2 '( ) 10 ( )
37 cos 3
9 t
y t
y t
y t
t
e−
+
+
=
+
z warunkami początkowymi y0=1,
y0’=0.
y ' ( t) + 2 ay '( t) + by( t) = f ( t) , y(+0)=y0, y’(+0)=y’0.
( 2 p +2 ap+ b) Y( p)−2 ay − py + y' = F( p) 0
( 0
0 )
Rozwiązując ze względu na Y(p), otrzymujemy F ( p) + (2 a + p) y + y '
0
0
Y ( p) =
2
p + 2 ap + b
Równanie przetransferowane przyjmuje postać: p + 2
37 p
9
Y ( p) =
+
+
2
p + 2 p +10
( 2 p +9)( 2 p +2 p+10) ( p+ )1( 2 p +2 p+10)
−
p
t
37
9
f ( t) = 37 cos 3 t + 9 e ⇒ F ( p) = (
+
2
p + 9) ( p + )
1
ponieważ:
37 p
37 p
37 p
37 cos 3 t = 37 cosα t ≡
=
=
2
2
2
2
2
p + α
p + 3
p + 9
n 1
t −
− t
α t
1
9
9 e
= 9
e
≡ n =1∴α = −1∴9⋅
=
( n −1)!
( p −α ) n ( p + )1
Drugi i trzeci wyraz sumy rozkładamy na rzeczywiste ułamki proste. Otrzymujemy: p
Ap + B
Cp + D
( Ap + B)( 2 p + 2 p +10)+( Cp+ D)( 2 p +9
37
)
(
=
+
=
=
2
p + 9)( 2
p + 2 p +10)
2
2
p + 9
p + 2 p +10
( 2 p +9)( 2 p +2 p+10) 3
2
2
3
2
Ap + 2 Ap +10 Ap + Bp + 2 Bp +10 B + Cp + 9 Cp + Dp + 9 D
=
(
=
2
p + 9)( 2
p + 2 p +10)
3
p ( A + C )
2
+ p (2 A+ B + D) + p(10 A+ 2 B + 9 C) + (10 B + 9 D)
=
(
2
p + 9)( 2
p + 2 p +10)
A + C = 0
B + D + 2 A = 0
10 A
+ 2 B + 9 C = 37
1
0 B + 9 D = 0
Rozwiązując ten układ równań za pomocą macierzy otrzymujemy: A=1, B=18, C=-1, D=-20.
37 p
p
18
p
20
(
=
+
−
−
2
p + 9)( 2
p + 2 p +10) ( 2
p + 9) ( 2
p + 9) ( 2
p + 2 p +10) ( 2
p + 2 p +10)
A
+
( 2 p +2 p+10)+( Bp+ C)( p A
Bp C
+ )
1
9
(
=
+
=
=
p + )
1 ( 2
p + 2 p +10) ( p + ) 1
( 2 p +2 p+10)
( p + )1( 2 p +2 p+10) 2
2
2
Ap + 2 Ap +10 A + Bp + Bp + Cp + C
p ( A + B) + p (2 A + B + C ) + (10 A + C ) (
=
p + )
1 ( 2
p + 2 p +10)
( p + )1( 2 p +2 p +10)
A + B = 0
2 A+ B + C = 0
1
0 A + C = 9
1
Rozwiązując ten układ równań za pomocą macierzy otrzymujemy: A=1, B=-1, C=-1.
9
1
p
1
(
=
−
−
p + )
1 ( 2
p + 2 p +10) ( p + ) 1
( 2 p +2 p+10) ( 2 p +2 p+10) Łącząc otrzymane wyniki można zapisać:
p + 2
p +18
− p − 20
1
− p −1
Y ( p) =
+
+
+
+
=
2
2
2
2
p + 2 p +10
p + 9
p + 2 p +10
p +1
p + 2 p +10
− p
19
p
18
1
=
−
+
+
+
2
2
2
2
p + 2 p +10
p + 2 p +10
p + 9
p + 9
p +1
Rozwiązanie otrzymamy poprzez transformację wyraz po wyrazie. W tym celu posłużymy się tabelami transformat Laplace’a.
− p
− p
α
2
2
2
2
=
≡ −cos β −α t −
sin
−α t
β −α t ⋅ e =
2
2
2
2
2
p
2 p 10
p
2α p β
β α
+
+
+
+
−
1
−
t
1
− t
1
= −cos 10 −1 −
sin 10 −1 ⋅
= −cos3 − sin 3 ⋅
= −cos3 + sin 3
− t
t
e
t
t
e
t
t e
10 −1
3
3
1
− 9
1
− 9
−α t
− t
e
e
2
2
=
≡ 1
− 9
sin β −α t = −19
sin 10 −1 t =
2
2
2
2
2
p
2 p 10
p
2α p β
β −α
+
+
+
+
10 −1
1
= −19
− t
⋅ e ⋅sin 3 t
3
p
p
=
≡ cosα t = cos3 t
2
2
2
p + 9
p + α
18
α
18
=18
≡
sin α t = 6 ⋅sin 3 t
2
2
2
p + 9
p + α
α
n 1
−
0
1
1
t
α
t
t
− t
− t
=
≡ α = − ∴ = ∴
=
=
+
( p −α)
1
n
1
e
e
e
p 1
n
( n − )1!
0!
1
− t 19
( ) = − cos 3 + sin 3
−
sin 3
− t
⋅
+ cos3 + 6sin 3
− t
Y p
t
t e
t e
t
t + e =
3
3
1 19
= −cos3 + − sin 3 − t
+ cos3 + 6sin 3
− t
t
t e
t
t + e =
3
3
= (−cos3 − 6sin3 ) − t + cos3 + 6sin 3
− t
t
t e
t
t + e Jest to rozwiązanie równania różniczkowego.
A teraz rozwiążemy to równanie różniczkowe metodą tradycyjną:
' ( )
2 '( ) 10 ( )
37 cos 3
9 t
y t
y t
y t
t
e−
+
+
=
+
Rozwiązujemy równanie jednorodne:
y ' ( t) + 2 y '( t) +10 y( t) = 0 Równanie charakterystyczna ma następującą postać: 2
r + 2 r +10 = 0
2
∆ = 2 − 4⋅10 = −36
2
− − i 36
r =
= 1
− − 3 i
1
2
−2 + i 36
r =
= −1+ 3 i Rozwiązanie ogólne jest postaci: 2
2
− t
y = e ( C cos3 t + C sin 3 t , ponieważ mamy warunki początkowe to wyznaczmy stałe, 1
2
)
y0=1, y’0=0, x=0. Trzeba policzyć pochodną y.
2
− t
= − ( cos3 + sin3
− t
y
e
C
t
C
t + e
3 C (− sin 3 t) + 3 C cos 3 t 1
2
)
( 1
2
)
Tworzymy układ równań:
0
1
= e− ( C cos3⋅0 + C sin3⋅0
1
2
)
0
0
= − e− ( C cos 3⋅ 0 + C sin 3⋅ 0) 0
+ e− −3 C sin 3⋅0 + 3 C cos3⋅0
1
2
( 1
2
)
1
= C 1
0 = C
− + 3 C
1
2
C
=1
1
1 Nasze rozwiązanie ogólne ma postać:
C
=
2
3
−
t
1
y = e cos 3 t + sin 3 t
3
Nasze równanie ogólne po przekształceniach ma postać:
− t
=
( cos3 + sin3
− t
=
cos 3
− t
y
e
C
t
C
t
C e
t + C e sin 3 t
1
2
) 1
2
_
=
Ogólnie, jeżeli całkami szczególnymi równania jednorodnego są y( x) i y( x) , to muszą zachodzić związki
_
=
A'( x) y( x) + B '( x) y( x) = 0
_
=
f ( x)
A'( x) '
y ( x) + B '( x) '
y ( x) =
a
KONIEC
3