Dr inż. JANUSZ LICHOTA
PODSTAWY AUTOMATYKI
Opis transmitancyjny obiektu
Algebra bloków
Wydział Mechaniczno-
Energetyczny
Dr inż. JANUSZ LICHOTA
PODSTAWY AUTOMATYKI
Opis transmitancyjny obiektu
Algebra bloków
Wydział Mechaniczno-
Energetyczny
PLAN WYSTĄPIENIA
• Definicja transformaty Laplace’a
– Własności
– Dowody twierdzeń
– Przykłady
• Transmitancja obiektu
– Przykłady
• Algebra bloków
– Typowe połączenia
– Zagadki dla starych i młodych
Definicja transformaty
Laplace’a
[
]
0
( )
( )
( )
st
L f t
F s
f t e dt
�
-
=
=
�
C – zbiór liczb zespolonych,
s – liczba zespolona,
t – czas.
Całka jest zbieżna wtedy, gdy istnieją takie skończone liczby K
oraz , że
,
,
Niech będzie dana funkcja
, przy czym f(t)=0 dla t
< 0. Wówczas transformatą Laplace’a jest nazywane
przekształcenie
,
:
f
�
� �
s��
( )
t
f t
Ke
g
�
t��
Re( )
s
s
g
= >
Oryginał funkcji czasu f(t) może być obliczony z następującej formuły
1
( )
( )
2
c j
st
c j
f t
F s e ds
j
p
+ �
- �
=
�
Definicja transformaty
Laplace’a
j-liczba urojona,
c-stała
Pierre-Simon markiz de Laplace
23 III 1749 – 5 III 1827
Portret sporządzony już po transformacie.
Definicja transformaty
Laplace’a
Własności
Liniowość
Skalowanie
Przesunięcie w dziedzinie czasu
T
t
0 (przesunięcie w prawo)
T
t
0 (przesunięcie w lewo)
Tłumienie
L
A f t
AL f t
i
i
n
i
i
n
( )
[ ( )]
1
1
[
]
[
]
[
]
( )
( )
( )
( )
L
f t
f t
L f t
L f t
a
b
a
b
+
=
+
[
]
[
]
1
( )
( )
L f at
L f t
a
=
[
]
[
]
(
)
( )
t
sT
t
L f t T
e L f t
-
-
=
[
]
0
(
)
( )
( )
t
t
T
sT
s
t
L f t T
e
F s
f
e d
t
t
t
-
-
-
�
�
-
=
-
�
�
�
�
�
�
�
[
]
( )
(
)
(
)
s
L e f t
L f s a
F s a
t
�
�=
-
=
-
�
�
Różniczkowanie
Całkowanie
Splot funkcji (twierdzenie Borela)
Wartości graniczne
( )
(0)
L f
sF s
f
�
� �=
-
� �
� �
1
2
1
1
2
( )
(0)
(0)
...
(0)
( )
n
n
n
n
n
n
n
n
d f t
d f
d
f
L
s
s f
s F s
dt
dt
dt
-
-
-
-
-
�
�
=-
-
- -
+
�
�
�
�
2
0
( )
(0) ( )
t
L f
s F s sf
��
�
=
� �=
-
-
� �
� �
0
1
( )
( )
t
L
f t dt
F s
s
�
�
=
�
�
�
�
�
1
2
1
2
1
2
0
0
( )* ( )
(
) ( )
( ) (
)
t
t
f t
f t
f t
f
d
f
t
d
t
t t
t
t t
=
-
=
-
�
�
[
]
1
2
1
2
( )* ( )
( ) ( )
L f t
f t
F s F s
=
0
lim ( ) lim ( )
t
s
f t
sF s
�+�
�
=
0
lim ( ) lim ( )
t
s
f t
sF s
� +
��
=
Własności
Dowody twierdzeń
Liniowość
Z liniowości transformaty Laplace’a wynika, że nie może być ona zastosowana
do obiektów nieliniowych
(
)
1
2
0
1
2
0
0
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
st
st
st
f t
f t e dt
f t e dt
f t e dt
F s
F s
a
b
a
b
a
b
�
-
�
�
-
-
+
=
+
=
+
�
�
�
Dowody twierdzeń
Skalowanie
Po podstawieniu =at otrzymano
Dowody twierdzeń
Przesunięcie w dziedzinie czasu
=0 dla T
t
>0, bo f(t)=0 dla t<=0
Po podstawieniu =t-T
t
otrzymano
Dowody twierdzeń
Tłumienie
Po podstawieniu p=s-a otrzymano
0
( )
( )
(
)
pt
e f t dt F p
F s a
�
-
=
=
-
�
Dowody twierdzeń
Różniczkowanie
Całkując przez części otrzymano
1
2
1
1
2
( )
(0)
(0)
...
(0)
( )
n
n
n
n
n
n
n
n
d f t
d f
d
f
L
s
s f
s F s
dt
dt
dt
-
-
-
-
-
�
�
=-
-
- -
+
�
�
�
�
Kontynuując całkując wyprowadzany jest wzór ogólny
f
g
g
f
fg
'
'
'
g
f
fg
f
g
'
'
'
Dowody twierdzeń
Całkowanie
Całkując przez części otrzymano
O ile całka istnieje
Dowody twierdzeń
Splot funkcji
Po podstawieniu =t- otrzymano
Dowody twierdzeń
Wartości graniczne
Twierdzenie o wartości początkowej
Jeżeli F(s) = L[f(t)] oraz istnieje granica
, to
0
lim ( )
(0 )
t
f t
f
� +
=
+
Jeżeli f(t) ma granicę niewłaściwą,
to uogólnienie
Czynnik e
-s
„ściąga” całkę do zera
Twierdzenie o wartości końcowej.
Jeżeli F(s) = L[f(t)] oraz istnieje
granica
Dowody twierdzeń
Wartości graniczne
lim ( )
(
)
t
f t
f
�+�
= +�
Laplace est aussi connu pour sa conception d'un démon (ou
) capable de
connaître, à un instant donné, tous les paramètres de toutes les particules de l'univers. Dans
cette perspective, l'auteur adopte une position
, soit une position philosophique et
scientifique capable d'inférer de ce qui est, ce qui doit être. Ce concept de démon sera
notamment remis en cause par le
d'
.
Laplace strongly believed in
, which is expressed in the following quote from the
introduction to the Essai:
"We may regard the present state of the universe as the effect of its past and the cause of its future. An
intellect which at a certain moment would know all forces that set nature in motion, and all positions of all
items of which nature is composed, if this intellect were also vast enough to submit these data to
analysis, it would embrace in a single formula the movements of the greatest bodies of the universe and
those of the tiniest atom; for such an intellect nothing would be uncertain and the future just like the past
would be present before its eyes."
Laplacescher Dämon bezeichnet die erkenntnis- und wissenschaftstheoretische Auffassung, dergemäß
es möglich sei, unter der Kenntnis sämtlicher
und aller Initialbedingungen jeden
vergangenen und jeden zukünftigen Zustand zu berechnen. Der metaphysische Unterbau dieser Haltung
ist der
: für
ist die Welt durch Anfangsbedingungen und
Bewegungsgesetze vollständig determiniert, so dass die Aufgabe der
, die in der
ihr Vorbild besitzt, ausschließlich in der Integration von Differentialgleichungen
besteht. Das wäre die Aufgabe des Dämons, den Laplace im Vorwort des Essai philosophique sur les
probabilités von 1814 entwirft; er spricht dort jedoch weniger effektheischend von einer Intelligenz (une
intelligence).
В философии Лаплас был приверженцем
. Он постулировал, что если бы какое-
нибудь разумное существо смогло узнать положения и скорости всех частиц в мире в некий
момент, оно могло бы абсолютно точно предсказать эволюцию Вселенной. Такое гипотетическое
существо впоследствии названо
демоном Лапласа
.
Chwila oddechu. Coś bardziej
zrozumiałego.
Tablica transformat
Tablica transformat
Laplace, Louisiana
From Wikipedia, the free encyclopedia
Jump to: navigation, search
La Place (sometimes spelled LaPlace or Laplace) is a census-designated place located in St. John the
Baptist Parish, Louisiana, on the East Bank of the Mississippi River. As of the 2000 census, the CDP had a
total population of 27,684.
It is the southern terminus of Interstate 55 highway, where it joins with Interstate 10. La Place is located
25 miles west of New Orleans.
Proszę nie
pomylić
transformaty
Laplace’a z
miasteczkiem
LaPlace (franc.
miejsce) pod
Nowym
Orleanem.
Tablica transformat
F s
ke dt k
e
s
k
s
st
st
( )
0
0
Znaleźć transformatę skoku o amplitudzie k (funkcji
Heaviside’a)
f(t) = k dla t >0
Rozwiązanie
Tablica transformat
Przykład 1
Impuls Diraca, pseudofunkcja
( )
,
( )
,
( )
t
t
t
t
t dt
0
0
0
1
L t
[ ( )]
1
Transformata Laplace’a impulsu Diraca
t
t
Model geometryczny:
trójkąty o polu 1 i
wierzchołku
Oczywiście
1
1 s
s
=
Stąd związek pomiędzy funkcją Heaviside’a i
impulsem Diraca
[ ]
1
1
1
1( )
1
( )
d t
L
L s
t
s
dt
d
-
-
� �
=
=
=
� �
� �
Tablica transformat
Przykład 2
Wyprowadzenie
Tablica transformat
Przykład 3
1
t
e
s
a
a
�
�
m
0
0
(
)
0
(
)
0
( )
( )
1
1
st
t
st
s
t
s
t
F s
f t e dt
e e dt
e
dt
e
s
s
a
a
a
a
a
�
-
�
-
�
- -
�
- -
=
=
=
�
�
=-
�
�
-
=
-
�
�
�
Transformata
Znaleźć transformatę równania
( )
( )
y t
ku t
=
Rozwiązanie
( )
( )
Y s
kU s
=
Transformata Laplace’a zamienia funkcję czasu f(t) w funkcję
zmiennej zespolonej F(s), dlatego
Obiekt dynamiczny
u(t)
y(t)
k - stała
Tablica transformat
Przykład 4
.
T y y ku
+ =
Transformata pochodnej wynosi
Znaleźć transformatę Laplace’a równania
różniczkowego
Rozwiązanie
1
2
1
1
2
( )
(0)
(0)
( )
...
(0)
n
n
n
n
n
n
n
n
d f t
d f
d
f
L
s F s
s
s f
dt
dt
dt
-
-
-
-
-
�
�
=
-
-
- -
�
�
�
�
Stąd
[
]
( )
(0)
( )
( )
TsY s
y
Y s
kU s
-
+
=
Jeżeli warunek początkowy y(0) = 0, to
(
)
( )
( )
( )
( )
1
( )
TsY s Y s
kU s
Y s Ts
kU s
+
=
+ =
Obiekt dynamiczny
u(t)
y(t)
Tablica transformat
Przykład 5
Znaleźć transformatę Laplace’a równania
różniczkowego
Rozwiązanie
..
.
1
2
T y T y y ku
+
+ =
2
1
1
2
1
( )
(0)
(0)
( )
(0) ....
n
n
n
n
n
n
n
n
d f t
d
f
d f
L
s F s s f
s
dt
dt
dt
-
-
-
-
-
�
�
=
-
-
-
-
�
�
�
�
Transformata pochodnej wynosi
[
]
2
2
1
(0)
( )
(0)
( )
(0)
( )
( )
dy
T s Y s sy
TsY s
y
Y s
kU s
dt
�
�
-
-
+
-
+
=
�
�
�
�
Stąd
Obiekt dynamiczny
u(t)
y(t)
W przypadku zerowych warunków początkowych
2
2
1
( )
1
( )
Y s T s
Ts
kU s
�
�
+
+ =
�
�
Tablica transformat
Przykład 6
.
.
T y y ku u
+ = +
Znaleźć transformatę Laplace’a liniowego równania
różniczkowego
Rozwiązanie
Obiekt dynamiczny
u(t)
y(t)
[
]
[
]
( )
(0)
( )
( )
(0)
( )
TsY s
y
Y s
ksU s u
U s
-
+
=
-
+
W przypadku zerowych warunków początkowych równania
różniczkowego y(0)=0, u(0)=0 otrzymujemy
( )
( )
( )
( )
TsY s Y s
ksU s U s
+
=
+
[
]
[
]
( )
1
( )
1
Y s Ts
U s ks
+ =
+
Tablica transformat
Przykład 7
Znaleźć transformatę odwrotną wyrażenia
F s
s
s
s
( )
1
1
20
1
3
2
2
3
F s
s
A
s
B
s
C
s
D
s
E
s
( )
1
1
20
1
1
3
3
3
2
2
3
2
s
F s
s
s
A
s
B
s
C
s
D
s
E
s
1
1
1
1
20
1
1
3
3
3
2
2
2
2
3
2
( )
lim
( )
s
s
F s
A
s
B
s
C
s
D
s
E
s
1
2
2
3
2
1
1 20
1
1
3
3
3
lim
lim
s
s
s
s
s
s
s
A
1
2
2
2
3
1
3
1
1
1
20
1
3
1
20
3
1 20
1
20
8
1 20
A
A
B
C
D
E
1
8
3
16
1
4
1
4
3
16
f t
t e
t
t e
t
t
( )
.
.
.
.
375 15
375 5 25
2
3
Rozwiązanie.
Rozkład na ułamki proste
Wyznaczymy A, dlatego
Po wyzerowaniu prawej strony
otrzymywane jest A
Z tablicy transformat wynika, że
Tablica transformat
Przykład 8
Przebieg funkcji f(t) w
czasie
Schemat w Simulinku
Różniczkowanie s
realizuje odpowiedź
obiektu na impuls
Diraca
s /s = 1
Wprowadzono skok 1/s, ze
względu na brak impulsu Diraca
w programie
F(s)
u(t)=(t)
f(t)
F s
s
s
s
( )
1
1
20
1
3
2
2
3
f t
t e
t
t e
t
t
( )
.
.
.
.
375 15
375 5 25
2
3
Tablica transformat
Przykład 8
Transmitancja obiektu
Transmitancja obiektu
Przekształcając dalej transformatę np. równania
różniczkowego (przykład 5)
.
T y y ku
+ =
(
)
( )
1
( )
Y s Ts
kU s
+ =
znajdujemy ciekawą zależność opisującą stosunek
transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału
wejściowego danego obiektu
(
)
( )/ ( )
/
1
Y s U s
k Ts
=
+
Po lewej stronie zależności znajdują się transformaty
sygnałów, po prawej iloraz wielomianów.
Transmitancja obiektu
Def. Transmitancja operatorowa G(s) (funkcja przejścia,
przepustowość) to
stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty
sygnału wejściowego przy zerowych warunkach
początkowych równania różniczkowego
( )
( )
( )
Y s
G s
U s
=
Obiekt dynamiczny
u(t)
y(t)
G(s)
u(t)
y(t)
Transmitancja operatorowa, podobnie jak transformata Laplace’a, nie może być
zastosowana do obiektów nieliniowych.
Transmitancja obiektu
( )
( )
( )
Y s
G s
U s
=
Jeżeli jest znana transmitancja operatorowa obiektu
oraz sygnał sterujący U(s), to można wyznaczyć sygnał wyjściowy z obiektu
( )
( ) ( )
Y s
G s U s
=
A korzystając z twierdzenia Borela można wyznaczyć przebieg sygnału
wyjściowego y(t) z obiektu
( )
( )* ( )
y t
g t u t
=
Innym sposobem jest odczytanie oryginału z tablicy transformat.
1
0
1 ( )
( ),
m
n
i i
i
i
i
i
i
T s
Y s
ks U s n m
=
=
�
�
�
�
+
=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
M s
T s
i
i i
i
m
( )
1
1
L s
ks
i
i
i
n
( )
0
( )
( )
( )
( )
( )
Y s
L s
G s
U s
M s
=
=
Transmitancja obiektu
Transformata Laplace’a liniowego równania różniczkowego ma postać
Obiekty realizowalne fizycznie spełniają warunek n<=m. Przyjmując oznaczenia
dla wielomianów
Otrzymywana jest transmitancja obiektu jako iloraz dwóch wielomianów
Transmitancja obiektu
Równaniem charakterystycznym nazywany jest mianownik transmitancji
Operatorowej M(s)
( )
( )
( )
( )
( )
Y s
L s
G s
U s
M s
=
=
Transmitancja obiektu
Przykład 1
Znaleźć przebieg sygnału wyjściowego y(t), jeżeli na
wejście elementu o transmitancji :
G s
s Ts
( )
(
)
1
1
wprowadzono sygnał narastający liniowo u(t)=t.
Y s
G s U s
s Ts
( )
( ) ( )
(
)
1
1
3
Rozkład na ułamki proste
Y s
s Ts
A
s
B
s
C
s
D
s
T
( )
(
)
1
1
1
3
3
2
(
)
D C s
C
T
B s
B
T
A s
A
T
3
2
1
0
Przyrównując współczynniki wielomianu do 0 otrzymuje się
A
B
T C T D
T
1
2
2
y t
t
Tt T
T e
t
T
( )
1
2
2
2
2
Rozwiązanie.
Z tablicy transformat wynika, że
U(s)=1/s
2
, stąd
Stąd wynika przebieg sygnału wyjściowego
G s
s Ts
( )
(
)
1
1
y t
t
Tt T
T e
t
T
( )
1
2
2
2
2
Przebieg funkcji y(t) dla T=1
sekunda
na sygnał liniowo narastający w
czasie
2
1
( )
1
2
t
y t
t
t
e
-
=
- + -
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0
2
4
6
8
10
12
czas t, sekundy
y(
t)
Transmitancja obiektu
Przykład 1 – odpowiedź czasowa
[
]
2
( ) (
1)
( )
( )
( )
( )
Y s s Ts
U s
Ts Y s sY s U s
+ =
+
=
2
2
( )
( )
( )
( )
d y t
dy t
T
u t
dt
dt
Ty y u t
+
=
+ =
&& &
Z transmitancji obiektu po przekształceniach
można otrzymać równanie różniczkowe
Transmitancja obiektu
Przykład 1 – równanie
różniczkowe
Równaniem charakterystycznym obiektu jest
(
1) 0
s Ts+ =
Równanie posiada dwa bieguny (zera równania
charakterystycznego)
0
s =
1
s
T
=-
i nie posiada zer (zera licznika). Jeżeli np.T=1 sekunda, to
położenie biegunów można zaznaczyć na płaszczyźnie
Gaussa
j=j Im(s)
-1/T
0
=Re(s)
s=+ j
Położenie bieguna
Transmitancja obiektu
Przykład 1 - bieguny
Transmitancja obiektu
Przykład 2 – rozwiązanie
czasowe
Wróćmy do przykładu 5. Równanie różniczkowe
.
0
y ay
+ =
nosi nazwę jednorodnego (homogenicznego) i ma rozwiązanie
( )
(0)
at
at
y t
Ce
y e
-
-
=
=
y(0) jest stałą zwaną warunkiem początkowym. Równanie
niejednorodne
.
T y ay bu
+ =
ma rozwiązanie czasowe określone przez twierdzenie Borela
(całkę splotu)
(
)
0
( )
( )
t
at
a t
y t
Ce
b e
u dt
t
t
-
-
-
=
+
�
Pierwszy człon zależy od warunków początkowych, drugi – od sygnału
sterującego u(t). Jeżeli a>0, to sygnał wyjściowy z obiektu y(t) zmierza
do zera. Jeżeli a<0, to sygnał wyjściowy zmierza do nieskończoności.
Transmitancja obiektu
Opis wielu obiektów
jednocześnie
Zapisując jedną transmitancję znajdując jego rozwiązanie znajdujemy
rozwiązania dla nieskończenie wielu obiektów opisywanych równaniem o takiej
samej strukturze równania różniczkowego.
Nawet tych o których nie mamy pojęcia, że istnieją.
Algebra bloków
Algebra bloków
Postać blokowa
U(s)
Y(s)
Celem analizy blokowej jest doprowadzenie równań obiektu do najprostszej
postaci. Takiej w której jawnie występuje równanie charakterystyczne. Z postaci
blokowej widać również graficznie przebieg sygnałów sterujących.
Obiekt jednowymiarowy można zapisać w postaci blokowej
1
(
1)
s Ts+
U(s)
Y(s)
( )
G s
Lub ogólniej
Algebra bloków
Postać blokowa
Obiekt jednowejściowy, dwuwyjściowy
ma postać blokową
1
1
2
2
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
Y s
G s U s
Y s
G s U s
=
=
U(s)
Y
1
(s
)
1
( )
G s
Y
2
(s
)
2
( )
G s
Algebra bloków
Postać blokowa
W obiekcie dwuwejściowym, dwuwyjściowym
Transmitancje G
12
, G
21
tworzą sprzężenia skrośne.
1
11
1
12
2
2
21
1
22
2
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Y s
G s U s G s U s
Y s
G s U s G s U s
=
+
=
+
U
1
(s)
Y
1
(s
)
11
( )
G s
Y
2
(s
)
22
( )
G s
U
2
(s)
12
( )
G s
21
( )
G s
+
+
+
+
Algebra bloków
Postać blokowa
U
1
(s)
U
2
(s)
Y
1
(s
)
Y
2
(s
)
Y
3
(s
)
Y
4
(s
)
Algebra bloków
Obiekt wielowymiarowy
1
2
( )
( )
( )
...
( )
p
U s
U s
U s
U s
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
�
�
Y s
Y s
Y s
Y s
q
( )
( )
( )
...
( )
1
2
G s
G s G s G s
G s G s G s
G s G s G
s
p
p
q
q
q p
( )
( )
( )...
( )
( )
( )...
( )
...
( )
( )...
( )
11
12
1
21
22
2
1
2
1
( )
( ) ( )
s
s
s
=
Y
G X
Ogólnie, obiekt wielowymiarowy można zapisać w postaci rozwiniętej –
macierzowo-wektorowej
lub w postaci skróconej
Algebra bloków
Przykład - wymiennik
v
zi
, T
zi
v
pi
, T
pi
v
zs
T
zs
v
ps
T
ps
G s
T
T
T
T
v
T
v
T
T
v
T
v
v
v
v
v
T
T
T
T
v
T
v
T
T
v
T
v
v
v
v
v
ps
pi
zi
pi
ps
pi
zi
pi
ps
pi
zi
pi
ps
pi
zi
pi
ps
zs
zi
zs
ps
zs
zi
zs
ps
zs
zi
zs
ps
zs
zi
zs
( )
T
pi
v
pi
T
zs
v
zs
T
ps
v
p
s
T
zi
v
zi
T –
temperatura,
v - prędkość
Postać blokowa wymiennika
Wlot wody
ogrzewanej
Wylot wody
ogrzewanej
Wlot
wody
grzejnej
Wylot
wody
grzejnej
Transmitancja wymiennika
Algebra bloków
Przykład - wymiennik
Wymienniki ciepła typu JAD
Połączenie równoległe 3 wymienników
Połączenie równoległe 2 wymienników
Algebra bloków
Połączenia członów – rodzaje
połączeń
1
( )
G s
2
( )
G s
( )
n
G s
Szeregowe
1
( )
G s
2
( )
G s
Równoległe
Ze sprzężeniem zwrotnym
1
( )
G s
2
( )
G s
U(s)
Y(s)
+
+
U(s)
Y(s)
Y(s)
-
+
U(s)
1
( )
G s
2
( )
G s
Y(s)
-
+
U(s)
Postać zakłóceniowa
Postać uchybowa
Algebra bloków
Transmitancja zastępcza
połączenia
Zasada przekształceń :
sygnał wyjściowy Y(s) nie ulega zmianie po
przeniesieniu bloku
(sygnał wejściowy, z natury rzeczy, nie może ulec zmianie)
Algebra bloków
Transmitancja zastępcza
połączenia
1
( )
G s
2
( )
G s
( )
n
G s
U(s)
Y(s)
1
2
1
2
1
1
( ) ( )
( )
( )
( )
...
( ) ( )... ( )
( )
( ) ( )
( )
n
n
Y s Y s
Y s
Y s
G s
G s G s G s
U s
U s Y s
Y
s
-
=
=
=
Transmitancja zastępcza połączenia szeregowego
bloków jest ILOCZYNEM transmitancji członów
Y
1
(s)
Y
2
(s)
Y
n-1
(s)
Algebra bloków
Transmitancja zastępcza
połączenia
1
( )
G s
2
( )
G s
U(s)
Y(s)
+
+
Transmitancja zastępcza połączenia równoległego
bloków jest SUMĄ transmitancji członów
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Y s
Y s
Y s
G s
G s G s
U s
U s
U s
=
=
+
=
+
Y
1
(s)
Y
2
(s)
Algebra bloków
Transmitancja zastępcza
połączenia
1
( )
G s
2
( )
G s
Y(s)
+
+
U(s)
Y
1
(s)
Stąd transmitancja zastępcza połączenia z dodatnim
sprzężeniem zwrotnym
Y
2
(s)
2
1
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
Y s U s Y s
Y s
G s Y s
Y s
G s Y s
=
+
=
=
W połączeniu występują następujące związki
Po wstawieniu równania 1-go i 2-go do trzeciego
otrzymano
1
1
2
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Y s
G s U s G s G s Y s
=
+
1
1
2
( )
( )
( ) 1
( ) ( )
G s
Y s
U s
G s G s
=
-
Postać zakłóceniowa
Algebra bloków
Transmitancja zastępcza
połączenia
1
( )
G s
2
( )
G s
Y(s)
-
+
U(s)
W praktyce ważniejsza transmitancja zastępcza
połączenia z ujemnym sprzężeniem zwrotnym ma
postać
1
1
2
( )
( )
( ) 1
( ) ( )
G s
Y s
U s
G s G s
=
+
Zmianie uległ znak w mianowniku
Postać zakłóceniowa
Algebra bloków
Transmitancja zastępcza
połączenia
1
( )
G s
2
( )
G s
Y(s)
-
+
U(s)
Y
1
(s)
Y
2
(s)
Stąd transmitancja zastępcza połączenia z ujemnym
sprzężeniem zwrotnym
2
1
2
2
1
1
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
Y s U s Y s
Y s
G s Y s
Y s
G s Y s
=
-
=
=
W połączeniu występują następujące związki
Po wstawieniu równania 1-go i 2-go do trzeciego
otrzymano
(
)
1
2
1
2
1
2
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Y s
G s G s U s Y s
G s G s U s G s G s Y s
=
-
=
-
1
2
1
2
( ) ( )
( )
( ) 1
( ) ( )
G s G s
Y s
U s
G s G s
=
+
Postać uchybowa
Algebra bloków
Zagadka 1 dla starych i
młodych
Algebra bloków
Zagadka 1 dla starych i
młodych
Wyznaczyć transmitancję wypadkową układu G(s) =
Y(s)/U(s)
Algebra bloków
Zagadka 2 dla starych i
młodych
Rozwiązanie
G
2
(s)
G
4
(s)
-
+
G
24
(s)
2
24
2
4
( )
( )
1
( ) ( )
G s
G s
G s G s
=
+
zamieniany jest na pojedynczy blok
Układ
o transmitancji
Stąd nowa postać układu
G
1
(s)
G
3
(s)
-
+
G
24
(s)
G
1
(s)
G
3
(s)
-
G
24
(s)
Algebra bloków
Zagadka 2 dla starych i
młodych
Kolejny ruch polega na zamianie połączenia szeregowego na transmitancję zastępczą
G
124
(s)
G
3
(s)
-
G
124
(s)=G
1
(s) G
24
(s)
Do zredukowania pozostało jedynie ujemne sprzężenie zwrotne. Nazwijmy je G
1234
Stąd
124
1234
124
3
( )
( )
1
( ) ( )
G
s
G
s
G
s G s
=
+
Ostatecznie, po wstawieniu wszystkich wzorów
2
1
2
4
1234
2
1
3
2
4
( )
( )
1
( ) ( )
( )
( )
1
( ) ( )
1
( ) ( )
G s
G s
G s G s
G
s
G s
G s G s
G s G s
+
=
+
+
Algebra bloków
Zagadka 2 dla starych i
młodych
1
2
1234
2
4
1
2
3
( ) ( )
( )
1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
G s G s
G
s
G s G s G s G s G s
=
+
+
2
4
1
2
3
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
G s G s G s G s G s
+
+
=
Najprostsza postać
Można z niej odczytać np. równanie charakterystyczne
Algebra bloków
Zagadka 3 dla starych i
młodych
Wyznaczyć transmitancję wypadkową układów G(s) =
Y(s)/U(s)
Algebra bloków
Obiekt hydrauliczny
Proces mieszania dwóch cieczy o różnych stężeniach.
C – stężenie,
m – strumień masy
V – strumień objętości
t - czas
Rozwiązanie dla a) stężenia b) strumieni masy
Ca
Cawe
1/(Ts+1)
V
1/m
Ca
-Vawy
Va
+Vawe
1/s
Stąd dla jednego obiektu otrzymano transmitancję zastępczą.
Rozwiązanie dla a) stężenia b) strumieni masy
Dla dwóch identycznych obiektów połączonych szeregowo
Ca
Cawe
1/(Ts+1)
Ca
Cawe
1/(Ts+1)
Algebra bloków
Obiekt hydrauliczny
Dziękuję za uwagę i
zainteresowanie