Podstawowe równania rz dz ce przep ywem wynikaj z ogólnie przyj tych w fizyce zasad zachowania: Strumie wielko ci U mo na przedstawi jako sum strumienia konwekcyjnego (unoszenie wielko ci U

V
z pr dko ci ) :
- zasady zachowania masy

- zasady zachowania p dy
FC V U
- zasady zachowania energii ( ~ pierwsza zasada termodynamiki)
oraz strumienia dyfuzyjnego, (wynikaj cego z tendencji do wyrównywania niejednorodno ci rozk adu wielko ci intensywnych):
oraz
- drugiej zasady termodynamiki (wzrostu entropii)
FD (U / )
,
i mog by formu owane na szereg ró nych, lecz matematycznie równowa nych sposobów. Stosuj c
model o rodka ci g ego mo na rozwa y bilans dowolnej wielko ci fizycznej U (g sto , sk adowa p du,
gdzie jest wspó czynnikiem dyfuzji.
energia, entalpia, ...) w dowolnej, niezmiennej w czasie obj to ci kontrolnej o brzegu (Rys. 2.1).
Zmiana ilo ci U w obj to ci kontrolnej w jednostce czasu wynika z niezerowej sk adowej normalnej strumienia na
ciance:


Rys. 2.1 Obj to kontrolna do wyprowadzenia ndS
F
prawa zachowania wielko ci U


QV d QS ndS
oraz dzia ania róde obj to ciowych i powierzchniowych: .


Ca kowita ilo wielko ci U w niej zawarta wynosi U d
i zmienia si w czasie wskutek:

W efekcie ogólna posta równania zachowania dla wielko ci skalarnej U przyjmie posta :
- dop ywu przez ciank (efekt strumieni)


- wyst powania róde wielko ci U w obszarze kontrolnym lub na jego brzegu
QV d QS ndS
Ud F ndS
(2.1a)

t
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 1 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 2
W efekcie ogólna posta równania zachowania dla wielko ci skalarnej U przyjmie posta :


QV d QS ndS
Ud F ndS Prawo zachowania masy
(2.1a)

t
Je eli za U wstawimy g sto , to równania (2.1a) i (2.1b) wyra prawo zachowania masy, czyli równanie ci g o ci. Nale y
lub, stosuj c twierdzenie o dywergencji do strumieni i róde powierzchniowych oraz porz dkuj c sk adniki:
zauwa y , e w przypadku tej wielko ci nie wyst puje strumie dyfuzyjny jak równie w przyrodzie nie wyst puj ród a masy, co znakomicie
upraszcza równania:

U

F QV QS d 0



t



d V ndS 0
A uwzgl dniaj c dowolno obj to ci kontrolnej warto funkcji podca kowej musi by równa zeru w ka dym
(2.2a)

t
punkcie pola. W efekcie równanie zachowania U przedstawi mo na w postaci ró niczkowej:



U
V 0
F QS QV
(2.2b)
(2.1b)
t
t
Równanie (2.1a) przedstawia sob ogóln posta prawa zachowania w formie ca kowej, odniesion do dowolnej (niezmiennej w czasie)
obj to ci kontrolnej. Podobnie równanie (2.1b) przedstawia sob ogóln posta prawa zachowania w formie ró niczkowej. Matematycznie
obie postacie równa s równowa ne i mog by podstaw ró nych u ytecznych metod obliczeniowych. W zale no ci od tego jak wielko
podstawimy pod U otrzymamy prawo zachowania dla tej warto ci.
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 3 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 4
Prawo zachowania energii

Prawo zachowania p du
2
E e V / 2
Je eli pod wielko U wstawi iloczyn g sto ci i energii ca kowitej
(energi ca kowit odniesion do jednostki

obj to ci) to równania (2.1a) i (2.1b) wyra prawo zachowania energii. Mo liwe s oczywi cie inne wybory, np. energia wewn trzna e lub
V
entalpia h lub H. Nale y jeszcze uzupe ni równania o ród a powierzchniowe i obj to ciowe energii. ród a powierzchniowe to praca si
Je eli pod wielko U wstawi iloczyn pr dko ci i g sto ci (p d odniesiony do jednostki obj to ci) to równania (2.1a) i (2.1b)
ci nieniowych i stycznych (lepko ci):
wyra prawo zachowania p du. Nale y je uzupe ni ród ami obj to ciowymi i powierzchniowymi p du. ród a powierzchniowe to si y

ci nieniowe dzia aj ce w kierunku normalnym do powierzchni i napr enia styczne wynikaj ce z lepko ci. S one tensorami drugiego rz du:
QS pI v
.
ród a obj to ciowe to ród a ciep a q, np. na skutek reakcji chemicznych lub promieniowania, orazi pracy si masowych

QS pI
QV q f V
.

I oznacza tensor jednostkowy, a tensor napr e stycznych w zapisie sumacyjnym wyra a si nast puj co:
FD k T
W bilansie musimy uwzgl dni równie strumie dyfuzyjny, wynikaj cy z przewodzenia ciep a: ,
(k jest wspó czynnikiem przewodzenia ciep a). Równania (2.1a) przyjm wówczas posta :
u
ui j 2 uk

ij

x xi 3 xk ij
j

E d EV ndS



t
QV f
ród a obj to ciowe p du s si ami masowymi . W efekcie równania przyjmuj posta :


q f V d ndS pI V ndS
k T

V d VV ndS f d pndS ndS
lub
(2.3a)

t



E d HV ndS



V VV f p
t

(2.3b)
t
q f V d ndS V ndS
(2.4a)
k T

i znane s jako równania Naviera-Stokesa.
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 5 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 6
Równania (2.1a) przyjm wówczas posta : Do domkni cia wszystkich powy szych równa konieczne s dodatkowe zwi zki, wyra aj ce zale no ci na energi wewn trzn , g sto ,
lepko i wspó czynnik przewodzenia ciep a:


E d EV ndS


e=e(T,p)
t


= (T,p)
q f V d ndS pI V ndS
k T

= (T,p)
lub
k=k(T,p)


E d HV ndS
oraz ewentualnie pole si masowych f oraz ród a ciep a q.


t
Energia wewn trzna dla modelu gazu doskona ego wyra a si wzorem


1 a2
q f v d ndS v ndS
(2.4a)
k T
e CvT RT

1 ( 1)
a g sto dana jest równaniem gazu doskona ego:
a równania (2.1.b):
p p

E
2
EV q f V k T ( pV ) V
RT a
t
Wspó czynnik lepko ci dynamicznej jest cech p ynu i zale y g ównie od temperatury, a wspó czynnik przewodzenia ciep a zwi zany jest ze
lub
wspó czynnikiem lepko ci zale no ci

E
C
HV q f V k T V p
(2.4b) k
t
Pr
Pr jest liczb Prandtla.
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 7 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 8


V VV f p
t


V 0
t


V
V

V V V V
V V t t


V
V V v V f p

t t

V V 0
t


d dt

V
V V f p

t


dv dt
d dt V 0


dV 1 1
f p
dt
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 9 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 10

H p /

V 0
t

E
HV q f V k T V
t

v

V v f p

t

. . . . . .

H p

v H q f v k T v
H p

V H q f V k T V t t



t
t
dH dt

ui u j 2 uk

ij ij

xj xi 3 xk


dH p
q f V k T V warunki brzegowe
dt t
druga zasada termodynamiki (? !)
ROZWI ZANIE ....
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 11 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 12
turbulencja:
t T
1
- zjawisko zmienne w czasie i przestrzeni (zawsze 3-wymiarowej) objawiaj ce si
u' u' d 0

losow (chaotyczn , przypadkow ) zmienno ci parametrów przep ywu, przy czym
T
t
mo na okre li pewne rednie statystyczne
- wyst puje przemieszczanie (mieszanie) ca ych [ma ych] mas p ynu w sposób
przypadkowy, w przeciwie stwie do przemieszczania pojedynczych cz steczek w
ruchu laminarnym
T
- typowe dla du ych liczb Reynoldsa  charakterystycznych dla aerodynamiki lotniczej
1
2

u' u' d
RMS
Pr dko rednia pr dko poboczna
T
0
u t u t u'
t
2 2 2
p t p t p'
'
t

u' u' uz 2
1 2 2 2 2
x y
'

u' u' u' uz k
t t '
x y
t

3 3 2 3

t T
1
u'
RMS
u t u d
I

T
u
t
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 13 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 14
przep yw nie ci liwy ( =const), u rednione równanie p du x:

ui uj 2 uk

u' u'w
ij

v' '
x x 3 xk ij u'u'
(u u') (u u')(u u') p p'
j

turb
i

(u u')
lam
t x x
koncepcja lepko ci turbulentnej
t T
1
(u u')(v v') u v u v' v u' u'v' d

T
t
u
u'w'
xz
u v u v' v u' u'v' u v u'v'
z
i finalnie:

u u u u p u
T
u v w
z
t x y z x
u'u' u'v' u' w'
u
x y z T u
xz
z
U rednienie Reynoldsa równa Naviera-Stokesa
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 15 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 16
Aerodynamika rozpatruje zwykle równania przep ywu stacjonarnego, uwzgl dniaj c turbulencj .

V H p
0 ; 0 ; 0 ; 0 ;
t t t t
droga mieszania
T
u u u u

T m n vT l l2

n n n n V 0



u
u
l
T

n
V V p

STRATA P DU ~ K1 V R + K2 V R 2
V H q k T V
lamin. turb.
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 17 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 18
p
, , nie zale y od e (T)
przep yw lepki, nie ci liwy

V 0

V 0

1 1
V V p


V V p
k
p / const const
lub
(izentropowy) (nie ci liwy)
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 19 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 20
 Zak adaj c du e liczby Reynoldsa i jedynie ma e (cienkie) obszary oderwania mo na pomin dyfuzj lepk i turbulentn w
Koncepcja WARSTWY PRZY CIENNEJ (Prandtla)
kierunku przep ywu g ównego. Ogranicza to ilo cz onów napr e stycznych które trzeba wyznacza i uwzgl dni . Pozwala to
równie zmniejszy znacz co koszt oblicze , nie wprowadzaj c w wielu przypadkach o praktycznym znaczeniu dla aerodynamiki
lotniczej istotnych ogranicze dok adno ci. Jest to tzw. przybli enie cienkiej warstwy cinanej (ang. thin shear layer
R. Naviera-Stokesa dla przep ywu nie ci liwego:
approximation).
Przekszta caj c i przedstawiaj c równania Naviera-Stokesa w postaci bezwymiarowej przyjmuj one posta :

u u p 2u 2u

p d na kierunek x
dV p 1 u v µ

V
x y x x2 y2
(2.5)

dt Re
Posta ta sugeruje, e przy du ych liczbach Reynoldsa mo liwe jest znacznie dalej id ce uproszczenie równa przep ywu, poprzez

v v p 2v 2v
ca kowite odrzucenie cz onów lepkich. Praktyczne obserwacje pokazuj , e takie podej cie jest zwykle zbyt daleko id ce, poniewa
u v µ
brak lepko ci potrafi ca kowicie zmieni obraz op ywu i zjawisk zachodz cych w przep ywie rzeczywistym. Jak wykaza Prandtl, w
p d na kierunek y
x y y x2 y2
przypadku op ywu cia sta ych przy du ych liczbach Reynoldsa cz ony lepkie mog by tego samego rz du co cz ony przyspieszenia

i ci nieniowe w cienkim obszarze przy powierzchni op ywanej bry y: warstwie przy ciennej. Szczegó owa analiza wielko ci
poszczególnych cz onów równa Naviera-Stokesa oraz wymiarów charakterystycznych prowadzi do wyodr bnienia dwóch
u v
podobszarów w przep ywie (rys. 2.2): cienkiej warstwy przy ciennej, w której cz ony lepkie s tego samego rz du co 0
równanie ci g o ci
pozosta e cz ony oraz pozosta ego obszaru, w których lepko nie odgrywa istotnej roli i przep yw mo e by rozwa any jako
x y
nielepki.
0 x c
0 y c
u O U

Rys.2.2 Charakterystyczne strefy op ywu bry y wed ug koncepcji Prandtla
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 21 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 22
u U u U u u p 2u 2u

u v µ µ
O O

x y x y2 x2
x c y

2u U 2u U

si y masowe i tarcia MUSZ by tego samego rz du:
O O
x2 c2 y2 2

si y masowe si y tarcia
2

u u U

U
µ 2u
x : u , v O
x : O
x y c
y2 2

y y
v u U v u U

2

v v U U
O v dy dy O µ 2v


y : u , v O y : O
y x c y x c

0 0
x y c c y2 2 c


w efekcie (dla laminarnej warstwy przy ciennej):
2 2

u U u U U U

u O v O O
2


U U
x c y c c

1 1

x :
2 c c U c / Re
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 23 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 24
w równaniu p du na kierunek y wszystkie cz ony: z jednowymiarowego r. Eulera:
u p
2 u

v v µ 2v U
x x
y : u , v , O

x y x2 c c

ue p
ue
wi c dla y = u = u| = ue
x x
s mniejsze ni w równaniu p du x, wi c:
ostatecznie r. 2-wymiarowej, nie ci liwej warstwy przy ciennej (Równania Prandtla):
2

p U
u u due 2u
O : ma le
równanie p du na x: u v eue µ
y c c
x y dx y2

p
p
równanie p du na y:
lub: 0 !!!
0 , p( y) const
y y
p
u v
wi c: p, niezmienne po y wewnatrz W.P.
równanie ci g o ci:
0
x
x y
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 25 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 26
przep yw nielepki, nie ci liwy

W obszarze warstwy przy ciennej pozostawienie w równaniach p du wy cznie cz onów tego samego rz du prowadzi do ich istotnego
uproszczenia. W przypadku dwuwymiarowym przyjmuj one w kierunku stycznym oraz w kierunku normalnym do powierzchni: V 0

u u p u

u v
1

x y x y y
V V p


p( y) const
(2.6)
i nosz nazw równa Prandtla. Pr dko styczna na zewn trznej granicy warstwy przy ciennej musi odpowiada warto ci
wynikaj cej z rozwi zania przep ywu nielepkiego poza warstw przy cienn . Równania p du pozbawione cz onów lepkich
(równania Eulera) rz dz przep ywem poza warstw przy cienn :

V V p
(2.7)
Aby uwzgl dni wzajemne oddzia ywanie warstwy przy ciennej i przep ywu nielepkiego nale y równocze nie spe ni te równania w
obu podobszarach. Dokona tego mo na poprzez  zszycie przep ywów: lepkiego w obszarze warstwy przy ciennej i nielepkiego
poza ni , a warunkiem tego jest zgodno parametrów przep ywu (pr dko , ci nienie...) z obu rozwi za na granicy warstwy
przy ciennej.
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 27 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 28
Cyrkulacja Twierdzenie Stokesa
B




AB dr
V
l dr rot V n dS
V
A
l S
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 29 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 30
Twierdzenie Kelvina (zmiana cyrkulacji po krzywej zamkni tej)


d d dV d

dr dr dr
d dp 1

V V
dt dt dt dt dr
l l l V V
dt 3

l l



dV p 1 d dr

0 jezeli p 0 jezeli 0
V V ; dr d dV

dt 3 dt dt

plyn barotropowy plyn nielepki


p dr 1

dr dV
V V V
3

l l l
=const ~ je eli brak lepko ci i fal uderzeniowych (przep yw izentropowy);
je eli przep yw pocz tkowo bezwirowy, to takim pozostanie !!!

dp 1
V V dr d 2

V

3 2


l l l
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 31 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 32
Równanie Bernouliego
wektorowa funkcja pola, Ca kuj c równanie Eulera (r.p du dla przep ywu nielepkiego)

skalarna funkcja pola V

dV p dV p

zalezna od pola skalarnego
dr dr
:
wzd u linii pr du

dt dt

B B B B B

dV dV 1 p dp

2 2

dr Vdt dV VB VA dr
V
V takie, ze V
czy mo na odwrotnie ??? dt dt 2
A A A A A
tak, je eli
1
p 1 p / k 1
przeplyw izentropowy : const;

k
VX VY

p1/ k




y y x x y x





rotV V 0

k 1 k 1



k p pB k pA k



k 1 p p



Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 33 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 34
je eli A ; B .
k
PODSUMOWANIE:
2
k 1


k 1 V
2
1 Ma 1 je eli:
2
1
2 V
p p

1. Je eli przep yw pocz tkowo bezwirowy (jednorodne pole pr dko ci)
Cp
2. Przep yw nielepki, brak fal uderzeniowych
1 k
2 2
V Ma
2 2
to:
1. Przep yw pozostanie bezwirowy
Zale no mi dzy ci nieniem i pr dko ci , prawdziwe wzd u linii pr du dla 2. Istnieje taka skalarna funkcja pola (potencja pr dko ci), e pole
przep ywu izentropowego (~ brak lepko ci i fal uderzeniowych)
pr dko ci mo e by okre lone jako: V=
3. Równania p du (Eulera) mo na sca kowa a priori uzyskuj c zwi zek
mi dzy pr dko ci i ci nieniem
dla p ynu nie ci liwego:
2
p p V
Cp 1
2
1
V
2
V
2
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 35 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 36
PROCEDURA WYZNACZENIA NIELEPKIEGO, NIE CI LIWEGO, BEZWIROWEGO
RÓWNOWA NA PROCEDURA WYZNACZENIA NIELEPKIEGO, NIE CI LIWEGO,
OP YWU BY Y WSTAWIONEJ W PRZEP YW JEDNORODNY (OKRE LENIE POLA
BEZWIROWEGO OP YWU BRY Y WSTAWIONEJ W PRZEP YW JEDNORODNY
PR DKO CI, POLA CI NIE , SI I MOMENTÓW DZIA AJ CYCH NA BRY )
(OKRE LENIE POLA PR DKO CI, POLA CI NIE , SI I MOMENTÓW ...)
1. rozwi za równanie ci g o ci

V 0 (r. Laplacea dla potencja u pr dko ci):
i równania p du (Eulera):
2 0
w polu przep ywu  R

p
V V
z warunkiem brzegowym (Neumana):
w polu przep ywu  R


n Vn 0
na powierzchni
spe niaj c warunek brzegowy:
n
omywanej  SB


V n Vn 0
w niesko czono ci (r )
na powierzchni
i warunkiem:
omywanej  SB ____________________________________

V V , p p w niesko czono ci V
2. wyznaczy pole pr dko ci:
oraz warunki:
____________________________________
(r )
rozwi za równanie ci g o ci:
3. wyznaczy pole ci nie z równania Bernouliego: p = p(V)
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 37 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 38
Superpozycja przep ywów, pr dko zaburze , potencja zaburze :
równanie linii pr du (2D):
dx U dt
dx dy
dt


dy V dt U V
V V
pr dko ca kowita
potencja pr dko ci zaburze
dx dy

0
V 2 0
U V
równanie ci g o ci
warunek brzegowy na powierzchni:
V dx U dy 0



V n V n Vn 0 V n

n n
V dx U dy dx dy d
x y
warunek w niesko czono ci
0 lub (rownowaznie) 0




V U div V 0


y y x x y x


Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 39 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 40
je eli div(V)=0 to istnieje taka funkcja (funkcja pr du), e
je eli dodatkowo rot(V)=0 to:

u ; v
y x
u v 2 2

0


y x y y x x x2 y2


funkcja zachowuje sta warto wzd u linii pr du
funkcja harmoniczna
na powierzchni op ywanej bry y =const
B B B


QAB ds n ds u cos n,Ox v cos n,Oy ds
n
V V
A A A
B
dy dx
B
d B A

ds
y ds x ds


A A
Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 41 Krzysztof Kubrynski AERODYNAMIKA-I (01) do u ytku wewn trznego 42