Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
1
Oszacowac parametry numeryczne i stochastyczne modelu potegowego o postaci: b
b
b
u
0
1
2
t
y = e ⋅ x
1
⋅ x 2 ⋅ e
t
t
t
dla danych przedstawionych w tabeli, gdzie: yt – roczne wydatki na kino [zl/osobe], x1t – sredni roczny dochód netto [tys. zl/osobe], x2t – jednopodstawowy wskaznik srednich cen biletów [rok pierwszy =100].
rok
yt
x1t
x2t
1
70
6
100,0
2
95
8
103,0
3
110
10
107,0
4
125
12
109,0
5
145
14
111,0
Przedstawiony model jest nieliniowy wzgledem zmiennych i parametrów, ale sprowadzalny do liniowego wzgledem parametrów. Jezeli zlogarytmujemy go obustronnie to otrzymamy: ln y = ln e 0 ⋅ x 1
1
⋅ x 22 ⋅ e
t
( b b b ut
t
t
)
b
b
b
u
0
1
2
t
ln y = ln e + ln x + ln x + ln e t
t
1
2 t
ln y = b
ln
ln
0 + b 1 ⋅
x 1 + b 2 ⋅
x 2 + u
t
t
t
t
Ostatnia forma modelu jest liniowa wzgledem parametrów i daje sie latwo oszacowac KMNK.
Widzimy, ze zamiast obserwacji na zmiennych w pierwotnej postaci trzeba sie tu posluzyc logarytmami tych obserwacji. Mozemy zatem symbolicznie zapisac estymator KMNK dla naszego przykladu:
−
bˆ = (ln X 'ln X ) 1 ⋅ ln X 'ln y Macierz lnX’lnX bedzie okreslona nastepujaco:
n
ln x
ln x
∑ 1 t
∑
2 t
ln X ' ln X =
∑ln x
ln x
ln x
ln x
1 t
∑( 1 t )2
∑ 1 t ⋅ 2 t
∑ln x
ln x
ln x
ln x
2 t
∑ 1 t ⋅ 2 t ∑( 2 t )2
Wektor lnX’lny bedzie okreslony nastepujaco:
ln y
∑
t
ln X ' ln y = ∑ln y ln x t ⋅
t
1
∑ln y ln x
t ⋅
2 t
Do dalszych obliczen bedzie przydatna tabela.
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
1
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
2
rok
ln x
ln x
ln x ln x (ln x (ln x
ln y
ln y ln x ln y ⋅ ln x 2 t )2
t
2 t
1 t )2
1
2
1
2
t
t
t
1
1
1,79176 4,60517
8,25136
3,21040 21,20759 4,24850 7,61228 19,56504
2
2,07944 4,63473
9,63765
4,32408 21,48071 4,55388 9,46952 21,10599
3
2,30259 4,67283 10,75959
5,30190 21,83533 4,70048 10,82326 21,96454
4
2,48491 4,69135 11,65756
6,17476 22,00874 4,82831 11,99791 22,65130
5
2,63906 4,70953 12,42872
6,96462 22,17967 4,97673 13,13389 23,43808
suma 11,29775 23,31361 52,73487 25,97576 108,7120 23,30790 53,03685 108,7249
5
5
Na podstawie powyzszych danych mozemy wyznaczyc macierz lnX’lnX:
5
11,29775
23,31361
ln X 'ln X = 11,29775 25,97576 52,73487
23,31361 52,73487
108,71205
Wyznacznik ln X 'ln X = 0,00012
361761
10440,5
- 82645,18
−1
Macierz (ln X 'ln X ) = 10440,5
303,848
- 2386,386
- 82645,2
- 2386,39
18881,11
23,30790
Wektor ln X 'ln y = 53,03685
108,72495
Wektor ocen parametrów modelu:
23,0997
bˆ = (ln X 'ln X )−1
ln X 'ln y = 1,41585
-
4,64048
Mozemy zapisac postac analityczna rozwazanego modelu: 23,099
,
1 416
−4,640
uˆ t
y = e
⋅ x
⋅ x
⋅ e
t
t
1
2 t
Poniewaz mamy do czynienia z modelem potegowym to szacunki parametrów b1 i b2 sa elastycznosciami zmiennej y wzgledem zmiennych x1 i x2. Elastycznosc jest miara, która pokazuje o ile procent zmieni sie wartosc zmiennej y, jezeli wartosc zmiennej x zmieni sie o 1 procent, a wszystkie inne czynniki pozostana bez zmian.
Powiemy zatem, ze w badanych latach wzrost rocznych dochodów x1 o 1 % powodowal wzrost rocznych wydatków na kino y srednio o 1,42 %, przy stalosci cen biletów x2. Wzrost w badanych Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
2
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
3
latach indeksu cen biletów x2 o 1% powodowal spadek rocznych wydatków na kino y srednio o 4,64
%, przy stalosci dochodów x1.
Estymator wariancji skladnika losowego modelu wyrazi sie wzorem:
∑(
′
ln yt )2 −
X
y ⋅ b
2
(ln ' ) ˆ
ln
ˆ
σ
u =
n − ( k + )
1
Stad
2
ˆ
σ
.
u = 0,00082
Sredni blad reszt jest zatem równy σˆ
.
u = 0,02867
Interpretujac sredni blad reszt powiemy, ze udzial róznic miedzy wartosciami empirycznymi yt a teoretycznymi yˆ w teoretycznej wartosci wydatków yˆ wynosi srednio ( 0,029
e
− )
1 ⋅100 =
%
94
,
2
.
t
t
Wspólczynnik zbieznosci ϕ2 obliczymy na podstawie wzoru:
∑(ln y
X
y
b
t )2
ˆ
ln
' ln
2
(
)′
−
⋅
ϕ =
.
∑(ln y
y
t − ln
t )2
Zatem ϕ2 = 0,00529.
Oznacza to, ze okolo 0,52% calkowitej zmiennosci zmiennej wydatków ln y nie zostalo objasnione przez model.
Wspólczynnik determinacji
2
R = 1 − 2
ϕ = 0,99471 co oznacza, ze okolo 99,5% zmiennosci zmiennej ln y zostalo wyjasnione przez model. Widzimy zatem, iz bardzo duza czesc zmiennosci ln y znalazla objasnienie w zmiennosci zmiennych objasniajacych ln x1 i ln x2.
Ponizszy wykres obrazuje dopasowanie wartosci teoretycznych wydatków yˆ do wartosci t
empirycznych y .
t
160
y rzeczyw.
140
y teor.
120
100
80
wydatki na kino
60
40
20
0
1
2
3
4
5
rok
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
3
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
4
Na podstawie znajomosci macierzy wariancji kowariancji ocen parametrów wyznaczymy srednie bledy tych ocen.
2
D (ˆ b)
297,253
8,579
-
67,908
= 2
ˆ
σ
u ⋅ ( X ' X )−1
= 8,579
0,250
-1,961
- 67,908 -1,961
15,514
Srednie bledy ocen parametrów modelu: ˆ
σ b = 297,253 = 17,241
0
ˆ
σ
b
=
,
0 250 = 500
,
0
1
ˆ
σ b =
514
,
15
= 3,939
2
Pelniejszy zapis postaci analitycznej rozwazanego modelu mozemy przedstawic nastepujaco: 23,0997
1,41585
-4,64048
(±17,241)
(±0,500)
( 3,939 )
ˆ
±
y
e
x
x
t =
⋅ t
⋅
1
2 t
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
4