---

Overview

Zadanie
Teoria
Wzór
Wskażniki

---

Sheet 1: Zadanie

Ćwiczenie 03. MNK dla modela z jedną zmienną. Estymatory punktowe i przedziałowe w modelach z

jedną zmienną. Przykłady modeli z ekonometryczną analizą popytu, produkcji, kosztów, zatrudnienia.

Liniowy model z jedną zmienną objaśniającą.

Plan rozwiązania zadania.

1. Wybrać zmienną objaśnianą (Y) i objaśniającą (X) i wprowadzić dane w arkusz Excel'a.

2. Narysować wykres zależności Y=Y(X) i zrobić wniosek o istnieniu liniowej zależności Y od X.

3. Obliczyć Xśr, Yśr , odchylenie zmiennej X od Xsr X'=X-Xsr, również X'^2.

Obliczyć współczynnik korelacji ryx i odchylenia standardowe sy, sx . Znajdź estymatory parametrów

strukturalnych a1=ryx*sy/sx i a0=Yśr-a1*Xsr.

4. Sprawdź prawidłowość obliczenia estymatorów parametrów strukturalnych na podstawie wzoru

macierzowego. Stwórz macierz A i macierz b dla obliczenia parametrów modelu a0, a1.

Obliczyć parametry a0, a1 liniowego modelu według wzoru a = A-1*b.

5. Obliczyć wartości teoretyczne Y'i=a0+a1*Xi zmiennej objaśnianej Y i wartości (Yi-Y'i)^2.

6. Obliczyć wariancję (dyspersję) s2 względem linii regresji Y' według formuły s2=S(Yi-Y'i)^2/(n-2).

Znaleźć krytyczną wartość ta rozkładu Studenta dla poziomu prawdopodobieństwa a=0,05.

7. Obliczyć wariancji (dyspersji) parametrów a0, a1 liniowego modelu według formuł:

s2a1=D(a1)=s2/SX'i^2; s2a0=D(a0)=SXi^2*D(a1)/n.

Znajdź przedziały ufności dla estymatorów parametrów strukturalnych a0, a1 liniowego modelu (a=0,05).

8. Obliczyć t*=|a1|/sa1 Sprawdzić, czy t*>ta i istnieje liniowa zależność pomiędzy Y a X.

9. Obliczyć dyspersją s2yi według formuły s2yi=s2(1+1/n+X'i^2/SX'i^2) i interwał

ufności [Ydi;Ygi] , gdzie Ydi=Y'i-ta*syi; Ygi=Y'i+ta*syi i narysować wykres zależności Y,Y',Yd,Yg od X.

10. Zrobić wnioski.

---

Sheet 2: Teoria

Podstawowe wzory dla badania liniowego modela z jedną zmienną objaśniającą

1. Ogólna postać modela:

2. Wartości teoretyczne (modelowe):

3. Odchylenia (reszty) wartości teoretycznych y' od wartości empirycznych y:

4. Estymatory punktowe liniowego modela:

lub

5. Estymator wariancji składnika losowego:

oraz estymator odchylenia standardowego składnika losowego:

6. Wariancje estymatorów parametrów strukturalnych:

oraz estymatory odchyleń standardowych:

7. Estymatory przedziałowe parametrów strukturalnych:

8.Przedziały ufności zmiennej objaśnianej Y:

9. Badania:

9.1. dopuszczalności modela

Współczynnik determinacji:

Przyjmujemy na ćwiczeniach

9.2. istotności parametru strukturalnego a1 (liniowej zależności pomiędzy Y a X)

10. Wnioski

10.1. dopuszczalność modela;

10.2. istnienie lub brak liniowej zależności pomiędzy Y a X;

10.3. przedziały ufności parametrów strukturalnych;

10.4. przedziały ufności zmiennej objaśnianej Y;

10.5. wykres

---

Sheet 3: Wzór

W tabeli mamy dane o cenie niektórego surowca i cenie towaru wyprodukowanego z tego surowca:
	Cena surowca, zł/kg	6,7	6,9	7,2	7,3	8,4	8,8	9,1	9,8	10,6	10,7	11,1	11,8	12,1	12,4
	Cena towaru, wyprodukowanego z surowca zł/kg	12,8	12,2	13,1	13,5	13,2	13,7	14,1	14,8	15,4	15,2	15,4	16,1	16,7	17,3
Na podstawie tych danych zbadać liniowy model.
Plan rozwiązania zadania.
1. Wybrać zmienną objaśnianą (Y) i objaśniającą (X) i wprowadzić dane.
2. Narysować wykres zależności Y=Y(X) i zrobić wniosek o istnieniu liniowej zależności Y od X.
3. Obliczyć Xśr, Yśr, współczynnik korelacji ryx i odchylenia standardowe sy, sx .
Znajdź estymatory parametrów strukturalnych a1=ryx*sy/sx i a0=Yśr-a1*Xsr.
4. Sprawdź prawidłowość obliczenia estymatorów parametrów strukturalnych na podstawie wzoru
macierzowego. Stwórz macierz A i macierz b dla obliczenia parametrów modelu a0, a1.
Obliczyć parametry a0, a1 liniowego modelu według wzoru a = A-1*b.
5. Obliczyć wartości teoretyczne Y'i=a0+a1*Xi zmiennej objaśnianej Y i wartości (Yi-Y'i)^2.
6. Obliczyć wariancję (dyspersję) s2 względem linii regresji Y' według formuły s2=S(Yi-Y'i)^2/(n-2).
Znaleźć krytyczną wartość ta rozkładu Studenta dla poziomu prawdopodobieństwa a=0,05.
7. Obliczyć odchylenie zmiennej X od Xsr X'=X-Xsr, również X'^2.
Obliczyć wariancji (dyspersji) parametrów a0, a1 liniowego modelu według formuł:
s2a1=D(a1)=s2/SX'i^2; s2a0=D(a0)=SXi^2*D(a1)/n.
8. Znajdź przedziały ufności dla estymatorów parametrów strukturalnych a0, a1 liniowego modelu (a=0,05).
9. Obliczyć t*=|a1|/sa1 Sprawdzić, czy t*>ta i istnieje liniowa zależność pomiędzy Y a X.
10. Obliczyć dyspersją s2yi według formuły s2yi=s2(1+1/n+X'i^2/SX'i^2) i interwał
ufności [Ydi;Ygi] , gdzie Ydi=Y'i-ta*syi; Ygi=Y'i+ta*syi i narysować wykres zależności Y,Y',Yd,Yg od X.
11. Zrobić wnioski.
	1.				2.
i	Cena surowca, X	Cena towaru, Y
1	6,7	12,8
2	6,9	12,2
3	7,2	13,1
4	7,3	13,5
5	8,4	13,2
6	8,8	13,7
7	9,1	14,1
8	9,8	14,8
9	10,6	15,4
10	10,7	15,2
11	11,1	15,4
12	11,8	16,1
13	12,1	16,7
14	12,4	17,3
Suma	132,9	203,5
	3.						4.
	Xśr	Yśr					MNK
Średnie	9,493	14,536					a0	a1
							14	132,9	203,5
	sx=	1,93371008527068					132,9	1313,95	1970,99
	sy=	1,48929856109567
	rxy=	0,972106107120757					1,793	-0,181
	R2=	0,944990283501472	>0,7	Model jest dopuszczalny			-0,181	0,019
	a1=	0,748693528360327
	a0=	7,42847357720804
	Model:	Y'=a0+a1*X					a0=	7,4285
							a1=	0,7487
	Y'=	7,4285	+	0,7487	*X
	5.				6.			7.						8.
	Y'	(Y-Y')^2						X'	X'^2
	12,445	0,126						-2,793	7,800		SX'^2=	52,349		a1=	0,748693528360327
	12,594	0,156			n=	14		-2,593	6,723					a0=	7,42847357720804
	12,819	0,079						-2,293	5,257		sa12=	0,003
	12,894	0,367			n-2=	12		-2,193	4,809					0,635	<= a1 <=	0,862
	13,717	0,268						-1,093	1,194		sa02=	0,255		6,328	<= a0 <=	8,529
	14,017	0,100			S(Y-Y')^2=	1,708		-0,693	0,480
	14,242	0,020						-0,393	0,154					9.	t*=	14,358
	14,766	0,001			s^2=	0,142		0,307	0,094
	15,365	0,001						1,107	1,226					Wniosek:	Nie ma powodu odrzucić hipotezę, że istnieje liniowa zależność pomiędzy Y a X
	15,439	0,057			s=	0,377		1,207	1,457
	15,739	0,115						1,607	2,583
	16,263	0,027			a=	0,050		2,307	5,323
	16,488	0,045						2,607	6,797
	16,712	0,345			ta=	2,179		2,907	8,451
	203,500000000001	1,708						0,000	52,349
	10.
	sy	Yd	Yg
	0,417	11,537	13,353
	0,413	11,694	13,495
	0,408	11,929	13,709
	0,407	12,007	13,781
	0,395	12,858	14,577
	0,392	13,162	14,872
	0,391	13,390	15,094
	0,391	13,914	15,617
	0,395	14,504	16,225
	0,396	14,578	16,301
	0,399	14,869	16,609
	0,409	15,373	17,153
	0,414	15,587	17,389
	0,419	15,800	17,625

---

Sheet 4: Wskażniki

TABL. 1. PODSTAWOWE WSKAŹNIKI
MAIN INDICATORS
				Obroty handlu zagranicznego w mln zł		Średnie kursy walut w zł		Przeciętna miesięczna emerytura i renta	Przeciętne miesięczne wynagrodzenie nominalne brutto sektor przedsiębiorstw
		Należnościdh	Aktywa
	Stopa		zagraniczne			100 EUR	100 dolarów			Ludność	Wydobycie	Produkcja	Produkcja	Import	Mieszkania	Przewozy	Wynik
Okresy	bezrobocia		netto				USA			w tys.	węgla	stali	energii	ropy	oddane	ładunkówe	budżetu
	w %			eksport	import - cif						kamiennego	surowejc	elektrycznej	naftowejd	do użytko-	w mln t	państwac
						Narodowy Bank Polski							w GW.h	w tys. t	wania		w mln zł
		w mld zł	w mld zł					w zł	w złotych		w tys. t
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
2009 I	15,1	234,0	134,9	29591,6	34425,0	387,87	298,37	1029,67	2663,55	38123	8118	907	14306	1817	10186	27,0	3144,1
2009 II	14,8	234,5	136,2	29800,9	33553,3	389,58	298,05	1284,27	2687,48	38119	7555	860	13423	1655	8717	27,2	-2992,3
2009 III	14,3	231,4	137,6	34261,5	40308,0	388,69	293,59	1284,61	2852,71	38116	8442	948	13505	1442	8076	30,5	-5177,0
2009 IV	13,6	230,8	135,8	30665,1	36233,8	381,92	282,79	1295,92	2786,29	38113	7002	906	12016	1882	8759	30,2	-2090,9
2009 V	12,9	234,2	138,9	32077,8	37771,0	378,24	279,97	1295,19	2776,92	38113	7289	957	12042	1707	8408	31,1	-4297,2
2009 VI	12,3	239,6	139,3	32169,4	38482,2	380,79	283,99	1296,85	2869,69	38116	6733	967	12008	1618	8682	31,0	-3646,6
2009 VII	12,1	242,9	142,5	31487,5	38662,5	376,85	275,00	1298,17	2893,71	38119	7040	872	11090	1967	11527	31,1	541,3
2009 VIII	11,9	243,7	142,0	31682,3	35653,3	381,00	279,81	1299,75	2885,97	38123	7096	847	12942	1437	11559	31,7	304,1
2009 IX	11,6	246,6	140,3	33712,0	39623,0	378,99	272,86	1300,25	2858,83	38125	6821	859	12670	1731	11038	30,8	178,9
2009 X	11,3	245,4	136,7	37949,7	43880,5	370,52	260,42	1306,86	2951,67	38126	8149	859	14338	1729	15983	32,6	-4403,9
2009 XI	11,2	246,1	132,5	35139,0	41968,5	365,56	249,15	1310,46	3092,01	38123	7480	829	14505	1943	13548	30,4	-6024,8
2009 XII	11,4	244,4	132,1	28018,8	36267,3	360,42	247,54	1308,24	3246,00	38116	6071	819	14949	1763	17215	28,0	-15956,4
2010 I	11,7	247,4	132,2	33002,2	38459,7	360,80	245,37	1305,43	2969,65	38116	7352	825	14435	1826	14491	28,0	4407,3
2010 II	11,5	248,3	143,5	34972,6	40411,7	358,25	243,05	1309,31	3032,70	38114	7132	841	13416	1748	10945	27,3	-136,6
2010 III	11,1	251,6	143,9	33652,5	40951,4	353,74	228,16	1309,92	3144,41	38110	6809	987	13315	1965	9478	29,9	1802,9
2010 IV	10,5	250,6	138,1	36757,6	42832,8	344,44	218,52	1421,36	3137,74	38111	7521	891	12567	1676	12207	32,1	554,3
2010 V	10,0	252,1	140,0	31617,1	38413,9	340,69	219,04	1426,51	3069,43	38112	6574	968	11878	1628	10656	32,0	-1876,9
2010 VI	9,6	254,1	138,3	31619,1	39079,7	337,60	216,94	1429,91	3215,32	38115	6953	914	12057	1632	9907	31,2	-3380,7