnej

gdzie oznacza granicę prawostronną funkcji f(t) w punkcie t =0

Pochodna transformaty

Transformata całki

Całka transformaty

Przesunięcie w dziedzinie transformaty

Transformata funkcji z przesunięciem

gdzie 1(t) oznacza skok jednostkowy.

Splot jednostronny - twierdzenie Borela o splocie

Transformata funkcji okresowej o okresie p

Własności graniczne

Transformaty Laplace'a częściej spotykanych funkcji

gdzie - stała Eulera

Transformata odwrotna Laplace'a

Transformatą odwrotną funkcji nazywamy taką funkcję , której transformatą jest F(s):

jeżeli

TRANSMITANCJA OPERATOROWA – stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego układu przy zerowych warunkach początkowych:

CHARAKTERYSTYKA CZASOWA –

w teorii sterowania podstawowe charakterystyki czasowe to:

CHARAKTERYSTYKA SKOKOWA - w teorii sterowania: jedna z charakterystyk czasowych, wraz z charakterystyką impulsową (inną charakterystyką czasową) oraz charakterystykami częstotliwościowymi stanowi podstawowy opis działania układu regulacji.

Charakterystyka skokowa to odpowiedź układu na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego przy zerowych warunkach początkowych. Dla wymuszenia w postaci skoku jednostkowego:

o transformacie Laplace'a : otrzymujemy:

gdzie to transmitancja sygnału na wyjściu z obiektu opisanego transmitacją , a stąd:

gdzie oznacza charakterystykę skokową.

Charakterystyka skokowa przedstawia przebieg sygnału wyjściowego układu w stanie nieustalonym.

CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA - (odpowiedź impulsowa, funkcja odpowiedzi impulsowej ) - w teorii sterowania: jedna z charakterystyk czasowych, wraz z charakterystyką skokową stanowi podstawowy opis działania układu.

Charakterystyka impulsowa to odpowiedź układu liniowego na wymuszenie w postaci bardzo wąskiego i bardzo wysokiego impulsu o powierzchni jednostkowej, który można uznać, w przypadku układów ciągłych, za przybliżenie delty Diraca - przy zerowych warunkach początkowych (w przypadku układów dyskretnych impulsem tym jest impuls Kroneckera).

Po podaniu impulsu otrzymujemy:

(gdzie jest transmitancją sygnału na wyjściu z obiektu opisanego transmitacją ) oraz:

(gdzie oznacza charakterystykę impulsową a odwrotną transformatę Laplace'a)

Znajomość odpowiedzi impulsowej pozwala nam przewidzieć odpowiedź układu na każde inne pobudzenie. Odpowiedź układu na dowolne pobudzenie jest bowiem splotem sygnału pobudzającego oraz odpowiedzi impulsowej układu (zob. też macierz przejścia)

Analiza funkcji odpowiedzi impulsowej pozwala na określenie cech układu, w szczególności na określenie czy mamy do czynienia z układem o skończonej, czy nieskończonej odpowiedzi impulsowej.

Dla układu opisanego równaniami stanu, w których a równanie wyjścia dane jest następująco: odpowiedź na wymuszenie dane jest wzorem:

Uogólnieniem odpowiedzi impulsowej na układy wielowymiarowe jest macierz odpowiedzi impulsowych. Dla układu wielowymiarowego opisanego równaniami stanu, w których a równanie wyjścia dane jest następująco: wymusznie dane jest wzorem:

gdzie macierz odpowiedzi impulsowych:

Powyższy wzór na odpowiedź wymuszoną układu wielowymiarowego stanowi uogólnienie całki splotowej i może też być zapisany:

Macierz odpowiedzi impulsowych (ani odpowiedź impulsowa) nie zależy od wyboru stanu układu. Nie ulega ona więc zmianie przy przekształceniach tego stanu.

Charakterystyki czasowe zaliczają się one do charakterystyk dynamicznych.

Charakterystyki czasowe podobnie jak charakterystyki częstotliwościowe można określać doświadczalnie (w przybliżeniu) a zatem mogą stanowić podstawę do identyfikacji układu. Wyznaczają one jednoznaczny opis typu wejście-wyjście.

Istotny jest związek obu charakterystyk (oraz ich powiązanie z transmitancją operatorową). Jeśli jest charakterystyką skokową a charakterystyką impulsową to są one powiązane równaniami:

ZADANIA:

1. Rozwiąż jednorodne równanie różniczkowe liniowe:

y¨(t) + 5y˙(t) + 6y(t) = 0

z warunkami początkowymi: y(0+) = a oraz y˙(0+) = b.

1. Rozwiąż równanie całkowo-różniczkowe

2. Rozwiąż niejednorodne równanie różniczkowe

zakładając wymuszenie u(t) w postaci jednostkowej funkcji skokowej oraz warunki początkowe:

1. Znależć wartość początkowej pochodnej sygnału f(t), gdy dana jest jego transformata Laplace'a

2. Posługując się metodą transformacji Laplace'a, rozwiąż jednorodne równanie różniczkowe y¨(t) + 3y˙(t) + 2y(t) = 0; y(0+) = a; y˙(0+) = b:

Odpowiedź:

1. Stosując metodę transformacji Laplace'a, znajdź rozwiązanie niejednorodnego równania różniczkowego y¨(t) + 2y˙(t) + 5y(t) = 3 ¢ 1(t); y(0+) = 0; y˙(0+) = 0:

Odpowiedź:

1. Model obiektu dany jest równaniem różniczkowym y¨(t) + 4y˙(t) + 3y(t) = u(t)

przy czym wszystkie warunki początkowe są zerowe. Zakładając sygnał wejściowy u(t) = 2 cos 3t, t >=0, wyznacz sygnał y(t).

Odpowiedź:

1. Rozwiąż układ równań różniczkowych:

Odpowiedź:

1. Oblicz odpowiedź impulsową oraz skokową układu o transmitancji operatorowej

2. Oblicz oryginał transformaty :$\ F\left( s \right) = \frac{1}{s(1 + Ts)}$ korzystając:

a) z metody rozkładu na ułamki proste,

b) ze wzorów Haeviside'a,

c) z twierdzenia Borela,

d) z twierdzenia o transformacie całki oryginału.

1. Znajdź odpowiedź impulsową oraz skokową modelu danego transmitancją operatorową:

2. Określić odpowiedź impulsową układu o transmitancji operatorowej:

3. Dla modelu danego transmitancją operatorową:

4. Oblicz odpowiedź impulsową układu opisanego daną transmitancją:

Odpowiedzi impulsowe:

1. Wyznacz odpowiedź impulsową oraz skokową obiektu modelowanego daną transmitancją operatorową: