Transformata Laplace'a
Transformatą Laplace'a funkcji
…………………………..
nazywamy następującą funkcję
…………………………….
gdzie :
często zapisywaną, zwłaszcza w środowisku inżynierskim,
w następującej formie:
Niech X oznacza przestrzeń funkcji, dla których powyższa
całka (zwana całką Laplace'a) jest zbieżna.
Funkcję nazywamy transformacją
Laplace'a
Transformata Laplace'a
Należy zwrócić uwagę na rozróżnienie pomiędzy pojęciem
transformaty, a transformacji Laplace'a. Zgodnie z
powyższą definicją transformacja Laplace'a jest
przekształceniem zbioru funkcji, dla których całka
Laplace'a jest zbieżna w zbiór funkcji zespolonych
zmiennej zespolonej. Natomiast transformata Laplace'a
jest jedynie obrazem pewnej funkcji f(t) przez
transformację Laplace'a.
Transformata Laplace'a posiada kilka własności, które
czynią ją szczególnie użyteczną w analizie liniowych
układów dynamicznych.
Warunki zbieżności całki z transformatą Laplace'a
Istnieje zawsze funkcja, która majoryzuje czyli ogranicza
wykładniczo funkcję f(t): dla każdego t > 0 istnieje takie M oraz
d, dla którego zachodzi zależność: |f(t)| < Me
dt
Własności
Liniowość
Transformata pochodnej
gdzie f'(0
+
)
oznacza granicę prawostronną funkcji f(t) w punkcie t=0
Pochodna transformaty
Transformata całki
Całka transformaty
Przesunięcie w dziedzinie transformaty
Transformata funkcji z przesunięciem
gdzie 1(t) oznacza skok jednostkowy
Splot
Jest to tzw. Twierdzenie Borela o splocie.
Transformacja funkcji okresowej o okresie p
Własności graniczne
Transformata odwrotna Laplace'a
Transformatą odwrotną
funkcji
……………………
nazywamy taką funkcję ,
która jest
jej transformatą Laplace'a:
jeżeli
Transformaty Laplace'a częściej
spotykanych funkcji
gdzie γ - stała Eulera
ZADANIE
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
f(t)=tsin(t), =const.
• Z definicji transformaty Laplace’a otrzymujemy:
• F(s)= [f(t)]=
L
[tsin(t)]
Oznaczając:
F(s) =
L
[tsin(t)] = /(s
2
+
2
)
Z twierdzenia o różniczkowaniu
dla n=1 i f1(t)= sin(t) otrzymujemy:
L
[(-1
1
)sin(t)] = (d
(1)/
ds)F
1
(s) = (d/ds)(/s
2
+
2
) =
2s/( s
2
+
2
)
2
A wtedy:
F(s)=
L
[f(t)]=
L
[t
2
] +
L
[sin(t)]
•
Transformaty cząstkowe:
•
L
[t
2
] = n!/s
n+1
= 2/s
3
•
L
[sin(t)] = /( s
2
+
2
)
Czyli poszukiwana transformata:
F(s)= 2/s
3
+ /( s
2
+
2
)
Odpowiedź:
F(s)=
L
[tsin(t)] = 2/s
3
+ /
( s
2
+
2
)