---

Overview

zad9
zad 4
zad 6
zad 7 m. rek
zad 7 2mnk
zad 5

---

Sheet 1: zad9

Zadanie 9
y1	y2		x1	x2
1	-1		1	1		system trójkątny
0	0		1	2	zakładamy, że jest to model o równaniach współzależnych
3	0		1	3		(równoczesne składniki losowe są skorelowane)
0	1		1	4
0	0		1	5
y1 = g21 x2 + u1
y2 = b12 y1 + g12 x1 + u2
I równanie - niejednoznacznie identyfikowalne, metoda estymacji: 2MNK (nie można stosować Pośredniej MNK, zatem w treści zadania za mało danych by podać ocenę)
II równanie - jednoznacznie identyfikowalne, metoda estymacji: 2MNK lub Pośrednia MNK (oceny uzyskane PMNK = oceny uzyskane 2MNK)

---

Sheet 2: zad 4

Zadanie 4
Zadanie 211 str 318
y1	y2	y3	x1	t
5	3	7	0	1
7	2	10	1	2
8	5	12	1	3
10	4	8	0	4
11	7	9	1	5
15	6	13	0	6
Każde równanie modelu jest jednoznacznie identyfikowalne.
Stosujemy Pośrednią MNK (PMNK)
	5	3	7		0	1
	7	2	10		1	2
Y=	8	5	12	X=	1	3
	10	4	8		0	4
	11	7	9		1	5
	15	6	13		0	6
Szacujemy postać zredukowaną bez restrykcji
P^=(XTX)-1XTY=
XTX=	3	10		(XTX)-1=	0,526011560693642	-0,057803468208093
	10	91			-0,057803468208093	0,017341040462428
Wyznacznik (XTX)=		173
XTY=	26	14	31
	228	109	218
P^=(XTX)-1XTY=		0,497109826589595	1,0635838150289	3,70520231213873
		2,45086705202312	1,08092485549133	1,98843930635838
	oceny:
b21=	2,26737967914439
g11=	-1,9144385026738
b12=	2,13953488372093
g22=	-4,16279069767442
b13=	-0,913407821229049
b23=	3,91061452513966

---

Sheet 3: zad 6

Zadanie 6
y1	y2		x1	x2
-2	1		0	-1
0	0		0	0
0	-1		0	0
1	3		0	1
0	-1		1	0
1	1		-1	0
y1 = b21 y2 + g11 x1 + u1			Model o równaniach współzależnych
y2 = b12 y1 + g22 x2 + u2
	-2	1			0	-1
	0	0			0	0
Y=	0	-1		X=	0	0
	1	3			0	1
	0	-1			1	0
	1	1			-1	0
Szacujemy postać zredukowaną bez restrykcji
P^=(XTX)-1XTY=
XTX=	2	0		(XTX)-1=	0,5	0
	0	2			0	0,5
Wyznacznik (XTX)=		4
XTY=	-1	-2
	3	2
P^=(XTX)-1XTY=		-0,5	-1
		1,5	1
Pośrednia MNK do I równania
b21=	1,5		b12=	2
g11=	1		g22=	-2
Takie same oceny otrzymamy stosując 2MNK
2MNK do I równania
I Etap
Szacujemy postać zredukowaną bez restrykcji. Otrzymujemy wartości teoretyczne Y.
Y^=XTP^=	-1,5	-1
	0	0
	0	0
	1,5	1
	-0,5	-1
	0,5	1
	macierz wartości teoretycznych
II Etap
Do I równania po wstawieniu wartości teoretycznych za y2 stosujemy zwykłą MNK
y1 = b21 y2^ + g11 x1 + v1
a=(ZTZ)-1ZTy=
	-1	0			-2
Z=	0	0			0		4
	0	0		y=	0	ZTy=	-1
	1	0			1
	-1	1			0
	1	-1			1
(ZTZ)=	4	-2				(ZTZ)-1=	0,5	0,5
	-2	2					0,5	1
	wyznacz=	4
a=(ZTZ)-1ZTy=		1,5	oceny parametrów pierwszego równania
		1
Chcemy policzyć błędy średnie szacunku
w. Reszt				u^2=
u^=	-3,5			12,25
	0			0
	1,5			2,25
	-3,5			12,25
	0,5			0,25
	0,5			0,25
				27,25	suma kw reszt
Wariancja resztowa		s2=	6,8125
Ocena asymptotycznej macierzy kowariancji estymatora 2MNK:
s2(ZTZ)-1=	3,40625	3,40625
	3,40625	6,8125
Przybliżone błędy średnie szacunku:
b21	1,84560288252918
g11	2,61007662722764
II równanie
Jest jednoznacznie identyfikowalne: oceny PMNK = oceny 2MNK
2MNK do II równania
I Etap
Szacujemy postać zredukowaną bez restrykcji. Otrzymujemy wartości teoretyczne Y.
II Etap
Do II równania po wstawieniu wartości teoretycznych za y1 stosujemy zwykłą MNK
y2 = b12 y1^ + g22 x2 + v2
a=(ZTZ)-1ZTy=
	-1,5	-1			1
Z=	0	0			0		4
	0	0		y=	-1	ZTy=	2
	1,5	1			3
	-0,5	0			-1
	0,5	0			1
(ZTZ)=	5	3				(ZTZ)-1=	2	-3
	3	2					-3	5
	wyznacz=	1
a=(ZTZ)-1ZTy=		2	oceny parametrów drugiego równania
		-2
Chcemy policzyć błędy średnie szacunku
w. Reszt				u^2=
u^=	3			8,99999999999999
	0			0
	-1			1
	3			9
	-1			1
	-0,999999999999998			0,999999999999996
				21	suma kw reszt
Wariancja resztowa		s2=	5,25
Ocena asymptotycznej macierzy kowariancji estymatora 2MNK:
s2(ZTZ)-1=	10,5	-15,75
	-15,75	26,25
Przybliżone błędy średnie szacunku:
b21	3,24037034920393
g11	5,1234753829798

---

Sheet 4: zad 7 m. rek

Zadanie 7		Układ trójkątny
y1	y2		x1	x2	UWAGA:	Zakładamy, że mamy
-2	1		0	-1		do czynienia z
0	0		0	0		modelem rekurencyjnym (czyli macierz równoczesnych kowariancji jest diagonalna)
0	-1		0	0
1	3		0	1		Stosujemy MNK do każdego równania oddzielnie
0	-1		1	0		Estymator MNK jest zgodny
1	1		-1	0
y1 = g11 x1 + g31 + u1
y2 = b12 y1 + g22 x2 + u2
Do I równania stosujemy zwykłą MNK
y1 = g31 + g11 x1 + v1
a=(ZTZ)-1ZTy=
	1	0			-2
Z=	1	0			0		0
	1	0		y=	0	ZTy=	-1
	1	0			1
	1	1			0
	1	-1			1
(ZTZ)=	6	0				(ZTZ)-1=	0,166666666666667	0
	0	2					0	0,5
	wyznacz=	12
a=(ZTZ)-1ZTy=		0	oceny parametrów pierwszego równania
		-0,5
Chcemy policzyć błędy średnie szacunku
w. Reszt				u^2=
u^=	-2			4	T=	6
	0			0	k=	2
	0			0
	1			1
	0,5			0,25
	0,5			0,25
				5,5	suma kw reszt
Wariancja resztowa		s2=	1,375
Ocena macierzy kowariancji estymatora MNK:
s2(ZTZ)-1=	0,229166666666667	0
	0	0,6875
Błędy średnie szacunku:
g31	0,478713553878169
g11	0,82915619758885
II równanie
stasujemy MNK		bo model jest rekurencyjny
y2 = b12 y1 + g22 x2 + v2
a=(ZTZ)-1ZTy=
	-2	-1			1
Z=	0	0			0		2
	0	0		y=	-1	ZTy=	2
	1	1			3
	0	0			-1
	1	0			1
(ZTZ)=	6	3				(ZTZ)-1=	0,666666666666667	-1
	3	2					-1	2
	wyznacz=	3
a=(ZTZ)-1ZTy=		-0,666666666666667	oceny parametrów drugiego równania
		2
Chcemy policzyć błędy średnie szacunku
wektor reszt				u^2=
u^=	1,66666666666667			2,77777777777778
	0			0	T=	6
	-1			1	k=	2
	1,66666666666667			2,77777777777778
	-1			1
	1,66666666666667			2,77777777777778
				10,3333333333333	suma kw reszt
Wariancja resztowa		s2=	2,58333333333333
Ocena asymptotycznej macierzy kowariancji estymatora 2MNK:
s2(ZTZ)-1=	1,72222222222222	-2,58333333333333
	-2,58333333333333	5,16666666666667
Przybliżone błędy średnie szacunku:
b12	1,31233464566864
g22	2,27303028283098

---

Sheet 5: zad 7 2mnk

zadanie 7		Układ trójkątny
y1	y2		x1	x2		2MNK
-2	1		0	-1
0	0		0	0
0	-1		0	0
1	3		0	1
0	-1		1	0
1	1		-1	0
y1 = g11 x1 + g31 + u1
y2 = b12 y1 + g22 x2 + u2
	-2	1			0	-1	1
	0	0			0	0	1
Y=	0	-1		X=	0	0	1
	1	3			0	1	1
	0	-1			1	0	1
	1	1			-1	0	1
Szacujemy postać zredukowaną bez restrykcji
P^=(XTX)-1XTY=
	2	0	0		0,5	0	0
XTX=	0	2	0	(XTX)-1=	0	0,5	0
	0	0	6		0	0	0,166666666666667
Wyznacznik (XTX)=		24
XTY=	-1	-2
	3	2
	0	3
P^=(XTX)-1XTY=		-0,5	-1
		1,5	1
		0	0,5
Pośrednia MNK do I równania				równ. jest niejednozn. Identyf - nie można stosować Poś. MNK
g31=	0		b12=	2
g11=	-0,5		g22=	-2
Takie same oceny otrzymamy stosując 2MNK - tu to nie jest prawda! Nie można stosować Pośredniej MNK
2MNK do I równania
I Etap
Szacujemy postać zredukowaną bez restrykcji. Otrzymujemy wartości teoretyczne Y.
Y^=XTP^=	-1,5	-0,5
	0	0,5
	0	0,5
	1,5	1,5
	-0,5	-0,5
	0,5	1,5
	macierz wartości teoretycznych
II Etap
Do I równania 2MNK = MNK (bo równanie jest oderwane)
y1 = g31 + g11 x1 + v1
a=(ZTZ)-1ZTy=
	1	0			-2
Z=	1	0			0		0
	1	0		y=	0	ZTy=	-1
	1	0			1
	1	1			0
	1	-1			1
(ZTZ)=	6	0				(ZTZ)-1=	0,166666666666667	0
	0	2					0	0,5
	wyznacz=	12
a=(ZTZ)-1ZTy=		0	oceny parametrów pierwszego równania
		-0,5
Chcemy policzyć błędy średnie szacunku
w. Reszt				u^2=
u^=	-2			4
	0			0
	0			0
	1			1
	0,5			0,25
	0,5			0,25
				5,5	suma kw reszt
Wariancja resztowa		s2=	1,375
Ocena asymptotycznej macierzy kowariancji estymatora 2MNK:
s2(ZTZ)-1=	0,229166666666667	0
	0	0,6875
Przybliżone błędy średnie szacunku:
b21	0,478713553878169
g11	0,82915619758885
II równanie
2MNK do II równania
I Etap
Szacujemy postać zredukowaną bez restrykcji. Otrzymujemy wartości teoretyczne Y.
II Etap
Do II równania po wstawieniu wartości teoretycznych za y1 stosujemy zwykłą MNK
y2 = b12 y1^ + g22 x2 + v2
a=(ZTZ)-1ZTy=
	-1,5	-1			1
Z=	0	0			0		4
	0	0		y=	-1	ZTy=	2
	1,5	1			3
	-0,5	0			-1
	0,5	0			1
(ZTZ)=	5	3				(ZTZ)-1=	2	-3
	3	2					-3	5
	wyznacz=	1
a=(ZTZ)-1ZTy=		2	oceny parametrów drugiego równania
		-2
Chcemy policzyć błędy średnie szacunku
w. Reszt				u^2=
u^=	3			8,99999999999999
	0			0
	-1			1
	3			9
	-1			1
	-0,999999999999998			0,999999999999996
				21	suma kw reszt
Wariancja resztowa		s2=	5,25
Ocena asymptotycznej macierzy kowariancji estymatora 2MNK:
s2(ZTZ)-1=	10,5	-15,75
	-15,75	26,25
Przybliżone błędy średnie szacunku:
b21	3,24037034920393
g11	5,1234753829798

---

Sheet 6: zad 5

Modele wielorównaniowe - przykład				zadanie 5
(Goryl A., Z. Jędrzejczyk, K. Kukuła, J. Osiewalski "Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach", PWN , Warszwa 1999)
Dany jest model wielorównaniowy:
yt1 = b21 yt2 + g11 xt1 + ut1
yt2 = b12 yt1 + b32 yt3 + ut2
yt3 = g23 xt2 + ut3
1. Przedstawić zapis macierzowy postaci strukturalnej modelu.
2. Zbadać zupełność modelu oraz określić klasę modelu.
3. Znaleźć postać zredukowaną z ograniczeniami.
4. Zbadać identyfikowalność poszczególnych równań oraz określić właściwą metodę estymacji.
5. Oszacować równania podając oceny parametrów i przybliżone błędy średnie szacunku.
Dane:
yt1	yt2	yt3	xt1	xt2
2	2	3	1	0
0	0	1	0	0
1	0	-1	0	0
-3	-1	0	-1	0
1	0	-2	0	-1
-1	-1	-1	0	1
1. Zapis macierzowy:
yt = (yt1, yt2, yt3),		xt = (xt1, xt2),		ut = (ut1, ut2, ut3)
yt B + xt G = ut
B=	1	"-b12 "	0		G=	"-g11 "	0	0
	"-b21 "	1	0			0	0	"-g23 "
	0	"-b32 "	1
	1	"-b12 "	0
(yt1, yt2, yt3)	"-b21 "	1	0	+	(xt1, xt2)	"-g11 "	0	0	=	ut
	0	"-b32 "	1			0	0	"-g23 "
2. Zupełność modelu:
det(B)=	1-b12*b21
Model jest zupełny, gdy b12*b21=/=1
Klasa modelu:
Model o równaniach współzależnych.
3. Postać zredukowana z restrykcjami:
yt =xt P + vt		P =-GB-1		vt = ut B-1
P=	p11	p12	p13	=	g11/(1-b12b21)		b12g11/(1-b12b21)		0
	p21	p22	p23		b32b21g23/(1-b12b21)		b32g23/(1-b12b21)		"g23 "
Warunek poboczny:		p13 =0
4. Identyfikowalność równań:
Identyfikowalność I równania postaci strukturalnej:
Pb(1) = -g(1)
p11	p12	p13	*	1	=	"g11 "
p21	p22	p23		"-b21 "		0
				0
	b21 =	p21 /p22		p22 =/=0
	g11 =	p11-p12* p21 /p22
Pierwsze równanie postaci strukturalnej jest jednoznacznie identyfikowalne.
Identyfikowalność II równania postaci strukturalnej:
Pb(2) = -g(2)
p11	p12	p13	*	"-b12 "	=	0
p21	p22	p23		1		0
				"-b32 "
b12 =	(p12p23-p13p22)/(p11p23 - p13 p21 )				(p11p23 - p13 p21)=/=0
b32 =	(p11p22-p12p21)/(p11p23 - p13 p21 )
Drugie równanie postaci strukturalnej jest jednoznacznie identyfikowalne.
Identyfikowalność III równania postaci strukturalnej:
Pb(3) = -g(3)
p11	p12	p13	*	0	=	0
p21	p22	p23		0		"g23 "
				1
p23 =	"g23 "
p13 =0	fałszywe dla prawie wszystkich macierzy P
Trzecie równanie postaci strukturalnej jest niejednoznacznie identyfikowalne.
5. Estymacja
	2	2	3		1	0
	0	0	1		0	0
Y=	1	0	-1	X=	0	0
	-3	-1	0		-1	0
	1	0	-2		0	-1
	-1	-1	-1		0	1
Szacujemy postać zredukowaną bez restrykcji
P^=(XTX)-1XTY
XTX=	2	0		(XTX)-1=	0,5	0
	0	2			0	0,5
	det(XTX)=	4
XTY=	5	3	3
	-2	-1	1
P^=(XTX)-1XTY=		2,5	1,5	1,5	=	p11	p12	p13
		-1	-0,5	0,5		p21	p22	p23
Pośrednia MNK do I równania
b21 =	p21 /p22	=	2
g11 =	p11-p12* p21 /p22		=	-0,5
Takie same oceny otrzymamy stosując 2MNK
2MNK do I równania
I Etap
Szacujemy postać zredukowaną bez restrykcji. Otrzymujemy wartości teoretyczne Y^:
	y^t1	y^t2	y^t3
Y^=XTP^=	2,5	1,5	1,5
	0	0	0
	0	0	0
	-2,5	-1,5	-1,5
	1	0,5	-0,5
	-1	-0,5	0,5
	macierz wartości teoretycznych
II Etap
Do I równania po wstawieniu wartości teoretycznych za yt2 stosujemy zwykłą MNK
yt1 = b21 y^t2 + g11 xt1 + wt1
a=(b21, g11)'
	y^t2	xt1			yt1
	1,5	1			2
Z=	0	0			0		8,5
	0	0		y=	1	ZTy=	5
	-1,5	-1			-3
	0,5	0			1
	-0,5	0			-1
(ZTZ)=	5	3		(ZTZ)-1=	2	-3
	3	2			-3	5
det(ZTZ)=	1
a=(ZTZ)-1ZTy=		2	b21^	oceny parametrów pierwszego równania
		-0,499999999999996	g11^
Chcemy policzyć błędy średnie szacunku
w. reszt	u^t1=yt1 - b21^ yt2 - g11^ xt1
	-1,5			2,24999999999999
	0			0
u^=	1		u^^2=	1
	-1,5			2,25
	1			1
	0,999999999999996			0,999999999999993
				7,49999999999998	suma kw. reszt
Wariancja resztowa		s2=	1,875
Ocena asymptotycznej macierzy kowariancji estymatora 2MNK:
s2(ZTZ)-1=	3,74999999999999	-5,62499999999999
	-5,62499999999999	9,37499999999998
Przybliżone błędy średnie szacunku:
D(b21^)=	1,93649167310371
D(g11^)=	3,06186217847897
II równanie
Jest jednoznacznie identyfikowalne Pośrednia MNK = 2MNK
2MNK do II równania
I Etap
Szacujemy postać zredukowaną bez restrykcji. Otrzymujemy wartości teoretyczne Y.
II Etap
Do II równania po wstawieniu wartości teoretycznych za yt1 i yt3 stosujemy zwykłą MNK
yt2 = b12 y^t1 + b32 y^t3 + wt2
a=(b12, b32)'
	y^t1	y^t3			yt2
	2,5	1,5			2
Z=	0	0			0		8,5
	0	0		y=	0	ZTy=	4
	-2,5	-1,5			-1
	1	-0,5			0
	-1	0,5			-1
(ZTZ)=	14,5	6,5		(ZTZ)-1=	0,165289256198347	-0,214876033057851
	6,5	5			-0,214876033057851	0,479338842975207
	det(ZTZ)=	30,25
a=(ZTZ)-1ZTy=		0,545454545454545	b12^	oceny parametrów drugiego równania
		0,090909090909091	b32^
Chcemy policzyć błędy średnie szacunku
w. Reszt	ut2^ =yt2 - b12^ yt1 + b32^ yt3
u^=	0,636363636363637			0,404958677685951
	-0,090909090909091		u^2=	0,008264462809917
	-0,454545454545455			0,206611570247934
	0,636363636363636			0,40495867768595
	-0,363636363636364			0,132231404958678
	-0,363636363636364			0,132231404958678
				1,28925619834711	suma kw reszt
Wariancja resztowa		s2=	0,322314049586777
Ocena asymptotycznej macierzy kowariancji estymatora 2MNK:
s2(ZTZ)-1=	0,053275049518476	-0,069257564374018
	-0,069257564374018	0,154497643603579
Przybliżone błędy średnie szacunku:
D(b12^)=	0,230813885020974
D(b32^)=	0,393061882664268
III równanie
Jest niejednoznacznie identyfikowalne, MNK = 2MNK, bo oderwane
2MNK do III równania
Równanie jest oderwana 2MNK=MNK
Do III równania stosujemy zwykłą MNK - nie ma zmiennych współzależnych jako zm. objaśniających
yt3 = g23 xt2 + ut3
a=g23
	xt2			yt3
	0			3
Z=	0			1
	0		y=	-1	ZTy=	1
	0			0
	-1			-2
	1			-1
(ZTZ)=	2		(ZTZ)-1=	0,5
	det(ZTZ)=	2
a=(ZTZ)-1ZTy=		0,5	g23^	ocena parametru trzeciego równania
Chcemy policzyć błędy średnie szacunku
w. Reszt	ut3^= yt3 - g23^ xt2
u^=	3		u^2=	9
	1			1
	-1			1
	0			0
	-1,5			2,25
	-1,5			2,25
				15,5	suma kw reszt
Wariancja resztowa		s2=	3,1
Ocena asymptotycznej macierzy kowariancji estymatora 2MNK:
s2(ZTZ)-1=	1,55
Przybliżony błęd średni szacunku:
D(g23^)=	1,24498995979887