Wykład 3
1 Szeregi funkcyjne
Definicja 1.1 Niech dany będzie ciąg funkcyjny fn, gdzie fn : X R. Oznaczmy przez Sk
funkcjÄ™
k

Sk(x) = fi(x)
i=1
"
Dla szeregu S(x) = fi(x) pojęcia zbieżności punktowej i jednostajnej definiujemy jak
i=1
powyżej wykorzystując ciąg funkcyjny Sk(x), przy czym szereg S(x) jest określony na zbiorze
tych x " X dla których jest on zbieżny jako szereg liczbowy.
Przykłady:
"
1
Szeregi potęgowe, np: xn = , dla x " (-1, 1). Zbieżność jednak nie jest jednostajna:
i=1
1-x


1 - xk 1 -xk

sup |Sk(x) - f(x)| = sup - = sup = +" dla k ".

1 - x 1 - x x"(-1,1) 1 - x
x"(-1,1) x"(-1,1)
Uwaga: Dla szeregów potęgowych zbieżność jednostajna zachodzi na dowolnym przedziale
domkniętym zawartym w kole zbieżności szeregu. Tak więc możemy sprawdzić, że w po-
przednim przykładzie zbieżność jednostajna zachodzi na dowolnym przedziale domkniętym
zawartym w przedziale (-1, 1).
Twierdzenie 1.1 Jeśli ciąg funkcji ciągłych fn jest zbieżny jednostajnie na zbiorze A do
funkcji f, to funkcja graniczna f jest ciągła na A.
Wniosek: Analogiczne twierdzenie zachodzi dla szeregu funkcyjnego. Wobec tego, suma sze-
regu potęgowego jest funkcją ciągła w całym kole zbieżności
Uwaga: w wielu sytuacjach ułatwia to badanie zbieżności - wystarczy stwierdzić, że funkcja
graniczna jest nieciągła, wtedy wiemy już, jeśli funkcje fn są ciągłe, że zbieżność nie jest
jednostajna.
Uwaga: Implikacja przeciwna nie zachodzi - pomimo tego że funkcja graniczna jest ciągła,
zbieżność może nie być jednostajna.
2 Ciągłość odwzorowań
Definicja 2.1 (granica odwzorowania) Niech (X, d), (Y, Á) - przestrzenie metryczne. Mó-
wimy że odwzorowanie f : X ƒ" A Y ma w punkcie x0 granicÄ™ y0 jeÅ›li dla każdego ciÄ…gu
xn elementów dziedziny A zbieżnego do x0 mamy f(xn) y0.
Definicja 2.2 (Ciągowa definicja ciągłości (wg Heinego)) Niech (X, dx), (Y, dy) - prze-
strzenie metryczne. Mówimy, że odwzorowanie f : X ƒ" A Y jest ciÄ…gÅ‚e w punkcie x0 jeÅ›li
dla każdego ciągu xn elementów dziedziny A zbieżnego do x0 ciąg f(xn) jest zbieżny do f(x0).
1
Definicja 2.3 (Otoczeniowa definicja ciągłości) Niech (X, dx), (Y, dy) - przestrzenie me-
tryczne. Mówimy, że odwzorowanie f : X ƒ" A Y jest ciÄ…gÅ‚e w punkcie x0 jeÅ›li dla każdego
otoczenia U punktu f(x0) przeciwobraz f-1(U) jest zbiorem otwartym w przestrzeni X.
Definicja 2.4 (definicja ciągłości wg Cauchy ego) Niech (X, dx), (Y, dy) - przestrzenie
metryczne. Mówimy, że odwzorowanie f : X ƒ" A Y jest ciÄ…gÅ‚e w punkcie x0 jeÅ›li zachodzi:
"µ>0 "´>0"x"X dX(x, x0) < ´ Ò! dY (f(x), f(x0)) < µ
Uwaga: Definicje 2.2, 2.3 i 2.4 są równoważne. Odwzorowanie ciągłe w każdym punkcie dzie-
dziny nazywamy odwzorowaniem ciągłym.
Uwaga: Do wykazywania, że dana funkcja nie jest ciągła najwygodniej jest stosować defi-
nicjÄ™ wg Heinego - wystarczy znalez
ć dwa ciągi zbieżne do tego samego punktu w zbiorze
argumentów, na których to ciągach wartości zbiegają do różnych granic. Do wykazywania,
że dana funkcja jest ciągła najwygodniej natomiast stosować dwie pozostałe definicje.
Przykład:
Wykażemy że funkcja

xy
dla (x, y) = (0, 0)

x2+y2
f(x, y) =
0 dla (x, y) = (0, 0)
1 1 1
jest nieciągła w punkcie (0, 0). W tym celu rozważmy ciągi (n, 0) oraz (n, ). Zauważmy, że
n
1 1 1 1
obydwa te ciągi są zbieżne do punktu (0, 0). Mamy jednak: f(n, 0) = 0 oraz f(n, ) dla
n 2
n ". Ponieważ granice te są różne, funkcja jest nieciągła w (0, 0).
Stwierdzenie 2.1 Niech (X, dX), (Y, dY ), (Z, dZ) - przestrzenie metryczne, przekształcenia
f : X Y , g : Y Z są ciągłe. Wtedy złożenie g ć% f : X Z jest ciągłe.
3 Różniczkowanie funkcji i odwzorowań określonych na
przestrzeniach liniowych unormowanych
Przyjmijmy nastÄ™pujÄ…ce oznaczenia: (X, · X), (Y, · Y ) - przestrzenie liniowe unormowane
(u nas najczęściej Rk), X ƒ" G - podzbiór otwarty, p " G, f : G Y .
Definicja 3.1 (pochodna kierunkowa funkcji) PochodnÄ… kierunkowÄ… odwzorowania f : Rn ƒ"
G : Y ‚" Rk w punkcie p " G w kierunku wektora h " X nazywamy granicÄ™
"f 1

(p) = fh(p) = Dhf(p) = lim (f(p + th) - f(p)),
t0
"h t
o ile istnieje i jest skończona. Wyrażenie występujące pod znakiem granicy rozważamy oczy-
wiście w obszarze tych t " R, dla których p + th " G.
Przez e1, . . . , en oznaczamy bazÄ™ kanonicznÄ… przestrzeni Rn, tzn. ei = ( , . . . , 1 , . . . , 0 )
0

n
1 i
Definicja 3.2 (pochodna czÄ…stkowa) PochodnÄ… czÄ…stkowÄ… funkcji f w punkcie p wzglÄ™-
dem i-tej zmiennej nazywamy pochodnÄ… kierunkowÄ… tej funkcji w punkcie p w kierunku ei o
"f

ile ona istnieje i oznaczamy fx (p), Dx f(p), Dif(p), (p).
i
i "xi
2
Zauważmy, że definicja pochodnej cząstkowej jest niemal identyczna z definicją pochodnej
funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Podobieństwo to wykorzystamy do obliczania pochod-
nych cząstkowych - będziemy je obliczać tak jakby wszystkie zmienne były ustalonymi para-
metrami, a funkcja zależała tylko od zmiennej względem której szukamy pochodnej cząstko-
wej. Niemniej jednak jak wiadomo posiadanie pochodnej w danym punkcie jest dla funkcji
jednej zmiennej bardzo silną własnością. Jak się zaraz przekonamy dla funkcji wielu zmien-
nych posiadanie wszystkich pochodnych kierunkowych nie gwarantuje nawet ciągłości. Roz-
ważmy funkcję

0 dla x = y2 i (x, y) = (0, 0)

f(x, y) =
1 dla (x, y) = (0, 0) lub x = y2

funkcja ta jest oczywiście nieciągła na całej paraboli x = y2. zauważmy jednak, że w punkcie
(0, 0) istnieją pochodne kierunkowe w każdym kierunku - są one równe 0, gdyż jeśli zbliżamy
się do zera wzdłuż dowolnej prostej to dla dostatecznie bliskich punktów nie  jesteśmy już na
paraboli i funkcja ma wartość stale równą 1, czyli przyrost w definicji pochodnej kierunkowej
jest zerowy.
Przystąpimy teraz do zdefiniowania pojęcia różniczki funkcji (odwzorowania) wielu zmien-
nych.
Definicja 3.3 (pochodna funkcji (odwzorowania)) PochodnÄ… funkcji f w punkcie p na-
zywamy odwzorowanie liniowe L " L(X, Y ) spełniające warunek:
f(p + u) - f(p) - L(u)
lim = 0.
u0
u
Oznaczamy je również Df(p).
3