| W poniższej tabeli przedstawione są wartości dla dwóch zmiennych. Pierwsza zmienna X oznacza miesięczne dochody na osobę, natomiast druga zmienna Y oznacza miesięczne wydatki na osobę na pieczywo, nabiał, warzywa i owoce w gospodarstwach domowych w 1996 roku. Naszym celem jest oszacowanie parametrów modelu nieliniowego z dokładnością wynoszącą 1,6%: |
|
|
|
|
| Grupa dochodowa |
Grupy dochodowe (miesięczne sumy dochodów na 1 osobę) w tys. zł |
|
| 600 i mniej |
600-800 |
800-1000 |
1000-1400 |
1400-1800 |
1800-2200 |
2200-2700 |
powyżej 2700 |
|
| i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
| xi |
510,7 |
718,1 |
911,3 |
1205,3 |
1596,7 |
1982,2 |
2420,6 |
3554,5 |
|
| yi |
22,1 |
25,3 |
31,9 |
36,5 |
41,4 |
47,6 |
53,1 |
65,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Model ma następującą postać: |
|
|
Wartości odchyleń obliczamy według następującego wzoru (w kolejnych iteracjach za l podstawiamy numer danej iteracji): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1. W celu rozpoczęcia procedury iteracyjnej należy wyznaczyć punkty startowe. W analizowanym przykładzie zostały one obliczone metodą m punktów i wynoszą odpowiednio dla każdego parametru: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2. Następnie obliczamy macierz pierwszych pochodnych cząstkowych względem parametrów strukturalnych modelu: |
|
3. Do dalszych obliczeń wykorzystuje się wektor różnic między zaobserwowanymi wartościami zmiennej zależnej a wartościami teoretycznymi obliczonymi dla tej iteracji: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,19629 |
-0,007469415500055 |
|
|
2,66682 |
|
|
|
|
|
0,25563 |
-0,009009189496464 |
|
|
-0,00771 |
|
|
|
|
|
0,30353 |
-0,010008947064797 |
|
|
1,85014 |
|
|
|
|
|
macierz Z(l) obliczamy według wzoru umieszczonego w przykładzie
Z(0) = |
0,36565 |
-0,01098188496684 |
|
wektor e(l) obliczamy według wzoru umieszczonego w przykładzie
e(0) = |
0,30041 |
|
|
|
|
|
0,43298 |
-0,011623779242152 |
|
|
-1,46501 |
|
|
|
|
|
0,48664 |
-0,011827996741435 |
|
|
-0,57780 |
|
|
|
|
|
0,53653 |
-0,011773268472124 |
|
|
-0,01628 |
|
|
|
|
|
0,62962 |
-0,011041012197972 |
|
|
3,16797 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4. W kolejnym kroku transponujemy macierz Z(0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,19629 |
0,25563 |
0,30353 |
0,36565 |
0,43298 |
0,48664 |
0,53653 |
0,62962 |
|
|
transponujemy macierz Z(0) poprzez zamianę wierszy na kolumny
Z(0)T = |
-0,00747 |
-0,00901 |
-0,01001 |
-0,01098 |
-0,01162 |
-0,01183 |
-0,01177 |
-0,01104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 5. Następnie obliczamy iloczyn macierzy transponowanej Z(0) i macierzy Z(0): |
|
6. Aby obliczyć wartości odchyleń punktów startowych od rzeczywistych wartości parametrów strukturalnych należy odwrócić macierz Z(0)T*Z(0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mnożymy macierz Z(0) transponowaną przez macierz Z(0)
Z(0)T*Z(0) = |
1,43829 |
-0,03488 |
|
odwracamy macierz powstałą po przemnożeniu macierzy Z(0) transponowanej z macierzą Z(0)
(Z(0)T*Z(0))-1 = |
13,10614 |
511,76569 |
|
|
|
|
-0,03488 |
0,00089 |
|
|
511,76569 |
21102,79746 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 7. Kolejnym krokiem będzie obliczenie iloczynu macierzy transponowanej Z(0) i wektora e(0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,26331 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mnożymy macierz Z(0) transponowaną przez wektor e(0)
Z(0)T*e(0) = |
-0,05259 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 8. Ostatnim etapem dla danej iteracji jest obliczenie wartości odchyleń punktów startowych od rzeczywistych wartości parametrów strukturalnych: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wartości odchyleń otrzymujemy poprzez wymnożenie macierzy odwróconej (Z(0)T*Z(0))-1 i wektora Z(0)T*e(0)
d(0) = |
|
2,74950 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48,48818 |
|
|
|
|
|
|
|
| Grupa dochodowa |
Grupy dochodowe (miesięczne sumy dochodów na 1 osobę) w tys. zł |
|
|
| 600 i mniej |
600-800 |
800-1000 |
1000-1400 |
1400-1800 |
1800-2200 |
2200-2700 |
powyżej 2700 |
|
|
| i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
| xi |
510,7 |
718,1 |
911,3 |
1205,3 |
1596,7 |
1982,2 |
2420,6 |
3554,5 |
|
|
| yi |
22,1 |
25,3 |
31,9 |
36,5 |
41,4 |
47,6 |
53,1 |
65,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1. Kolejną iterację rozpoczynamy od obliczenia wartości ocen parametrów strukturalnych. Wartości ocen parametrów strukturalnych oblicza się sumując punkty startowe i odchylenia obliczone w poprzedniej iteracji: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Punkty startowe: |
|
Odchylenia obliczone w poprzedniej iteracji: |
|
|
|
|
|
|
punkty startowe zostały wyznaczone za pomocą metody m punktów
99 |
|
|
wartości odchyleń obliczone w iteracji o numerze 0
2,74950 |
|
|
|
|
|
|
|
2091 |
|
|
48,48818 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99 |
|
99 |
|
2,74950 |
|
wartości ocen parametrów beta 1 i beta 2 obliczone w iteracji o numerze jeden
101,74950 |
|
|
2091 |
2091 |
48,48818 |
2139,48818 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wartości ocen parametrów strukturalnych w iteracji o numerze 1 wynoszą: |
|
|
|
|
|
|
101,74950 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2139,48818 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Następnie rozpoczyna się cały proces od początku. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2. Obliczamy macierz pierwszych pochodnych cząstkowych względem parametrów strukturalnych modelu: |
|
3. Obliczamy wektor różnic między zaobserwowanymi wartościami zmiennej zależnej a wartościami teoretycznymi obliczonymi dla tej iteracji: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,19270 |
-0,00740 |
|
|
2,49254 |
|
|
|
|
|
|
0,25130 |
-0,00895 |
|
|
-0,26923 |
|
|
|
|
|
|
0,29871 |
-0,00996 |
|
|
1,50644 |
|
|
|
|
|
|
macierz Z(l) obliczamy według wzoru umieszczonego w przykładzie
Z(1) = |
0,36035 |
-0,01096 |
|
wektor e(l) obliczamy według wzoru umieszczonego w przykładzie
e(1) = |
-0,16560 |
|
|
|
|
|
|
0,42736 |
-0,01164 |
|
|
-2,08374 |
|
|
|
|
|
|
0,48092 |
-0,01187 |
|
|
-1,33331 |
|
|
|
|
|
|
0,53082 |
-0,01184 |
|
|
-0,91098 |
|
|
|
|
|
|
0,62425 |
-0,01116 |
|
|
1,98238 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4. W kolejnym kroku transponujemy macierz Z(1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
transponujemy macierz Z(1) poprzez zamianę wierszy na kolumny
Z(1)T = |
0,19270 |
0,25130 |
0,29871 |
0,36035 |
0,42736 |
0,48092 |
0,53082 |
0,62425 |
|
|
|
-0,00740 |
-0,00895 |
-0,00996 |
-0,01096 |
-0,01164 |
-0,01187 |
-0,01184 |
-0,01116 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Aby obliczyć odchylenia parametrów strukturalnych od ich rzeczywistych wartości należy odwrócić macierz Z(1)T*Z(1): |
|
|
|
| 5. Następnie obliczamy iloczyn macierzy transponowanej Z(1) i macierzy Z(1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mnożymy macierz Z(1) transponowaną przez macierz Z(1)
Z(1)T*Z(1) = |
1,40475 |
-0,03453 |
|
odwracamy macierz powstałą po przemnożeniu macierzy Z(1) transponowanej z macierzą Z(1)
(Z(1)T*Z(1))-1 = |
13,75336 |
530,48372 |
|
|
|
|
|
-0,03453 |
0,00090 |
|
|
530,48372 |
21578,27574 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 7. Kolejnym krokiem będzie obliczenie iloczynu macierzy transponowanej Z(1) i wektora e(1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mnożymy macierz Z(1) transponowaną przez wektor e(1)
Z(1)T*e(1) = |
0,02519 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,00047 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 8. Ostatnim etapem dla danej iteracji jest obliczenie wartości odchyleń przybliżeń parametrów strukturalnych od ich rzeczywistych wartości : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wartości odchyleń otrzymujemy poprzez wymnożenie macierzy odwróconej (Z(1)T*Z(1))-1 i wektora Z(1)T*e(1)
d(1) = |
|
0,09839 |
|
|
Ze względu na fakt, iż wartości odchyleń są większe niż 1,6%, należy procedurę iteracyjną prowadzić dalej. |
|
|
|
3,27285 |
|
|
|
| Grupa dochodowa |
Grupy dochodowe (miesięczne sumy dochodów na 1 osobę) w tys. zł |
|
|
| 600 i mniej |
600-800 |
800-1000 |
1000-1400 |
1400-1800 |
1800-2200 |
2200-2700 |
powyżej 2700 |
|
|
| i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
| xi |
510,7 |
718,1 |
911,3 |
1205,3 |
1596,7 |
1982,2 |
2420,6 |
3554,5 |
|
|
| yi |
22,1 |
25,3 |
31,9 |
36,5 |
41,4 |
47,6 |
53,1 |
65,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1. Iterację o numerze 2 rozpoczynamy od obliczenia nowych wartości ocen parametrów strukturalnych. Wartości ocen parametrów strukturalnych oblicza się sumując wartości ocen parametrów i wartości odchyleń obliczonych w poprzedniej iteracji: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wartości ocen parametrów beta 1 i beta 2 obliczone w iteracji o numerze dwa
101,84789 |
|
|
|
101,74950 |
|
0,09839 |
|
oceny parametrów beta 1 i beta 2 w iteracji o numerze dwa
101,84789 |
|
2142,76103282485 |
|
|
|
2139,48818 |
3,27285 |
2142,76103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Następnie rozpoczyna się cały proces od początku. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2. Obliczamy macierz pierwszych pochodnych cząstkowych względem parametrów strukturalnych modelu: |
|
3. Obliczamy wektor różnic między zaobserwowanymi wartościami zmiennej zależnej a wartościami teoretycznymi obliczonymi dla tej iteracji: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,19247 |
-0,007387414713837 |
|
|
2,49778 |
|
|
|
|
|
|
0,25101 |
-0,008936006020726 |
|
|
-0,26467 |
|
|
|
|
|
|
0,29839 |
-0,009950799995682 |
|
|
1,50965 |
|
|
|
|
|
|
macierz Z(l) obliczamy według wzoru umieszczonego w przykładzie
Z(2) = |
0,36000 |
-0,010951168837429 |
|
wektor e(l) obliczamy według wzoru umieszczonego w przykładzie
e(2) = |
-0,16518 |
|
|
|
|
|
|
0,42699 |
-0,011629401160949 |
|
|
-2,08769 |
|
|
|
|
|
|
0,48054 |
-0,011864783609155 |
|
|
-1,34177 |
|
|
|
|
|
|
0,53044 |
-0,011838738301014 |
|
|
-0,92444 |
|
|
|
|
|
|
0,62390 |
-0,011153170286154 |
|
|
1,95748 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4. W kolejnym kroku transponujemy macierz Z(2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
transponujemy macierz Z(2) poprzez zamianę wierszy na kolumny
Z(2)T = |
0,19247 |
0,25101 |
0,29839 |
0,36000 |
0,42699 |
0,48054 |
0,53044 |
0,62390 |
|
|
|
-0,00739 |
-0,00894 |
-0,00995 |
-0,01095 |
-0,01163 |
-0,01186 |
-0,01184 |
-0,01115 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Aby obliczyć odchylenia parametrów strukturalnych od ich rzeczywistych wartości należy odwrócić macierz Z(2)T*Z(2): |
|
|
|
| 5. Następnie obliczamy iloczyn macierzy transponowanej Z(2) i macierzy Z(2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mnożymy macierz Z(2) transponowaną przez macierz Z(2)
Z(2)T*Z(2) = |
1,40253 |
-0,03448 |
|
odwracamy macierz powstałą po przemnożeniu macierzy Z(2) transponowanej z macierzą Z(2)
(Z(2)T*Z(2))-1 = |
13,79786 |
532,22303 |
|
|
|
|
|
-0,03448 |
0,00089 |
|
|
532,22303 |
21648,01166 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 7. Kolejnym krokiem będzie obliczenie iloczynu macierzy transponowanej Z(2) i wektora e(2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mnożymy macierz Z(2) transponowaną przez wektor e(2)
Z(2)T*e(2) = |
1,5191509304735E-05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,01715519709063E-05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 8. Ostatnim etapem dla danej iteracji jest obliczenie wartości odchyleń przybliżeń parametrów strukturalnych od ich rzeczywistych wartości : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ze względu na fakt, iż wartości odchyleń są większe niż 1,6%, należy procedurę iteracyjną prowadzić dalej. |
|
|
wartości odchyleń otrzymujemy poprzez wymnożenie macierzy odwróconej (Z(2)T*Z(2))-1 i wektora Z(2)T*e(2)
d(2) = |
|
0,00562 |
|
|
|
|
|
0,22828 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| Grupa dochodowa |
Grupy dochodowe (miesięczne sumy dochodów na 1 osobę) w tys. zł |
|
|
| 600 i mniej |
600-800 |
800-1000 |
1000-1400 |
1400-1800 |
1800-2200 |
2200-2700 |
powyżej 2700 |
|
|
| i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
| xi |
510,7 |
718,1 |
911,3 |
1205,3 |
1596,7 |
1982,2 |
2420,6 |
3554,5 |
|
|
| yi |
22,1 |
25,3 |
31,9 |
36,5 |
41,4 |
47,6 |
53,1 |
65,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1. Iterację o numerze 3 rozpoczynamy od obliczenia nowych wartości ocen parametrów strukturalnych. Wartości ocen parametrów strukturalnych oblicza się sumując wartości ocen parametrów i wartości odchyleń obliczonych w poprzedniej iteracji: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wartości ocen parametrów beta 1 i beta 2 obliczone w iteracji o numerze trzy
101,853516564268 |
|
|
101,84789 |
|
0,00562 |
|
oceny parametrów obliczone w iteracji o numerze trzy
101,85352 |
|
2142,98931197173 |
|
2142,76103 |
0,22828 |
2142,98931 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Następnie rozpoczyna się cały proces od początku. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2. Obliczamy macierz pierwszych pochodnych cząstkowych względem parametrów strukturalnych modelu: |
|
3. Obliczamy wektor różnic między zaobserwowanymi wartościami zmiennej zależnej a wartościami teoretycznymi obliczonymi dla tej iteracji: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,19245 |
-0,0073865515866 |
|
|
2,49839 |
|
|
|
|
|
|
0,25099 |
-0,008935073403462 |
|
|
-0,26404 |
|
|
|
|
|
|
0,29837 |
-0,009949861909002 |
|
|
1,51024 |
|
|
|
|
|
|
macierz Z(l) obliczamy według wzoru umieszczonego w przykładzie
Z(3) = |
0,35997 |
-0,010950280178919 |
|
wektor e(l) obliczamy według wzoru umieszczonego w przykładzie
e(3) = |
-0,16471 |
|
|
|
|
|
|
0,42696 |
-0,011628623428883 |
|
|
-2,08744 |
|
|
|
|
|
|
0,48051 |
-0,011864125498494 |
|
|
-1,34176 |
|
|
|
|
|
|
0,53042 |
-0,011838207505206 |
|
|
-0,92472 |
|
|
|
|
|
|
0,62387 |
-0,01115289229495 |
|
|
1,95652 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4. W kolejnym kroku transponujemy macierz Z(3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
transponujemy macierz Z(3) poprzez zamianę wierszy na kolumny
Z(3)T = |
0,19245 |
0,25099 |
0,29837 |
0,35997 |
0,42696 |
0,48051 |
0,53042 |
0,62387 |
|
|
|
-0,00739 |
-0,00894 |
-0,00995 |
-0,01095 |
-0,01163 |
-0,01186 |
-0,01184 |
-0,01115 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Aby obliczyć odchylenia parametrów strukturalnych od ich rzeczywistych wartości należy odwrócić macierz Z(3)T*Z(3): |
|
|
|
| 5. Następnie obliczamy iloczyn macierzy transponowanej Z(3) i macierzy Z(3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
| Z(3)T*Z(3) = |
1,40238 |
-0,03448 |
|
odwracamy macierz powstałą po przemnożeniu macierzy Z(3) transponowanej z macierzą Z(3)
(Z(3)T*Z(3))-1 = |
13,80097 |
532,35098 |
|
|
|
|
|
-0,03448 |
0,00089 |
|
|
532,35098 |
21653,40839 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 7. Kolejnym krokiem będzie obliczenie iloczynu macierzy transponowanej Z(2) i wektora e(2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mnożymy macierz Z(3) transponowaną przez wektor e(3)
Z(3)T*e(3) = |
-2,19779048293844E-08 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,2832423124447E-07 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 8. Ostatnim etapem dla danej iteracji jest obliczenie wartości odchyleń przybliżeń parametrów strukturalnych od ich rzeczywistych wartości : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ze względu na fakt, iż wartości odchyleń są mniejsze niż 1,6%, procedurę iteracyjną należy zakończyć. |
|
|
wartości odchyleń otrzymujemy poprzez wymnożenie macierzy odwróconej (Z(3)T*Z(3))-1 i wektora Z(3)T*e(3)
d(3) = |
|
0,00039 |
|
|
|
|
|
0,01576 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| Wartości ocen parametrów strukturalnych i wartości odchyleń tych parametrów od ich wartości rzeczywistych obliczone w kolejnych iteracjach: |
| Nr iteracji |
wartości parametru beta 1 w kolejnych iteracjach
|
wartości parametru beta 2 w kolejnych iteracjach
|
wartości odchyleń parametru beta 1 od jego wartości rzeczywistej
w kolejnych iteracjach
|
wartości odchyleń parametru beta 2 od jego wartości rzeczywistej
w kolejnych iteracjach
|
|
|
| 0 |
99 |
2091 |
2,74950 |
48,48818 |
|
|
| 1 |
101,74950 |
2139,4881790037 |
0,09839 |
3,27285 |
|
|
| 2 |
101,84789 |
2142,76103282485 |
0,00562 |
0,22828 |
|
|
| 3 |
101,85352 |
2142,98931197173 |
0,00039 |
0,01576 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Wniosek |
|
|
|
|
|
|
| Ze względu na fakt, iż wartość odchyleń obu parametrów od ich wartości rzeczywistych jest mniejsza niż 1,6%, procedura iteracyjna została zakończona. |
|
|
|
| Parametry strukturalne przyjmą wartości uzyskane w iteracji o numerze 3, a model będzie miał następującą postać: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
